解析几何解答题-深度·拔高系列讲义-第2篇:解析几何重要几何条件的转化策略.pdf
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1、关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 公众号 逻辑数学精品课 解析几何专题 2020/10/27 关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 解析几何解答题-深度拔高系列讲义 第 2 篇:解几答题概述解析几何重要几何条件的转化策略 目录 一、转化策略 . 3 二、关键几何条件转化范例 . 9 【垂直平分线
2、+三角形面积】 . 9 【等腰三角形】 . 10 【三角形面积比】 . 12 【三角形垂心】 . 15 【三角形外接圆】 . 17 【中位线】 . 18 【平行四边形】 . 19 【已知直径/圆过定点】 . 20 【点在圆内】 . 24 【四点共圆】 . 26 【圆的切线】 . 27 【垂直】 . 28 【垂直平分线】 . 31 关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 一、转化策略 几何几何图形图形 几何几何关系关系 代数化代数化 平行四边形 对边
3、平行 方式:斜率相等 方式:向量平行 对边相等 微信公众号:逻辑数学精品课 方式:两点距离公式 方式:横(纵)坐标差相等 (平行四边形特有) 对角线互相平分 中点坐标重合 直角三角形 两边垂直 方式:斜率乘积为-1 方式:向量数量积为 0 勾股定理 两点的距离公式 斜边中线性质 (中线等于斜边一半) 两点的距离公式 等腰三角形 两边相等 两点的距离公式 两角相等 底边水平或竖直时,两腰斜率相反 特别说明:直线 AB与直线 MN关于水平或竖直线对称 ? 0ABMNkk+= 三线合一 (垂直平分线) 【垂直】 斜率乘积为-1 或向量数量积为 0 即:0,PAPBPM AB=?=其中M为AB中点.
4、【平分】 中点坐标公式 【补充补充 1 1】 两点距离公式两点距离公式:设1122( ,),(,),A x yB xy为直线ykxm=+上的任意两点,则2222121212|1|(1)()41ABkxxkxxx xka?=+?=+=+ a?(其中为“曲直联立”后的二次方程所对应的二次项系数,为“曲直联立”后的二次方程所对应的根的判别式) 关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 12211AByyk=+或者: 点到直线距离公式点到直线距离公式:002
5、2AxByCdAB+=+ 两平行线两平行线间距离公式间距离公式: :1222|CCdAB=+ 定比分点公式定比分点公式: 已知111(,)P x y,222(,)P xy,(,)P xy,若12PPPP?= 则OP=?+111OP+?+?12OP 坐标公式121211xxxyyy?+?=?+?+?=?+?,(1? ) ,即12(,1xxP?+=+ 12)1yy?+ 注意:点P为12PP所成的比为?,用数学符号表达即为1PP=?2PP.当?0 时,P为内分点; 0 时,P 为外分点. 【补充【补充 2 2】三角形面积比】三角形面积比 处理策略:处理策略: 同底(等底)两三角形的面积比等价于两三角
6、形高的比; 同高(等高)两三角形的面积比等价于两三角形底的比; 同角(等角)两三角形的面积比可以借助面积公式:1sin2SabC=化简.微信公众号:逻辑数学精品课 例如:例如: 如右图, 33OABMABSSOPMQ?=?= 【补充【补充 3 3】三角形】三角形“四心”“四心” 三角形的“重心” :设不共线的三点()()()112233,A x yB xyC x y,则ABC?的重心123123,33xxxyyyG+? xyQPAOF1F2BMxyOP2P1P关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云
7、集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 三角形的“垂心” :伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直,从而可转化为向量数量积为零 三角形的“内心” :伴随着角平分线,具体转化见下文角平分线代数化方式. 三角形的“外心” :伴随着中垂线,具体转化见上文中垂线转化方式. 圆 点在圆上 点与直径端点向量数量积为零 点在圆外 点与直径端点向量数量积为正数 点在圆内 点与直径端点向量数量积为负数 切线 方式:圆心与切点的连线与切线互相垂直 方式:圆心到切线的距离等于半径 【补充】【补充】四点共圆四点共圆 平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一:如右图,平面上有四点ABCD、 、 、,
8、若AD? =?,则ABCD、 、 、四点共圆微信公众号:逻辑数学精品课 方法二:如右图,线段ACBD、交于E,若AE CEBE DE?=?,则ABCD、 、 、四点共圆 方 法 三 : 如 右 图 , 线 段ABCD、的 延 长 线 交 于F, 若AF BFCF DF?=?,则ABCD、 、 、四点共圆 方法四:如右图,若四边形ABCD, 180BADBCD?+ ?=?,则ABCD、 、 、四点共圆 方法五:方法五:托勒密定理托勒密定理 在圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和微信公众号:逻辑数学精品课 如图上,设四边形ABCD内接于圆O,则有AB CDAD BCAC BD, 证
