1、专题07：A型相似三角形-2022年中考数学解题方法终极训练一、单选题1如图，在ABC中，DEBC，若AE2，EC3，则ADE与ABC的面积之比为（）A4：25B2：3C4：9D2：5【答案】A【解析】根据相似三角形的判定定理得到ADEABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案【详解】解：AE=2，EC=3，AC=AE+EC=5，DEBC，ADEABC，故选：A【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键2如图，已知若的面积为，则的面积为（）ABCD【答案】A【解析】根据相似三角形的性质得出，代入求出即可【详解】解：ADEAB
2、C，AD：AB1：3，ABC的面积为9，SADE1，故选：A【点评】本题考查了相似三角形的性质定理，能熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解此题的关键3直线l1l2l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）ABCD【答案】A【解析】分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，可得AF=4，先根据全等三角形的判定定理得出BCECAF，故可得出CF及CE的长，在RtACF中根据勾股定理求出AC的长，再由相似三角形的判定得出CDGCAF，故可得出CD的长，在R
3、tBCD中根据勾股定理即可求出BD的长【详解】分别过点A、B、D作AFl3，BEl3，DGl3，垂足为F、E、G，l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，AF=4，BE=DG=3，ABC是等腰直角三角形，ACBC，EBC+BCE90，BCE+FCA90，FCA+CAF90，EBCFCA，BCECAF，在BCE与ACF中，BCECAF，CF=BE=3，AC=5，AFl3，DGl3，CDGCAF，即，解得：CD=，BD=故选：A【点评】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键4如图在ABC中，DEBC，B=ACD，则图中相似三角形有（）A2对
4、B3对C4对D5对【答案】C【解析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】B=ACD，A=A，ACDABC，DEBC，ADEABC，ACDADE，DEBC，EDC=DCB，B=DCE，CDEBCD，故共4对，故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似5如图，ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形若DE=2cm，则AC的长为 ( )AcmB4cmCcmDcm【答案】D【解析】【详解】点D、E分别是边AB、AC的中点，DE=BC，DE
5、=2cm，BC=4cm，AB=AC，四边形DEFG是正方形BDGCEF，BG=CF=1，EC=，AC=2cm故选D二、填空题6如图，矩形 ABCD 中，AC 为对角线，E、F 分别为边 AB、CD 上的动点，且 于点 M，连接 AF、CE，求的最小值是_【答案】5【解析】AF与EC两条线段不在同一条直线上，只需将两条线段转换在同一条直线上即可，作，且，连接AG，又因点F是DC上是一动点，由三角形的边与边关系，只有当点F在直线AG上时，最小，由平行四边形CEFG可知时，可求的最小值【详解】解：如图所示：过点C作，且，连接FG，设，则,当点A、F、G三点共线时，的最值小，且，四边形CEFG是平行四
6、边形；，又点A、F、G三点共线，又四边形ABCD是矩形，四边形AECF是平行四边形，又，四边形AECF是菱形，在中，由勾股定理得：，又，则，解得：，在中，由勾股定理得，所以 ，又， ，即，又，即最小值是5，故答案为：5【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理和最短距离问题等知识点，解题的关键是掌握辅助线的作法以及相似三角形的性质与判定7如图，正方形边长为，点是上一点，且，连接，过作，垂足为，交对角线于，将沿翻折得到，交对角线于，则_【答案】【解析】过点G作GRBC于R，过点H作HNBC交BD于N，由正方形性质可证明：ABEFCB，由勾股定理可求BF
7、，由翻折性质可得HGCBGC，进而可证明：BHNBED，可求得HN，再由HNMCBM，可求得，再由CGRCBF即可求得结论【详解】解：如图，过点作于，过点作交于则， 正方形 ， 在中， ，即 ，由翻折知：， ，即 ， 是等腰直角三角形，设，则， ，即，解得 ，故答案为：【点评】本题考查了正方形性质，翻折变换的性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质，三角形面积等知识点；解题关键是利用平行线证明相似三角形进行转化，有一定难度，属于中考填空压轴题类型8如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为_【答案】【解析】延长BE交AC于点F，
