北京市海淀区2009年高考一摸考试理科数学试卷.docx

1、北京市海淀区 2009年高考一摸考试理科数学试卷本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 2 页，第 II卷 3 至 9 页，共 150分.考试时间120 分钟.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回.第 I 卷（选择题共 40 分）注意事项：1答卷前将学校、班级、姓名填写清楚.2选择题的每小题选出答案后， 用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑.其它小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 .一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.（1）11(ii)2的值等于（ ）（A）1 （B）i

2、（C） 1 （D） i（2）若 O 是 ABC 所在的平面内的一点，且满足BO OC OC OA 0 ，则 ABC 一定是（ ）（A ）等边三角形 （B）斜三角形 （C）等腰直角三角形 （D）直角三角形（3）若函数 y f (x) 的定义域为M x|2 x 2 ，值域为N y|0 y 2,则函数 y f (x) 的图象 可 能 是（ ）y y y y2 2 2 2xO O x O O x-2 -2 2 -2 2 -2 2（A） （ B） （C） （D）x（4）若集合2A 1, m ，集合 B 2, 4 ，则 “m 2 ”是 “A B 4 ”的 （ ）（A ）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

3、（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）已知圆22 1 2x y 上任一点 P x,y ，其坐标均使得不等式x y m 0 恒成立，则实数 m 的 取 值 范围是（ ）（A ） 1, （B） ,1 （C） 3, (D) , 3（6）2007 年 12 月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧 .为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤 .某铁路货运站对6 列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6 列列车编成两组，每组 3 列，且甲与乙两列列车不在同一小组 .如果甲所在 小 组 3 列 列 车 先 开 出 ， 那 么这6 列 列 车 先 后 不

4、同 的发车顺序 共 有（ ）（A ）36 种 （B）108 种 （C）216 种 （D）432 种 2 的焦点 F，交抛物线于A，B 两点，且点 A 在 x轴上方，若直线 l 的倾斜（7）直线 l 过抛物线 y x角 ,4则|FA |的取值范围是 （ ）1 3（A ） ) , （B）4 2 1 3 2( , 4 4 2 1 3 1 2（C） ( , （D）( ,1 4 2 4 2y(8) 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足f (4) 1 f (x) 为 f (x) 的导函Ox 数，已知函数 y f (x)的图象如右图所示.若两正数 a,b满足bf (2a b) 1，则a22的取值范围是

5、（ ）（A ）1 1( , )3 2（B）1( , ) 3,2（C）1( , 3)2（D） ( , 3)海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科） 2008.04第 II 卷（共 110 分）注意事项 ：1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 .2答卷前将密封线内的项目填写清楚 .题号 一 二三（15） （16） （17） （18） （19） （20）总分分数二、填空题 :本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30分.把答案填在题中横线上 .2 y 2x（9）若双曲线 12a 9a 0 的一条渐近线方程为 3x 2y 0 ，则 a=_.（10）若n 2 3 n *1 x 1 a x a x

6、a x x , n N ，且1 2 3a1 : a2 1:3 ，则 n .（11）在北纬 60圈上有 A，B 两地，它们在此纬度圈上的弧长等于 两地的球面距离为 _.R2( R 是地球的半径 )，则 A，B（12）若向量 a，b 满足： a b 2a b = 4， 且|a|=2，|b|=4，则 a 与 b 的夹角等于 .（13）已知点 P 2,2 在曲线3y ax bx上，如果该曲线在点 P 处切线的斜率为 9，那么 ab ；函数3f x ax bx，3x ,3 的值域为 _.21（14）数列 an 满足： a1 2, an 1 (n 2,3,4, )an 1，则a4 = ；若 an 有一个形

7、如a A sin( n ) B的通项公式，其中 A, B, , 均为实数，且 A 0 ， 0 ，n2，则此通项公式可以为a = （写出一个即可） .n三、解答题 : 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明 , 演算步骤或证明过程 .（15）（本小题共 12 分）2 x已知在 ABC 中， A B ，且 tan A与 tan B是方程 x 5 6 0的两个根 .（）求 tan( A B) 的值;（）若 AB 5 ，求 BC 的长.（16）（本小题共 13 分）袋中装有大小相同的 2 个白球和 3 个黑球（）采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；（）采取不放回抽

