【数二】 考研数学历年真题分类精讲 课程讲义[世纪高教在线].pdf
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1、历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)( )考研数学命题研究组编世纪高教编辑部【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第一部分 高等数学第一章 函数、极限、连续第一节 数列敛散性的判定 ( 年第 题)() 证明:对任意的正整数 ,都有 ()成立;() 设 ( , , ),证明数列 收敛( 年第 题) 设 ( , , ), ,则数列 有界是数列 收敛的( )() 充分必要条件() 充分非必要条件() 必要非充分条件() 既非充分也非
2、必要条件( 年第 题) 设函数 () ,() 求 () 的最小值;() 设数列 满足 ,证明存在,并求此极限( 年第 题) 设数列 满足: , ( ,) 证明 收敛,并求第二节 函数极限的计算( 年第 题) ()( 年第 题) 已知函数() ( ) 设 () () ,试求的取值范围( 年第 题) ( )( 年第 题) 设函数 () 若 () (),则 ( )()()()()【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务( 年第 题) 求极限 ( ) ()( 年第 题) 求极限( )( 年第 题) 设数列 收敛,则( )() 当 时, ()
3、 当() 时, () 当( ) 时, () 当( ) 时, ( 年第 题) ( ) ( 年第 题) ( )第三节 无穷小量的比较(年第题) 设 (),其中 (),则当时,() 是( )() 比 高阶的无穷小量() 比 低阶的无穷小量() 与 同阶但不等价的无穷小量() 与 等价的无穷小量( 年第 题) 设 ( ), ( ), 当 时,以上 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是( )(), , (), , (), , (), , 第四节 确定极限中的参数(年第题) 已知当 时,函数() 与是等价无穷小量,则( )() , () , () , () , ( 年第 题) 已知函数 () ,记 ()()
4、 求 的值;() 若当 时, () 与 是同阶无穷小量,求常数 的值( 年第 题) 当 时, 与 为等价无穷小量,求 与 的值( 年第 题) 当 时,若 ( ),( )均是比 高阶的无穷小量,则 的取值范围是( )历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务()(, )()(, )(), ()() ,()( 年第 题) 设函数 () ( ) ,() 若 () 与 ()在 时是等价无穷小,求 , , 的值( 年第 题) 若( ) ,则( )() , () , () , () , ( 年第 题) 当
5、时, 若 与 是同阶无穷小, 则 ( )()()()()第五节 函数的连续性与间断点的类型( 年第 题) 函数 () 的无穷间断点的个数为( )()()()()( 年第 题) 函数 () ()在( , ) 内( )() 连续() 有可去间断点() 有跳跃间断点() 有无穷间断点( 年第 题) 若函数 () , , 在 处连续,则( )() () () () ( 年第 题) 设函数 () , , ,() , , , , 若() () 在 上连续,则( )() , () , () , () , 第二章 一元函数微分学第一节 导数与微分的概念( 年第 题) 设函数() 在 处可导,且() ,则()
6、() ( )第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务() ()() ()() ()()(年第题) 设函数 () 由方程() 确定,则 () ( )()()() () ( 年第 题) 设函数 () , , ( , ) 若 () 在 处连续,则( )() () () () ( 年第 题) 下列函数中,在 处不可导的是( )()() ()() ()()()()第二节 导数与微分的计算( 年第 题) 函数 ( ) 在 处的 阶导数 ()() ( 年第 题) 设函数() ( )( )( ),其中 为正整数,则() ( )()