8、过D点作，由可得此时为等腰直角三角形，E为CD的中点且，则，在等腰中，根据勾股定理求得，长度，由可得,即，由，可得，即， ,求得，【详解】如下图，延长BE交AC于点F，过D点作，为等腰由题意可得E为CD的中点，且，在等腰中，又，在， （AAS），故答案为：【点评】本题考察了等腰直角三角形的性质，勾股定理求对应边的长度，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，综合运用以上性质是解题的关键9如图，在中，D是AB上一点，点E在BC上，连接CD，AE交于点F若，则_【答案】2【解析】过D作DH垂直AC于H点，过D作DGAE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CD的长，其次
9、利用CDGCBD,求出CG的长，得出BG的长，最后利用BDGBAE，求出BE的长，最后得出答案【详解】解：过D作DH垂直AC于H点，过D作DGAE交BC于G点，在直角三角形ABC中，AB=，又，AD= ，在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2，CH=62=4，在RtCHD中，CD=，AEDG，CFE=CDG=45，B=45，CDG=B，又DCG=BCD，CDGCBD， ，即20=6CG，CG= ，BG=BCCG=6=，又DGAE，BDGBAE，又，又BG=，BE=BG=4，CE=64=2，故答案为：2【点评】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做
10、出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案10如图，在中，动点从点出发，沿方向以每秒的速度向终点运动；同时，动点从点出发沿方向以每秒的速度向终点运动，将沿翻折，点的对应点为点，设点运动的时间为秒，若四边形为菱形，则的值为_【答案】3【解析】如图：连接PP交BC于O，利用等腰直角三角形的性质得；设，则，可得，CQ=9-t，然后由菱形的性质得，；然后再利用PO/AC可得，最后得到关于t的方程并求解即可【详解】解：如图：连接PP交BC于O，ACB=90，AC=BC=9cm，又设，则，CQ=9-t四边形为菱形PO/AC，即，解得t=3故答案为3【点评】本题考查了对称变换、菱形的性质和平行线
11、分线段成比例定理，掌握、菱形的性质和平行线分线段成比例定理是解答本题的关键三、解答题11如图，ABD中，A90，AB6cm，AD12cm某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D出发沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动，运动的时间为ts（1）求t为何值时，AMN的面积是ABD面积的；（2）当以点A，M，N为顶点的三角形与ABD相似时，求t值【答案】（1），；（2）t3或【解析】（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，根据三角形的面积公式列出方程可求出答案；（2）分两种情况，由相似三角形的判定列出方程可求出t的值【详解
12、】解：（1）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，AMN的面积ANAM（122t）t6tt2，A90，AB6cm，AD12cmABD的面积为ABAD61236，AMN的面积是ABD面积的，6tt2，t26t+80，解得t14，t22，答：经过4秒或2秒，AMN的面积是ABD面积的；（2）由题意得DN2t（cm），AN（122t）cm，AMtcm，若AMNABD，则有，即，解得t3，若AMNADB，则有，即，解得t，答：当t3或时，以A、M、N为顶点的三角形与ABD相似【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质和一元二次方程的应用，正确进行分类讨论是解题的关键12
13、如图，在平行四边形ABCD中，ADAC，ADC，点E为射线BA上一动点，且AEAB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G（1）如图1，当60时，求证：ADHCDG；（2）当60时，如图2，连接HG，求证：ADCHDG；若AB9，BC12，AE3，请直接写出EG的长【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；EG的长为或【解析】（1）ADAC，ADC60，可证ACD为等边三角形，根据四边形ABCD为平行四边形，可得AB=CD=BC=AD，B=ADC=60，ADBC，可得HAD=B=60=GCD，由GDH=CDA=60，可证HAD =CDG
14、，即可证ADHCDG（ASA）；（2）根据ADAC，ADC，可得ACD=ADC，根据四边形ABCD为平行四边形，可得ADBC，可得HAD=ADC=GCD，由GDH=ADC，可得ADH =CDG即可；根据点E的位置分两种情况，当点E在AB上时，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，根据四边形ABCD为平行四边形，ABDC，AB=DC=9，AD=BC=12，可证AGECGD，得出AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，根据等腰三角形三线合一性质可得AN=BN=，根据勾股定理CN=，由GMCN，再证AMGANC，可求,，EM=AE-AM=，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CNAB