8、样方式，从中依次摸出两个球，记 为摸出两球中白球的个数，求 的期望和方差 .（17）（本小题共 14 分）如图， 四棱锥 P ABCD 中，PA 底面 ABCD ，PC AD 底 面 A B C D为 梯 形 ， AB / DC ，AB BC PA AB BC E PB . ， 点 在 棱 上 ， 且P E 2 E B P（）求证：平面 PAB 平面 PCB ；EA B （）求证： PD 平面 EAC ；（）求二面角 A EC P 的大小DC（18）（本小题共 14 分）设数列 an 的前 n项和为 Sn ，已知 a1 1, Sn nan 2n(n 1) (n 1,2,3, ).（）求证：数列

9、 a 为等差数列，并分别写出 an 和 Sn 关于 n的表达式；n（）求limn1 1 1a a a a a a1 2 2 3 n 1 n；S S S2 3 n（）是否存在自然数 n，使得 400S1 n2 3? 若存在，求 n的值；若不存在，说明理由 .（19）（本小题共13 分）已知点 A,B 分别是射线l y x x ，1 : 0l y x x 上的动点， O 为坐标原点，且2 : 0OAB 的面积为定值2（I）求线段AB 中点 M 的轨迹C 的方程；（II ）过点 N 0,2 作直线 l ，与曲线 C 交于不同的两点 P,Q ，与射线l1,l2 分别交于点 R, S ，若点 P,Q 恰

10、为线段RS的两个三等分点，求此时直线 l 的方程（20）（本小题共 14 分）一个函数 f x ，如果对任意一个三角形，只要它的三边长 a,b,c 都在 f x 的定义域内，就有 f a , f b , f c 也是某个三角形的三边长，则称 f x 为“保三角形函数 ”（I）判断f x x ，1f x x ，22f x x 中，哪些是 “保三角形函数 ”，哪些不是，并说3明理由；（II ）如果 g x 是定义在 R 上的周期函数， 且值域为 0, ，证明 g x 不是 “保三角形函数 ”；（III ）若函数 F x sin x ， x 0, A 是 “保三角形函数 ”，求 A 的最大值x y

11、x y（可以利用公式 sin sin 2sin cos x y ）2 2北京市海淀区 2009年高考一摸考试理科数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（ 本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.）题号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)答案 C D B A A C D C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分.有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共 30 分）（9） 2 （10） 7 （11）R3（12）120 （13） 3, 2,18（14）2，2 3k 1 1a 3 sin n （ k N ）n3 3 2（注意：答案不唯一，如写成 2

12、1an 3 sin( n ) 即可） 3 3 2三、解答题（ 本大题共 6 小题,共 80 分.）（15）（共 12 分）2 x解：（）由所给条件，方程 x 5 6 0的两根 tan A 3, tan B 2. 2 分tan( A B)tan A tan B1 tan A tan B4 分2 31 2 316 分() A B C 180 , C 180 ( A B) .由（）知， tan C tan( A B) 1 ， C 为三角形的内角，sin2C 8 分2 t a nA ，3 A为三角形的内角，sin3A ， 10 分10由正弦定理得：AB BCsin C sin A11 分5 3BC 3

13、 5 . 12 分 2 102（16）（共 13 分）解：（）记 “摸出一球，放回后再摸出一个球，两球颜色不同 ”为事件 A，摸出一球得白球的概率为25，摸出一球得黑球的概率为35， 4 分 P（A）253535251225.5 分答：两球颜色不同的概率是1225.（）由题知 可取 0，1，2， 6 分依题意得3 2 3 3 2 2 3 3 2 1 1P( 0 ) P, ( 1 ) P, ( 2 ) ， 9 分5 4 1 0 5 4 5 4 5 5 4 1 0则3 3 1 4E 0 1 2 ， 分 1110 5 10 52 2 24 3 4 3 4 1 9D 0 1 2 . 13 分5 10

