1、2.2 初等函数初等函数将一元实变初等函数将一元实变初等函数推广为初等复变函数推广为初等复变函数的要求：的要求：当为实数时，有完全与原实变尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)函数相同指数函数指数函数一一初等实指数函数的一些重要性质：处处可导且有 对任意的实数有对任意的实数有 现在我们将指数函数的定义域推广到整个复数集中，使其尽可能将这些特性保持下来即新的指数函数应满足 处处可导且有 当即 为实数时有一、指数函数一、指数函数 定义定义1对于复数称为复指数函数 性质 指数函数在整个 平面上都有定义，且处处解析，导函数为对任意的复数有当即 为实数时有是
2、以为周期的周期函数，指数函数指数函数一一即有 但一般不成立求和解解 注意注意例例1指数函数指数函数一一定义定义2对数函数对数函数 二二指数函数的反函数，称为对数函数，记为的所有解注注1这里实际上是关于的方程注注2对数函数的定义域设则有于是有从而二、对数函数二、对数函数 主值支注意注意对数函数对数函数 二二 对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两个函数值之间相差 对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为的一特别地称k=0对应的分支为对数函数的主值分支，记为 负数也有对数，如 个单值分支；对数函数对数函数 二二例例2求下列各式的值 解(1)(1)(2)(2)对数函数对数函数 二二例例3解下列方
3、程解解(1)(2)对数函数的性质对数函数的性质 时，当这时对数函数的主值就是原实变数对数函数注意，这些等式右端必须取适当的分支才能等于左端某一分支若仅对某一分支结论是不一定成立的例如 在除去原点及负实轴的平面内主值支和其他分支处处连续、处处解析;且有仅就主值支而言，在除去原点外说明：而在原点及负实轴上不连续 所以，函数在除去原点及负实轴的复平面上处处连续的复平面内处处连续，对数函数的性质对数函数的性质 类似可得：Lnz的各个单值分支在除去原点及负实轴的平面内又因为在区域内的反函数是单值的，由反函数的求导法则可知所以，函数在除去原点及负实轴的平面内解析也是解析的，并且有相同的导数值 对数函数的性
4、质对数函数的性质 对数函数的性质对数函数的性质 例例4验证下列式子并不成立证明证明可见，的值是的值的值每隔一个取一个，一个分支所给的值，不一定有对应的值与之相等故任取三角函数三角函数三三所以有因此，对任何复数z，定义余弦函数和正弦函数如下：则对任何复数z，Euler公式仍成立：由Euler公式，对任何实数x，我们有：三、三角函数与双曲函数三、三角函数与双曲函数三角函数三角函数三三正弦与余弦函数的基本性质1、和 是单值函数；2、是偶函数，是奇函数:3、和 是以 为周期的周期函数；三角函数三角函数三三注解：注解：由于负数可以开平方，所以由此不能得到例如 z=2i 时，有正弦与余弦函数的基本性质三角
5、函数三角函数三三证明：证明：正弦与余弦函数的基本性质6、和 在整个复平面解析，并且有三角函数三角函数三三8、同理可以定义其他三角函数：正弦与余弦函数的基本性质7、和 在复平面的零点：在复平面的零点是在复平面的零点是分别称为复变数z的双曲正弦与双曲余弦函数满足：和在复平面内解析，且双曲函数与三角函数的关系三角函数三角函数三三三角函数与双曲函数的关系例例5 求的值解法解法1：解法解法2：三角函数三角函数三三幂函数幂函数四四设z为不为零的复数，a为任一复数，定义 多值函数，四、幂函数四、幂函数而 为 的主值.1)当a为整数时，由于这时只有与主值相同的值，单值函数幂函数幂函数四四四、幂函数四、幂函数2)当互质时，由于时，有m个不同的值当3)除此之外，具有无穷多个值设z为不为零的复数，a为任一复数，定义 多值函数，而 为 的主值.幂函数幂函数四四四、幂函数四、幂函数由于对数函数的各分支在除去原点和负实轴的复平面解析，因此幂函数在除去原点和负实轴的复平面解析.设z为不为零的复数，a为任一复数，定义 多值函数，而 为 的主值.幂函数幂函数四四例例6 计算的值。其中主值：解解
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