15、于N，过G作GMAE于M，由AECD，GAEGCD，可求GA=6，由GMCN，可证GMACNA，可得，EM=AE-AM=3-，根据勾股定理EG=【详解】（1）证明：ADAC，ADC60，ACD为等边三角形，四边形ABCD为平行四边形，AB=CD=BC=AD，B=ADC=60，ADBC，HAD=B=60=GCD，GDH=CDA=60，HDA+ADG=CDG+ADG=60，HDA =CDG，在ADH和CDG中ADHCDG（ASA）；（2）证明：ADAC，ADC，ACD=ADC，四边形ABCD为平行四边形，ADBC，HAD=ADC=GCD，GDH=ADC，ADH+ADG=CDG+ADG=，ADH =
16、CDG，ADHCDG；解：当点E在AB上时，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，四边形ABCD为平行四边形，ABDC，AB=DC=9，AD=BC=12，EAG=DCG，AEG=CDG，AGECGD，AD=AC=12，AG+CG=AG+3AG=4AG=12，AG=3，CG=AC-AG=12-3=9，AC=AD=BC，CNAB，AN=BN=，在RtBCN中，根据勾股定理CN=，GMCN，AMGANC，,，EM=AE-AM=，在RtMGE中，根据勾股定理EG=，当点E在BA延长线上，过C作CNAB于N，过G作GMAE于M，AECD，GAE=GCD，GEA=GDC，GAEGCD，AC=GC-GA=
17、3GA-GA=2GA=12,GA=6，AC=AD=BC，CNAB，AN=BN=，在RtBCN中，根据勾股定理CN=，CNAB， GMAE，GMCN，GMACNA，EM=AE-AM=3-，在RtGME中，根据勾股定理EG=，综合EG的长为或【点评】本题考查图形旋转性质，平行四边形性质，等边三角形判定与性质，三角形全等判定，三角形相似判定与性质，勾股定理，本题难度角度，利用辅助线画出准确图形，掌握以上知识是解题关键13已知：矩形ABCD中，AB9，AD6，点E在对角线AC上，且满足AE2EC，点F在线段CD上，作直线FE，交线段AB于点M，交直线BC于点N（1）当CF2时，求线段BN的长；（2）若
18、设CFx，BNE的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）试判断BME能不能成为等腰三角形，若能，请直接写出x的值【答案】（1）BN10；（2），0x3；，3x4.5；（3）x2或或【解析】（1）由得CFEAME，NCFNBM，进而求得；（2）分为0x3和3x4.5两种情形，作EGBC于G，根据三角形相似求出EG和BN；（3）分为BMBE，EMBE，ENBM三种，可根据BM92CF求得【详解】解：（1）如图1，在矩形ABCD中，BCAD6， CFEAME，NCFNBM，, AM2CF4，BMABAM5， BN10；（2）当CFBM时，此时BEN不存在，CF92CF，CF
19、3，当点M和B点重合时，AB2CF，CF4.5，分为0x3和3x4.5，如图2，当0x3时，作EGBC于G，由（1）知，EG3，AM2CF2x，BM92x，由得， ， y；如图3，当3x4.5时，由得， CN， y； （3）如图4， CGCB2， GBCBCG4，BE5，当BMBE5时，92x5，x2，如图5，当EMEB5时，作EHAB于H，BM2BH2EG6，92x6，x=， 如图6，当EMBM时，作MHBE于H，在RtBMH中，BH，cosMBHcosBEG， BM，92x， x，综上所述：x2或或【点评】此题考查相似三角形的判定及性质，锐角三角函数，勾股定理解直角三角形，矩形的性质，正确
20、引出辅助线及掌握分类思想解决问题是解题的关键14如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B的坐标分别为A(4，0)、B(4，3)，动点M、N分别从点O、B同时出发，以1单位/秒的速度运动(点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动)，过点N作交AC于点P，连结MP（1）直接写出OA、AB的长度；（2）试说明；（3）在两点的运动过程中，求的面积S与运动的时间t的函数关系式，并求出时，运动时间t的值 【答案】（1）；（2）见解析；（3），2【解析】（1）根据点A、B的坐标即可得；（2）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得；（3）先根据矩形的性质、线段的和差可得，再根据相
21、似三角形的性质可得，从而可得，由此可得的AM边上的高为，然后利用三角形的面积公式可得与的函数关系式，最后解一元二次方程可得的值【详解】（1），；（2），；（3）由题意得：，且，则，四边形OABC是矩形，即，解得，的AM边上的高为，即，当时，解得，故的值为2【点评】本题考查了矩形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、求二次函数的自变量等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键15已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AEAB，联结DE、AC点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H（1）求证：BGGF；（2）如果AC2AB，点F是DE的中点，求证
