考点5等比数列教师 .pdf
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1、玩转数学培优题型篇安老师培优课堂考考点点 5 5等等比比数数列列玩前必备1等比数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示,an1anq说明:等比数列中没有为 0 的项,其公比也不为 0.(2)等比中项:如果 a、G、b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项即:G 是 a 与 b 的等比中项a,G,b 成等比数列G2abG ab 说明:任何两个实数都有等差中项,但与等差中项不同,只有同号的两个数才有等比中项两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数2
2、等比数列的有关公式(1)通项公式:ana1qn1(2)前 n 项和公式:Snna1,q1,a1(1qn)1qa1anq1q,q1.3等比数列的性质已知数列an是等比数列,Sn是其前 n 项和(m,n,p,q,r,kN*)(1)若 mnpq2r,则 amanapaqa2r;玩转典例题型一等比数列基本量的运算例例 1(1)(2017 新课标)设等比数列na满足121aa ,133aa ,则4a= _【解析】设na的首项为1a,公比为q,所以1121113aa qaa q ,解得112aq ,则3418aa q (2)(2017 北京)若等差数列 na和等比数列 nb满足111ab ,448ab,则
3、22ab=_玩转高中数学交流群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂【解析】设 na的公差为d, nb的公比为q,由题意31 38dq ,所以3d ,2q ,所以221 31( 2)ab 例例 2已知等比数列an的前 n 项和为 Sn,a332,S392,则公比 q()A. 1 或12B. 12C. 1D. 1 或12答案A解析设数列的公比为 q,a332,S392,a1q232,a1(1qq2)92,两式相除得1qq2q23,即 2q2q10.q1 或 q12.玩转跟踪1. (2015 安徽)已知数列na是递增的等
4、比数列,14329,8aaa a,则数列na的前n项和等于【解析】 由题意,14231498aaaaa a, 解得141,8aa或148,1aa, 而数列na是递增的等比数列,所以141,8aa, 即3418aqa, 所以2q , 因而数列na的前n项和1(1)1 22111 2nnnnaqSq2.(2015新课标全国,13)在数列an中,a12,an12an,Sn为an的前 n 项和.若 Sn126,则 n_.解析由 an12an知, 数列an是以 a12 为首项, 公比 q2 的等比数列, 由 Sn2(12n)12126,解得 n6.答案63.(北京)若等比数列 na满足24aa=20,3
5、5aa=40,则公比q=;前n项和nS=【解析】由35aa=24q aa得2q ;3241aaaqq=20,得12a ;12 1 2221 2nnnS玩转高中数学交流群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂4.(天津)设an是首项为 a1,公差为1 的等差数列,Sn为其前 n 项和若 S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值为_解析因为等差数列an的前 n 项和为 Snna1nn12d,所以 S1,S2,S4分别为 a1,2a11,4a16.因为 S1,S2,S4成等比数列,所以(2a11)2a1(4a16),解方程
6、得 a112.题型二等比数列的性质及应用例 3已知an为等比数列(1)若 an0,a2a42a3a5a4a625,求 a3a5;(2)若 an0,a5a69,求 log3a1log3a2log3a10的值解(1)a2a42a3a5a4a6a232a3a5a25(a3a5)225,an0,a3a50,a3a55.(2)根据等比数列的性质 a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79.a1a2a9a10(a5a6)595.log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log3955log3910.玩转跟踪1.(广东)等比数列 na的各项均为正数,且154a a ,则21222
7、32425log+log+log+log+log=aaaaa_【解析】由等比数列的性质可知215243a aa aa,于是,由154a a 得32a ,故1234532a a a a a ,则2122232425log+log+log+log+log=aaaaa2123452log ()log 325a a a a a2.(新课标全国,9)已知等比数列an满足 a114,a3a54(a41),则 a2()A.2B.1C.12D.18解析由an为等比数列,得 a3a5a24,所以 a244(a41),解得 a42,设等比数列an的公比为 q,则 a4a1q3,得 214q3,解得 q2,所以 a
8、2a1q12.选 C.答案C题型三等等比比数数列列综综合合应应用用例(四川,16)设数列an(n1,2,3,)的前 n 项和 Sn满足 Sn2ana1,且 a1,a21,a3成等差数列.玩转高中数学交流群(721144129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂(1)求数列an的通项公式;(2)设数列1an的前 n 项和为 Tn,求 Tn.解(1)由已知 Sn2ana1,有 anSnSn12an2an1(n2),即 an2an1(n2),从而 a22a1,a32a24a1,又因为 a1,a21,a3成等差数列,即 a1a32(a21),
9、所以 a14a12(2a11),解得 a12,所以,数列an是首项为 2,公比为 2 的等比数列,故 an2n.(2)由(1)得1an12n,所以 Tn1212212n12112n112112n.例 5 (2019 全国 2 卷理 19) 已知数列an和bn满足 a1=1, b1=0,1434nnnaab,1434nnnbba.(1)证明:an+bn是等比数列,anbn是等差数列;(2)求an和bn的通项公式.玩转跟踪1.(北京,15)已知an是等差数列,满足 a13,a412,数列bn满足 b14,b420,且bnan为等比数列.(1)求数列an和bn的通项公式;玩转高中数学交流群(7211
10、44129)旨在打造课外辅导专用讲义,更多资料关注公众号玩转高中数学研讨 玩转数学培优题型篇安老师培优课堂(2)求数列bn的前 n 项和.解(1)设等差数列an的公差为 d,由题意得 da4a1312333.所以 ana1(n1)d3n(n1,2,).设等比数列bnan的公比为 q,由题意得 q3b4a4b1a12012438,解得 q2.所以 bnan(b1a1)qn12n1.从而 bn3n2n1(n1,2,).(2)由(1)知 bn3n2n1(n1,2,).数列3n的前 n 项和为32n(n1),数列2n1的前 n 项和为 112n122n1.所以,数列bn的前 n 项和为32n(n1)2
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