初中数学复习 最值问题解题策略.pdf
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1、山柳讲数学 1 第第六六学学 最值问题解题策略最值问题解题策略 【基础要点基础要点】 初中阶段,几何方面求线段的最值问题,离不开两句话 让我们一起大声喊出来: 两点之间,线段最短; 垂线段最短 基本模型:将军饮马,胡不归,阿氏圆 【典型例题典型例题】 模型模型 1:将军饮马将军饮马 模型介绍:古希腊有一个著名的“将军饮马问题”,大致内容如下:古希腊一位将军,每天都 要巡查河岸侧的两个军营 A、 B, 他总是先去 A 营, 再到河边饮马, 之后再去 B 营, 如图 , 他时常想,怎么走才能使每天的路程之和最短呢? 大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题 如图,作 B 关于直线 l 的对称
2、点 B,连接 AB与直线 l 交于点 C,点 C 就是所求的位置 请你在下列的阅读、应用的过程中,完成解答 (1)理由:如图,在直线 L 上另取任一点 C,连接 AC,BC,BC, 直线 l 是点 B,B的对称轴,点 C,C在 l 上 CB=,CB= AC+CB=AC+CB= 在ACB中,ABAC+CB,AC+CBAC+CB即 AC+CB 最小 归纳小结: 本问题实际是利用轴对称变换的思想,把 A、B 在直线的同侧问题转化为在直线的两侧,从 而可利用“两点之间线段最短”,即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其 中 C 为 AB与 l 的交点,即 A、C、B三点共线) 本问题可拓
3、展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型 (2)模型应用 1如图 ,正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 AB 的中点,F 是 AC 上一动点 求 EF+FB 的最小值 分析:解决这个问题,可以借助上面的模型,由正方形的对称性可知,B 与 D 关于直线 AC 对称,连结 ED 交 AC 于 F,则 EF+FB 的最小值就是线段的长度,EF+FB 的最小值 是 2如图,已知O 的直径 CD 为 4,AOD 的度数为 60,点 B 是的中点,在直径 CD 上找一点 P,使 BP+AP 的值最小,则 BP+AP 的最小值是; 山柳讲数学 2 3如图,一次函数 y=2x+
4、4 的图象与 x,y 轴分别交于 A,B 两点,点 O 为坐标原点,点 C 与点 D 分别为线段 OA,AB 的中点,点 P 为 OB 上一动点,求:PC+PD 的最小值,并写 出取得最小值时 P 点坐标 图 (3)拓展迁移 如图,已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为 x=1,且抛物线经过 A(1,0)、C(0, 3)两点,与 x 轴交于另一点 B 求这条抛物线所对应的函数关系式; 在抛物线的对称轴直线 x=1 上找到一点 M,使ACM 周长最小,请求出此时点 M 的坐标 与ACM 周长最小值(结果保留根号) (4)代数应用:求代数式3664 2 2 xx(0x6)的最小值 山柳
5、讲数学 3 模型模型 2:胡不归胡不归 有一则历史故事: 说的是一个身在他乡的小伙子, 得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家然而,当他气喘吁吁地来到父亲的面前时,老人刚刚咽气了人们告诉他,在弥留之际, 老人在不断喃喃地叨念:“胡不归?胡不归?” 早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线 (如下图) A 是出发地, B 是目的地;AC 是一条驿道,而驿道靠目的地的一侧是沙地为了急切回家,小伙子选择 了直线路程 AB 但是, 他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素 如果他能选择一条合 适的路线(尽管这条路线长一些,但是速度可以加快),是可以提前抵达家门的 那么,这应该是那
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