7、( )( )!()( )( )!()( )!()( )!(年第题) 设 () 是由方程 所确定的隐函数,则 ( 年第 题) 设函数 () ,则 () 的反函数 () 在 处的导数 ( 年第 题) 设 , ,则 ( 年第 题) 函数 () 在 处的 阶导数 ()() ( 年第 题) 已知函数() 在( , ) 上连续,且() ( ) (),则当 时, ()() ( 年第 题) 设函数 () 由参数方程 , 确定,则 历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第三节 导数的应用( 年第 题) 曲线
8、与曲线 ( ) 相切,则 ( )()()()()( 年第 题) 已知一个长方形的长 以 的速率增加,宽 以 的速率增加,则当 , 时,它的对角线增加的速率为( 年第 题) 曲线 ( ) 上曲率为的点的坐标是( 年第 题) 曲线 , 上对应于 的点处的法线方程为( 年第 题) 曲线 , 上对应于 的点处的曲率半径是( )()()()()( 年第 题) 曲线 的极坐标方程是 ,则 在点(, ) ,()处的切线的直角坐标方程是( 年第 题) 已知动点 在曲线 上运动,记坐标原点与点 间的距离为 若点 的横坐标对时间的变化率为常数 ,则当点 运动到点(, ) 时, 对时间的变化率是( 年第 题) 曲线
9、 , 在 对应点处的曲率为( 年第 题) 已知 (), () 阶可导且 阶导函数在 处连续, 则() ()( ) 是曲线 () 和 () 在 对应的点处相切且曲率相等的( )() 充分非必要条件() 充分必要条件() 必要非充分条件() 既非充分又非必要条件( 年第 题) 曲线 , 在 对应点处的切线在 轴上的截距为第四节 函数的单调性、极值与最值( 年第 题) 求函数 () ( ) 的单调区间与极值第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务( 年第 题) 已知函数 () 由方程 确定,求 () 的极值( 年第 题)
10、 已知函数 () , , , 求 (),并求 () 的极值第五节 曲线的凹凸性、拐点及渐近线( 年第 题) 曲线 的渐近线方程为( 年第 题) 设函数 () 由参数方程 , 确定,求 () 的极值和曲线 () 的凹凸区间及拐点( 年第 题) 曲线 的渐近线的条数为( )()()()()( 年第 题) 下列曲线中有渐近线的是( )() () () () ( 年第 题) 设函数 () 具有 阶导数, () ()( ) (),则在区间, 上( )() 当 () 时, () ()() 当 () 时, () ()() 当 () 时, () ()() 当 () 时, () ()( 年第 题) 设函数在(
11、, ) 内连续,其 阶导函数 () 的图形如右图所示,则曲线 () 的拐点个数为( )()()()()( 年第 题) 设函数 () 在( , ) 内连续,其导函数的图形如图所示,则( )() 函数 () 有 个极值点,曲线 () 有 个拐点() 函数 () 有 个极值点,曲线 () 有 个拐点() 函数 () 有 个极值点,曲线 () 有 个拐点() 函数 () 有 个极值点,曲线 () 有 个拐点( 年第 题) 设函数 ()( , ) 具有二阶连续导数,且 () ( , ) 若两条曲线 () ( , ) 在点(, ) 处具有公切线 (),且在该点处曲线 ()的曲率大于曲线 () 的曲率,则在
12、 的某个邻域内,有( )() () () ()() () () ()历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务() () () ()() () () ()( 年第 题) 曲线 ( ) 的斜渐近线方程为( 年第 题) 设二阶可导函数 () 满足 () ( ) , () 且 () ,则( )()() ()() ()() ()()() ()( 年第 题) 曲线 ( )的斜渐近线方程为( 年第 题) 设函数 () 在, 上二阶可导,且() ,则( )() 当 () 时, () () 当 () 时, ()
13、 () 当 () 时, () () 当 () 时, () ( 年第 题) 曲线 在其拐点处的切线方程是( 年第 题) 曲线 ( )的拐点坐标为( )()(, ) ()(, ) ()(,) ()(, )第六节 方程根的存在性与个数( 年第 题) 函数 () ( )( )( )的驻点个数为( )()()()()( 年第 题)() 证明方程 ( 为大于 的整数) 在区间, ()内有且仅有一个实根;() 记() 中的实根为 ,证明存在,并求此极限( 年第 题) 已知函数 () ,求 () 零点的个数( 年第题) 设函数() 在区间, 上具有阶导数,且() , () 证明:() 方程 () 在区间(,)