14、5 5 5 10 25答： 摸出白球个数 的期望和方差分别是45，925.（17）（共 14 分）证明：（） PA底面 ABCD ， PA BC 又 ABBC， PA AB A ， BC 平面 PAB 2 分又 BC 平面 PCB ，平面 PAB 平面 PCB 4 分（） PA底面 ABCD ，AC 为 PC 在平面 ABCD 内的射影又 PCAD，ACAD 5 分在 梯 形 A B C D中 ， 由 AB BC ， AB= BC ， 得BAC ，4PDCA BAC 4NH又 ACAD ，故 DAC 为等腰直角三角形 DC 2AC 2 2AB 2AB EA BDM DC连接BD ，交 AC 于

15、点 M ，则2.MB AB7DMC分 PPE DM在 BPD 中， 2EB MB， PD / EMN又 PD 平面 EAC， EM 平面 EAC，H PD 平 面E CEAC 9 分B （）在等腰直角 PAB 中，取 PB 中点 N ，连结AN ，则AN PB 平面 PAB 平面 PCB，且平面 PAB 平面 PCB= PB ， AN 平面 PBC 在平面 PBC 内，过N 作 NH 直线CE 于 H ，连结AH ，由于 NH 是 AH 在平面 CEB内的射影，故 AH CE AHN 就是二面角 A CE P 的平面角 12 分2 2 2在 Rt PBC 中 ，设CB a ， 则PB PA A

16、B a ， 1 2BE PB a ， 3 3 1 2NE PB a ， 6 62 2 11CE CB BE a ，3由 NH CE ， EB CB 可知： NEH CEB ，NH CB .NE CE代入解得：aNH 22在 Rt AHN 中，2 ANAN a ， tan AHN 112 NH 13 分即二面角 ACEP 的大小为 arctan 11 14 分解法二：（）以 A 为原点， AB, AP 所在直线分别为 y 轴、 z轴，如图建立空间直角坐标系设 PA AB BC a ，则 A 00, 0, ，B 0,a,0 ，C a,a,0 ，P 0,0, a ， 0, 2 ,a aE .3 35

17、分设 D a, y,0 ，则CP a, a,a ,AD a, y,0 ，CP AD ，2 0CP AD a ay ，解得： y a DC 2AB 连结 BD ，交 AC 于点 M ，DM DC则 2 . 7 分MB ABPE DM在 BPD 中， 2EB MB PD / EM ，又 PD 平面 EAC，EM 平面 EAC，PD平面 EAC 9 分（）设n1 x, y,1 为平面 EAC 的一个法向量，则n n ，1 AC, 1 AEax ay 0,2ay a3 30.解得：1 1 1 1x , y n ( , ,1) ， 分 112 2 2 2设 n2 x, y ,1 为平面 EBC 的一个法

18、向量，则 n2 BC,n2 BE ， a a又 BC a,0,0 ， BE (0, , )， 3 3ax 0,ay a3 30,解得： x 0, y 1，n 12 分2 0,1,1cos n ,n1 2n n1 2n n1 236 13 分二面角 A CE P的大小为arccos36 14分（18）（共 14 分）解：（）当 n 2时， an Sn Sn 1 nan (n 1)an 1 4(n 1) ， 2 分得a a n . 3 分1 4 ( 2,3,4, )n n数列 an 是以a1 1为首项， 4 为公差的等差数列 . 4 分 a 4n 3.n 5 分12S (a a )n 2n n.

19、6 分n 1 n2（） limn1 1 1a a a a a a1 2 2 3 n 1 n=1 1 1 1limn 1 5 5 9 9 13 4n 7 4n 3= 1 1 1 1 1 1 1 1 1lim ( ) ( ) ( ) ( )n 4 1 5 5 9 9 13 4n 7 4n 38 分=1 1lim 1n 4 4n 3=14. 10 分（）由S2 nS 2n n得： 2n 1nn， 11 分S S S2 3 nS 1 3 5 7 (2n 1)2 3 n2n. 13 分2令 n 400 ，得 n 20 ，所以，存在满足条件的自然数 n 20 . 14 分（19）（共 13 分）解：（I）