22、：AH2GHBH【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）由平行四边形的性质可得ABCDAE，ABCD，可证四边形ACDE是平行四边形，可得，可得结论；（2）由“SAS”可证BEFDEA，可得EBFEDA，通过证明AHGBHA，可得结论【详解】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，ABCD，ABCD，ABAE，AECD，四边形ACDE是平行四边形，ACDE，BGGF；（2）ABAE，BE2AE，AC2AB，BEAC，四边形ACDE是平行四边形，ACDE，DEBE，点F是DE的中点，DE2EF，AEEF，DEBE，EE，AEEF，BEFDEA（SAS），EBFEDA，ACDE，G
23、AHEDAEBFGAHAHGBHA，AHGBHA，AH2GHBH【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用相似三角形判定和性质是本题的关键16如图，在矩形的边上取一点，连接并延长和的延长线交于点，过点作的垂线与的延长线交于点，与交于点，连接（1）当且时，求的长；（2）求证：；（3）连接，求证：【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）根据已知条件先求出CE的长，再证明，在RtCHE中解三角形可求得EH的长，最后利用勾股定理求CH的长；（2）证明，进而得出结果；（3）由（2）得，进而，即，再结合，可得出，进一步得出结果.【详解】（1
24、）解：矩形，.而，又，易得.，.（2）证明：矩形，而，；（3）证明：由（2）得，即，而，【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，关键是掌握基本的概念与性质.17如图，在ABC中，C90，ACBC4，P，Q两点同时从C出发，点P 以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q 以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动设点Q的运动时间为t秒（1）在点P的运动过程中，CQ_，BP_（用含t的代数式表示）；（2）当点M落在AB边上时，t _s；（3）设矩形CPMQ与ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间
25、的函数关系式；【答案】（1）t，42t；（2）；（3）【解析】（1）根据路程、速度、时间的关系即可求解；（2）先由运动知，再判断出得出比例式，建立方程即可得出结论；（3）分三种情况，当时，直接是矩形的面积，当时，利用面积的差即可得出结论，当时，利用面积的差即可得出结论.【详解】解：（1）点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，点以每秒1个单位长度的速度沿向终点运动，故答案为：，；（2），四边形是矩形，当点在边上时，故答案为：；（3）当时，如图，；当时，如图，设与相交于点，设与相交于点则，；当时，如图，设与相交于点则综上所述：【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判
26、定和性质，勾股定理，锐角三角函数，对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考压轴题18如图，点O是ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且m，n（1）若点O是线段BC中点求证：m+n2；求mn的最大值；（2）若k（k0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）【答案】（1）证明见解析；mn有最大值1；（2）nkkm+1【解析】设AMa，ANb由m，n可得ABam，ACbn，那么MBMAABaam（1m）a，CNACANbnb（n1）b（1）若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BHAC交MN于H，利用ASA证明OBHOC
27、N，得出BHCN（n1）b由BHAN列出比例式，求解即可；由的结论m+n2得出m2n，那么mn（2n）nn2+2n（n1）2+1，根据二次函数的性质即可得出当n1时，mn有最大值1；（2）若k（k0），如图2，过点B作BGAC交MN于G，证明OBGOCN，根据相似三角形对应边成比例得出，那么BGb由BGAN列出比例式，整理即可得出m，n之间的关系.【详解】解：设AMa，ANb.m，n，ABam，ACbn，MBMAABaam（1m）a，CNACANbnb（n1）b.（1）若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BHAC交MN于H，OBHOCN.在OBH与OCN中，OBHOCN（ASA），BHCN（n1）b.BHAN，即，1mn1，m+n2；由知，m+n2，m2n，mn（2n）nn2+2n（n1）2+1，当n1时，mn有最大值1；（2）若k（k0），如图2，过点B作BGAC交MN于G，OBGOCN.在OBG与OCN中，OBGOCN，即k，BGb.BGAN，即，1m，nkkm+1.【点评】此题考查平行线的性质，三角形全等的判定及性质，平行线分线段成比例是性质，相似三角形的判定及性质，二次函数最值问题，正确掌握各知识点并综合运用解题是关键.
个人主页
