市林业局林业工作总结.docx
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1、1、数学建模与数学实验 后勤工程学院数学教研室 微 分 方 程 实验目的 实验内容 2、学会用Matlab求微分方程的数值解. 1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解. 1、求简单微分方程的解析解. 4、实验作业. 2、求微分方程的数值解. 3、 数学建模实例 求微分方程的数值解 (一)常微分方程数值解的定义 (二)建立数值解法的一些途径 (三)用Matlab软件求常微分方程的数值解 。2、数学建模与数学实验 后勤工程学院数学教研室 微 分 方 程 实验目的 实验内容 2、学会用Matlab求微分方程的数值解. 1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解. 1、求简单微分方程的解析解.
2、 4、实验作业. 2、求微分方程的数值解. 3、 数学建模实例 求微分方程的数值解 (一)常微分方程数值解的定义 (二)建立数值解法的一些途径 (三)用Matlab软件求常微分方程的数值解 。3、4.3 Newton 迭代 法 对于方程 f (x) 0,应用迭代法时先要改写成 x g(x),即需 要针对 f (x) 构造不同的合适的迭代函数 g(x),显然可以取迭代函 数为 g(x) x f (x),相应迭 代公式为: xk 1 xk f (xk ) 一般地,这种迭代公式不一定收敛,或者速度很慢。对此 公式应用前面的加速技术具体格式为: L k 1k 1k 1 f (xk ) xk 1 xk
3、x x (x x ) 1Lk 4.3.1 Newton 迭代法的基本概念 记 M L 1,则上面二式 可合并写为: Mxk 1 xk f (xk ) M g(x) x f (x) 面的迭代函数: 又由于 L为 g (x) 的近似值,而 g(x) x f (x) ,因此 M L 1 实际上是 f (x) 的。4、4.2 非线性方程的迭代解法 (1) 价的方程:x g(x) (4.2.1) 价方程: 然而将 f (x) 0 化为等价方程 (4.2.1)的方法是很多的。 例 4.2.1 对方程 f (x) x sin x 0.5 0可用不同 的方法将其化为等 2 1 x sin x 0.5g (x)
4、( 2 ) ( 1 )x sin x 0.5g1 (x) 4.2.1 迭代解法的基本概念 迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程,超越方程 及方程组的一种基本方法,但存在收敛性及收敛快慢的问 题。 用迭代法求解 f (x) 0的近似根,首先需将此方程化为 等 定义 4.2.1 (迭代法) 设方程为 x g(x) , 取方程根的一个初始近似 x0 ,按 下面 的逐次代入。5、4.2 非线性方程的迭代解法 (2) 对于收敛的迭代过程,只要迭代足够多次,总可以使结 果达到任意的精度。但有时迭代收敛缓慢,从而使计算量 变 得很大,因此迭代过程的加速是一个很重要的课题。 1 0 1 0 1L 1L 设
5、为根的某个预测值,用迭代公式校正一次 得: 由中值定理:,介于 近似地取某常数,则由 1 L x x* L(x x* ) x* x x 1 0 x g(x ) * *1 0 x x g ()(x x ) * 0 x , x 之间,若 g (x)改变不 大。 0 x * x 可以期望按上式右端求得的 2 的近似值。 1 10是比 x1 更 好 1LL x x x0 x1 (x x ) 1L 1L 1 L 4.2.3 迭代解法的收敛性及改进 若。6、Matlab解微分方程 1 除了上述的已知ODE外,还须有起始条件 y0=y(x0)才能解方程式,即是在x=x0时, y(x)=y0。上述各个方程式
6、的解析解 (analytical solution) 如下: 2 阮奇-库达 (Runge-Kutta) 方法是最通用的解 ODE 的方法,它可以依计算精确度的要求有低 阶到高阶的各个 计算式, 3 MATLAB应用阮奇-库。7、山东大学硕士学位论文正倒向随机微分方程的数值解及其在金融中的应用姓名:包峰申请学位级别:硕士专业:金融数学指导教师:赵卫东;彭实戈20090501山东大学硕士学位论文中文摘要随着现代社会的发展,金融产品已经成为人们生活中不可或缺的组成部分,用于分析金融市场交易的各种数理模型也层出不穷正倒向随机微分方程是上世纪九十年代以后发展起来的一类重要的随机微分方程。随着倒向随机微
7、分方程在数理金融中的地位越来越显著,正倒向随机微分方程也逐渐显示出它在处理金融问题中所起到的作用本文主要讨论正倒向随机微分方程的数值解法及。8、7.5 一阶方程组和高阶方程的初值问题 理解为向量,那么,所提供的各种计算公式即可应用到 y 前面研究了单个方程f ( x, y) 初值问题的数值解法, 只要 把 y 和 f i y fi (x, y1, y2 , , ym ) yi (a) yi 0 , i 1, 2, , m 一阶方程组的情形。 含多个方程的一阶方程组初值问题的一般形式为 ( 7.5.1 ) 如果实际问题不是一阶方程组而是高阶方程,也可以把它化为一 阶方程组。 ( 7.5.2 )
8、( m 1) 例如, m 阶微分方程 y(m) f (x, y, y, , y(m1) ) 只要引进新变量组 y1 y, y2 y , , ym y 式( 7.5.2 )就可化为一阶方程组 y 1 y2 y 2 y3 y m f 。9、7.4 非线性高阶单步法 Runge-Kutta 法 (2) 2! 3! 2 6 nn xxnnxynnnnyynnnn h 2 n1nnn y(x) y(x h) y(x ) hy (x ) 1 h2 y (x ) 1 h3 y(3) (x ) O(h4 ) y(xn ) hf (xn , y(xn ) 3 ( fx (xn , y(xn ) f y (xn
9、, y(xn ) f (xn , y(xn ) h f (x , y(x ) 2 f(x , y(x ) f (x , y(x ) f(x , y(x ) f 2 (x , y(x ) 4 26 ynnxnnynnnn ny f (x , y(x )( f (x , y(x ) f (x , y(x ) f (x , y(x ) O(h ) y(x ) h f 1 hF 1 h2 (Ff G) O(h3 ) y(x ) h(x , y , h) n。10、7.4 非线性高阶单步法 Runge-Kutta 法 (1) Euler 法是最简单的单步法,单步法不需要附加初值,所需的 存储量小,改变步
10、长灵活,但是线性单步法的阶最多是 2 。本节讨 论非线性(关于f )高阶单步法的构造,主要介绍 Runge-Kutta 法。 7.4.1 Taylor 展开法 nnn 2! p! h( p1) y( p1) () n1nn 1 ( p 1)! y(x) y(x ) hy (x ) 1 h2 y(x ) 1 hp y( p) (x ) ( 7.4.1 ) (k ) n 其中 n 是介于 xn 与 xn1 之间 的常数,y (x ), (k 1, 2,., p 1) 是 解函 数 y(x) 在点 xn 的 k 阶导数,其值可以利用微分方程本身 来计算: 设初值问题( 7.2.1 )的。11、 上一
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