9、明: 不妨在AC上取一点E, 使ADEBDC?= ?, 由DAEDBC?= ?, 得AEDBCD,所以BDADBCAE=,即BCADBDAE?=?, 又 由ADBEDC?= ?,ADBECD?= ?,ABD?ECD?, 所 以CDBDECAB=, 即FEOBCAD关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 CDABBDEC?=? 两式相加得BCADCDABBDAC?+?=?. 广义托勒密定理:广义托勒密定理:在四边形ABCD中,有AB CDAD BCA
10、C BD,当且仅当四边形ABCD四点共圆时,等号成立. 证明:在四边形ABCD内取一点E使ABE=ACD,BAE=CAD, 则ACDABE 微信公众号:逻辑数学精品课 ABBEAB CDAC BEACCD, 又ADAEACAB=?, 且BAC=EAD, ABCAED, BCEDAD BCAC EDACAD=?=?;由+得)(EDBEACBCADCDAB+?=?+?, AB CDAD BCAC BD?+?,等号当且仅当点 E 在 BD 上,即 A,B,C,D 四点共圆时成立. 角 锐角,直角,钝角 角的余弦(向量数量积)的符号 倍角,半角,平分角 角平分线性质 夹角/到角公式 等角(全等或相似)
11、 比例线段或斜率 【补充【补充 1 1】角平分线角平分线性质性质: 角平分线第一定理角平分线第一定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线第二定理角平分线第二定理:如右图,AD为BAC?的角平分线交BC于D点,则ABBDACCD=.微信公众号:逻辑数学精品课 外角外角平分线平分线定理定理:如右图,AD为外角CAF的角平分线交BC延长线于E点,则BEABECAC=. 【补充【补充 2 2】倒角公式倒角公式与夹角公式与夹角公式: “到角”的概念:“到角”的概念: EDABCF关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560
12、,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 1l围绕12,l l的交点按逆时针方向转动, 第一次和2l重合时扫过的最小正角,称作1l到2l的角?。?的范围:0180?( “到角”只研究两直线相交的情况,所以0? ?且180?) 到角公式到角公式: 设12,l l的斜率分别是12,k k,1l到2l的角?,则2121tan(90 )1kkkk?=?+? “夹角”的概念“夹角”的概念 1l与2l的夹角?:规定形成角中不大于的90?角叫两条直线的夹角。1l与2l相交不垂直时:090?;1l与2l相交垂直时:90?=?;所以?的范围:090?; 夹角夹角公式公式:微信公众
13、号:逻辑数学精品课 设12,l l的 斜 率 分 别 是12,k k,1l与2l的 夹 角?, 则2121tan|(90 )1kkkk?=?+? “到角”公式, “夹角”公式使用范围:12,? ? ?均不等于90? 对于不适于使用公式的情形,常用数形结合解决。微信公众号:逻辑数学精品课 中位线 平行于第三边 斜率相等,或向量平行 长度等于第三边的一半 两点距离公式 特别地: 当圆/椭圆/双曲线的弦过坐标原点时,原点 O 已是弦的中点,如图: 椭圆的弦AB过坐标原点, ,M N分别是 22,AF BF的中点,则四边形 2OMF N为平行四边形. 三点共线 方式 通过斜率:任取两点求出斜率,若斜率
14、相等,则三点共线 方式 通过向量:任取两点确定向量,若xyNMBOF2A21yxl1l2O12yxl2l1O关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 向量共线,则三点共线 蒙日圆 定理定理 1:曲线1:2222=+?byax的两条互相垂直的切线的交点 P 的轨迹是圆2222bayx+=+. 定理 1 的结论中的圆就是蒙日圆. 证明证明: 当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为 0 时,可得点P 的坐标是),(ba?,或),(ba ?. 当
15、题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为 0 时,可设点P 的坐标是,)(,(000axyx?且)0by?,所以可设曲线?的过点 P 的切线方程是)0)(00?=kxxkyy.由?=+)(1002222xxkyybyax, 得:0)()(2)(2220020022222=+baykxaxykxkaxbka 由其判别式的值为 0,得 )0(02)(220220002220?=+axbykyxkax 因为PBPAkk,是这个关于k的一元二次方程的两个根,所以 220220axbykkPBPA+=? 由此,得2220201bayxkkPBPA+=+?=? 进而可得欲证成立. 引理引理:椭圆的
16、光学性质椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线, 经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上: 关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 二、关键几何条件转化范例 【垂直平分线【垂直平分线+ +三角形面积三角形面积】 【题 1】 已知椭圆(abxayC1:2222=+b)0的离心率为,22且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为22.斜率为()0?kk的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M
17、(0,m). (1)求椭圆的标准方程; (2)求 m 的取值范围. (3)试用 m 表示MPQ 的面积 S,并求面积 S 的最大值. 【解析】【解析】 (1) 依题意可得?=+=+, 12, 12caca解得. 1,2=ca从而. 1, 22222=caba所求椭圆方程为. 1222=+ xy 微信公众号:逻辑数学精品课 (2)直线l的方程为. 1+= kxy 由?=+=, 12, 122xykxy可得(). 012222=+kxxk微信公众号:逻辑数学精品课 该方程的判别式=()22288244kkk+=+0 恒成立. 设()(),2211yxQyxP则.21,22221221+=+=+kx