20、由题可设A x1, x1 ，B x2 , x2 ， M x, y ，其中 x1 0, x2 0 .则xyx x1 22x x1 22, (1), (2)1 分 OAB 的面积为定值 2，1 1S OA OB 2x 2x x x 2 . 2 分OAB 1 2 1 22 22 2(1) (2) ，消去 x1,x2 ，得：2 2 2x y 4 分由于x1 0, x2 0 ， x 0 ，所以点 M 的轨迹方程为2 2 2x y （ x 0 ） 5 分（II）依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y kx 2由y kx2 2x y2,2,消去 y 得：2 21 k x 4kx 6 0， 6

21、 分设点 P 、 Q 、 R 、 S的横坐标分别是x 、 xQ 、 xR 、 xP ，P21 k 0,2 216k 24 1 k 0,由 x , x 0得P Qx xP Q14kk20,8 分x xP Q16k20,解之得： 3 k 12x x x x 4x xP Q P Q P Q22 6 2k2k 1. 9 分由y kxy x,2,消去 y 得：xR21 k，由y kxy x,2,消去 y 得：xS21k，x xR Sk421. 10 分由于 P, Q 为 RS 的三等分点， x x 3 xP xQ . 11 分R S解之得5k . 12 分3经检验，此时 P,Q 恰为 RS 的三等分点，

22、故所求直线方程为5y x 2 . 13 分3（20）（共 14 分）解：（I）f1 x , f2 x 是“保三角形函数” ，f x 不是“保三角形函数” 1 分3任给三角形，设它的三边长分别为 a,b,c ，则 a b c，不妨假设 a 剟c,b c ，由于 a b a b c 0，所以f1 x , f2 x 是“保三角形函数” . 3 分对于f x ，3，3，5 可作为一个三角形的三边长， 但32 2 23 3 5 ，所以不存在三角形以2 2 23 ,3 ,5为三边长，故f x 不是“保三角形函数” 4 分3（ II ）设 T 0 为 g x 的一个周期，由于其值域为 0, ，所以，存在 n

23、 m 0 ，使得g m 1, g n 2，取正整数n mT，可知 T m, T m, n 这三个数可作为一个 三角形的三边长，但g T m 1， g T m 1,g n 2不能作为任何一个三角形的三边长 故 g x 不是 “保三角形函数 ” 8分（III ） A 的最大值为 56 9 分一方面，若5A F x .6取5 5, , 0,2 6 6A ，显然这三个数可作为一个三角形的三边长，但5 1 5 1sin 1,sin ,sin2 6 2 6 2不能作为任何一个三角形的三边长， 故 F x 不是 “保三角形函数”.11 分另一方面，以下证明5A 时， F x 是 “保三角形函数 ”6对任意三

24、角形的三边 a,b, c，若（1） a b c 2 ，5a,b, c (0, ) ，则分类讨论如下：6此时5 5a 2 b c 2 ，同理， b,c ，6 6 3 3 5a,b, c ( , ) ，故 3 61sin a,sin b,sin c ( ,1 ，2 1 1sin a sin b 1 sin c 2 2同理可证其余两式 . sin a,sin b,sin c可作为某个三角形的三边长（2） a b c 2此时，a b c2 2，可得如下两种情况：a b 时，由于a b c，所以， 02 2c a b .2 2 2由 sin x 在 (0, 2c a b上的单调性可得 0 s i n s

25、 i n 1 ；2 2a b2 2时， 0c a b2 2 2，同样，由 sin x 在 0,2c a b上的单调性可得 0 sin sin 1；2 2c a b总之， 0 sin sin 1 .2 2又由5a b c 及余弦函数在 0, 上单调递减，得6a ba b c 5cos cos cos cos 0 2 2 2 12，a b a b c c sin sin 2sin cos 2sin cos sin a b c 2 2 2 2同理可证其余两式，所以 sin a ,sin b,sin c也是某个三角形的三边长故5 A 时， F x 是6“保三角形函数 ”综上， A的最大值为56 14 分