《复变函数与积分变换》2.2 初等函数.pptx
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1、2.2 初等函数初等函数将一元实变初等函数将一元实变初等函数推广为初等复变函数推广为初等复变函数的要求:的要求:当为实数时,有完全与原实变尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)函数相同指数函数指数函数一一初等实指数函数的一些重要性质:处处可导且有 对任意的实数有对任意的实数有 现在我们将指数函数的定义域推广到整个复数集中,使其尽可能将这些特性保持下来即新的指数函数应满足 处处可导且有 当即 为实数时有一、指数函数一、指数函数 定义定义1对于复数称为复指数函数 性质 指数函数在整个 平面上都有定义,且处处解析,导函数为对任意的复数有当即 为实数时有是
2、以为周期的周期函数,指数函数指数函数一一即有 但一般不成立求和解解 注意注意例例1指数函数指数函数一一定义定义2对数函数对数函数 二二指数函数的反函数,称为对数函数,记为的所有解注注1这里实际上是关于的方程注注2对数函数的定义域设则有于是有从而二、对数函数二、对数函数 主值支注意注意对数函数对数函数 二二 对数函数是一个多值函数,同一个z的任意两个函数值之间相差 对每一个固定的k值,可得一个单值函数,称为的一特别地称k=0对应的分支为对数函数的主值分支,记为 负数也有对数,如 个单值分支;对数函数对数函数 二二例例2求下列各式的值 解(1)(1)(2)(2)对数函数对数函数 二二例例3解下列方
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