14、 内至少存在一个实根;() 方程 ()() () 在区间(,) 内至少存在两个不同实根第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第七节 不等式的证明( 年第 题) 证明: ( )( 年第 题) 已知常数 证明:( )( ) 第八节 微分中值定理( 年第 题) 设函数 () 在闭区间, 上连续,在开区间(, ) 内可导,且() , () 证明:存在 ,(), , (),使得: () () ( 年第 题) 设奇函数 () 在 , 上具有 阶导数,且 () 证明:() 存在 (, ),使得 () ;() 存在 ( , ),
15、使得 () () ( 年第 题) 已知函数() 在区间, ) 上具有 阶导数, () , () ,() 设 , 曲线 () 在点(, () 处的切线与 轴的交点是(, ), 证明 ( 年第 题) 已知函数 () 在, 上具有 阶导数,且 () , () ,() ,证明:() 存在 (,),使得 () ;() 存在 (,),使得 () 第三章 一元函数积分学第一节 不定积分的计算 ( 年第 题) 已知函数 () ( ), , , ,则 () 的一个原函数是( )()() ( ), ,( ), ()() ( ), ,( ) , ()() ( ), ,( ) , ()() ( ), ,( ) , (
16、 年第 题) 求不定积分 历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务( 年第 题) 求不定积分 ( )( )第二节 定积分的概念与性质( 年第 题)() 比较 ( ) 与 ( , , ) 的大小,说明理由;() 记 ( )( , , ),求极限( 年第 题) 设 ( ), ( ), ( ),则 , 的大小关系为( )() () () () ( 年第 题) 设 ( , , ),则有( )() () () () ( 年第 题) ()( 年第 题) 极限 ()( 年第 题) 求 ( )( 年第 题)
17、设 ( ) , , ( ),则( )() () () () 第三节 定积分的计算( 年第 题) 设 () 是周期为 的可导奇函数,且 () ( ), , ,则() ( 年第 题) 设函数 () ( ),求 (),并求 () 的最小值( 年第 题) 已知函数 () , 则() 第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务第四节 变限积分( 年第 题) 设函数 () , , ,() (),则( )() 是函数 () 的跳跃间断点() 是函数 () 的可去间断点()() 在 处连续但不可导()() 在 处可导( 年第 题)
18、设函数() 连续,() () 若() , () ,则()( 年第 题) 求 第五节 反常积分的计算与敛散性( 年第 题) 设 , 均是正整数,则反常积分( ) 的收敛性( )() 仅与 的取值有关() 仅与 的取值有关() 与 , 的取值都有关() 与 , 的取值都无关( 年第 题) 设函数 () , , , ,则() ( 年第 题) 设函数 () ( ), , 若反常积分() 收敛,则( )() () () () ( 年第 题) ( 年第 题) 下列反常积分中收敛的是( )()() () ()( 年第 题) 反常积分 , 的敛散性为( )() 收敛, 收敛() 收敛, 发散() 发散, 收敛
19、() 发散, 发散历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务( 年第 题)( )( ) ( 年第 题) ( 年第 题) 下列反常积分发散的是( )() () () () 第六节 定积分的应用( 年第 题) 当 时,对数螺线 的弧长为( 年第 题) 一个高为的柱体形贮油罐,底面是长轴为,短轴为 的椭圆 现将贮油罐平放,当油罐中油面高度为 时(如图),计算油的质量 (长度单位为 ,质量单位为 ,油的密度为常量 ,单位为 )( 年第 题) 曲线 ()的弧长 ( 年第 题) 一容器的内侧是由图中曲线绕