18、xkkxx 可得().24222121+=+=+kxxkyy 设线段 PQ 中点为 N,则点 N 的坐标为.22,222?+kkk 极点/极线、 阿基米德三角形、 第三定义与向量模型等其他几何要素的性质请大家参考 圆锥曲线二级结论深度易记系列讲义自行了解,在此不再赘述. 关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 线段 PQ 的垂直平分线方程为.212222?+=kkxkky 令0=x,由题意.212+=km 又0?k,所以 0m.21 (3)点()0
19、,Mm到直线1:+= kxyl的距离221111kmkmd+=+= ()212212212411xxxxkxxkPQ+?+=+=242212222+?+?+=kkkk=2228812kkk+=+?+微信公众号:逻辑数学精品课 于是28811121212222+?+?+?=?=?kkkkmPQdSMPQ.2882122+?=kkm 由,212+=km可得. 212=mk代入上式,得(),123mmSMPQ=? 即() (0123mmS=m?21. 设( )(),13mmmf=则( )() ().4112mmmf=? 而( )0fm?( )10,04mfm?1142m? 所以( )mf在?41,
20、0上单调递增,在?21,41上单调递减. 所以当41=m时,( )mf有最大值.2562741=?f 所以当41=m时,MPQ?的面积 S 有最大值.1663微信公众号:逻辑数学精品课 【等腰三角形】【等腰三角形】 【题 2】在直角坐标系xOy中,已知点(2,0), ( 2,0)AB,E为动点,且直线EA与直线EB斜率之积为12, (1)求动点E的轨迹C方程; 关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 (2)设过点F(1,0)的直线l与椭圆C交于两点
21、,M N,若点P在y轴上,且| |PMPN=,求点P的纵坐标的范围 【解析】 (1)设动点E的坐标为( , )x y,依题意可知1222yyxx= +整理得221(2)2xyx+=? ?,所以动点E的轨迹C的方程为221(2)2xyx+=? ? (2)当直线l的斜率不存在时,满足条件的点P的纵坐标为 0,当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为(1)yk x=,将(1)yk x=代入2212xy+=,并整理得,2222(21)4220kxk xk+=,2880k? =+? 设11( ,)M x y,22N(,)xy,则2122421kxxk+=+,122221x xk=+,设MN的中点为Q,则2
22、2221Qkxk=+,2(1)21QQkyk xk= +,所以2222(,)2121kkQkk+, 由题意可知0k ?,又直线MN的垂直平分线的方程为22212(x)2121kkykkk+= +, 令0 x =解得211212Pkykkk=+,当0k ?时,因为122 2kk+?,所以12042 2Py?=微信公众号:逻辑数学精品课 关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 当0k ?时,因为122 2kk+? ,所以12042 2Py? = ,综上
23、所述,点P的纵坐标的范围是22,44. 【三三角形面积比】角形面积比】 【题 3】 (2020江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆22:143xyE+=的左、右焦点分别为 F1,F2,点 A在椭圆 E上且在第一象限内,AF2F1F2,直线 AF1与椭圆 E相交于另一点 B (1)求AF1F2的周长; (2)在 x轴上任取一点 P,直线 AP与椭圆 E 的右准线相交于点 Q,求OP QP?的最小值; (3)设点 M 在椭圆 E上,记OAB与MAB的面积分别为 S1,S2,若 S2=3S1,求点 M 的坐标微信公众号:逻辑数学精品课 【答案】 (1)6; (2)-4; (3)()2,0M
24、或212,77?. 【解析】 (1)根据椭圆定义可得124AFAF+=,从而可求出12AF F的周长; (2)设()0,0P x,根据点A在椭圆E上,且在第一象限,212AFFF,求出31,2A?,根据准线方程得Q点坐标,再根据向量坐标公式,结合二次函数性质即可出最小值; (3)设出设()11,M x y,点M到直线AB的距离为d,由点O到直线AB的距离与关注微信公众号:逻辑数学精品课,获取号内其他原创优质讲义! 逻辑出品,必属精品 教研 QQ 群:439883560,内有优质备课资料,云集众多解题大神;更多资料关注公众号:逻辑数学精品课 213SS=,可推出95d =,根据点到直线的距离公式
25、,以及()11,M x y满足椭圆方程,解方程组即可求得坐标. 【解析】 (1)椭圆E的方程为22143xy+=,()11,0F ,()21,0F 由椭圆定义可得:124AFAF+=. 12AF F的周长为426+= (2)设()0,0P x,根据题意可得01x ?.点A在椭圆E上,且在第一象限,212AFFF 31,2A?,准线方程为4x =,()4,QQy, ()()()()200000,04,4244QOP QPxxyxxx?=?=? ,当且仅当02x =时取等号. OP QP?的最小值为4.微信公众号:逻辑数学精品课 (3)设()11,M x y,点M到直线AB的距离为d.31,2A?
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