20、轴旋转一周而成的曲面,该曲线由 ( )与 ( )连接而成() 求容器的容积;() 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出,至少需要做多少功?(长度单位: , 重力加速度为 , 水的密度为 )( 年第 题) 过点(, ) 作曲线 : 的切线,切点为 ,又 与 轴交于 点,区域 由 与直线 围成 求区域 的面积及 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积( 年第 题) 设封闭曲线 的极坐标方程为 (),则 所围平面图形的面积是( 年第 题) 设是由曲线 ,直线 ( ) 及轴所围成的平面图形,分别是 绕 轴, 轴旋转一周所得旋转体的体积 若 ,求 的值( 年第 题) 一根长度为 的细棒位于 轴的区间, 上, 若
21、其线密度() ,则该细棒的质心坐标 第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务( 年第 题) 已知函数(, ) 满足 ( ),且(, ) ( ) ( ) ,求曲线 (, ) 所围图形绕直线 旋转所成旋转体的体积( 年第 题) 设 , 是由曲线段 ( )及直线 , 所围成的平面区域,分别表示 绕 轴与绕 轴旋转所成旋转体的体积 若 ,求 的值( 年第 题) 设 是由曲线 ( ) 与 , ()围成的平面区域,求 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积( 年第 题) 甲,乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方 (单位:) 处,
22、图中,实线表示甲的速度曲线 ()(单位: ),虚线表示乙的速度曲线 (),三块阴影部分面积的数值依次为, 计时开始后乙追上甲的时刻记为 (单位:),则( )() () () () ( 年第 题) 已知曲线 : ( ),点 (,),点 (,) 设 是 上的动点, 是直线 与直线 及曲线 所围图形的面积 若 运动到点(,) 时沿 轴正向的速度是 ,求此时 关于时间 的变化率( 年第 题) 曲线 ( )的弧长为( 年第 题) 设 为正整数,记 为曲线 ( ) 与 轴所围图形的面积,求 ,并求第七节 与积分有关的综合题( 年第 题) 设函数(), () 在区间, 上连续,且() 单调增加, () 证明
23、:() () , , ;()()() ()()( 年第 题) 设函数 () , , 定义函数列:() (), () (), , () (), 记 是由曲线 (),直线 及 轴所围平面图形的面积 求极限历年考研数学真题解析及复习思路(数学二)【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务( 年第 题) 已知函数 () 在 ,上连续,在 ,()内是函数 的一个原函数,且 () () 求 () 在区间 ,上的平均值;() 证明 () 在区间 ,()内存在唯一零点( 年第 题) 已知连续函数 () 满足() ( ) () 求 ();() 若 ()
24、 在区间, 上的平均值为 ,求 的值第四章 多元函数微积分学第一节 偏导数的概念与计算 ( 年第 题) 设函数 (, ) 由方程 ,() 确定,其中 为可微函数,且 ,则 ( )()()() () ( 年第 题) 设函数 (, ) 具有二阶连续偏导数,且满足等式 确定 , 的值,使等式在变换 , 下简化为 ( 年第 题) 设函数 (, (),其中函数 具有二阶连续偏导数,函数 ()可导且在 处取得极值 () ,求 ( 年第 题) 设函数(, ) 可微,且对任意的, 都有(,) ,(,) ,则使不等式 (, ) (, ) 成立的一个充分条件是( )() , () , () , () , ( 年第
25、 题) 设 (),其中函数 () 可微,则 ( 年第 题) 设 (),其中函数 可微,则 ( )() ()() ()()()() ()第一部分 高等数学【世纪高教在线】考研数学历年真题分类精讲 课程讲义看课地址:公众号 世纪高教在线-看课-全部课程与服务( 年第 题) 设函数 (, ) 满足 ,() ,则 , 依次是( )(), (),() , (), ( 年第 题) 已知函数 (, ) ,则( )() () () () ( 年第 题) 设(,) 具有一阶偏导数,且对任意的(,),都有(,) ,(,) ,则( )()(,) (,)()(,) (,)()(,) (,)()(,) (,)( 年第
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