1、1函数的基本概念函数的基本概念特殊函数特殊函数复合函数与逆函数复合函数与逆函数2在在离离散散数数学学中中，任任何何对对象象，包包括括集集合合都都可可以以做做自自变变量量或或函函数数值值，并并且且函函数数仅仅指指单单值值函函数数，也没对两个集合的元素作任何特殊限制。也没对两个集合的元素作任何特殊限制。3定定义义3.13.1 设设f f是是集集合合A A到到B B的的关关系系，如如果果对对每每个个x x A A，都都存存在在唯唯一一y y B B，使使得得(x,y)(x,y)f f，则则称称f f关关系系为为A A到到B B的的函函数数（或或映映射射、变变换换），记记为为f f :A:AB B。当
2、当(x,y)(x,y)f f时时，通通常常记记为为y=y=f f(x)(x)，这这时时称称x x为为函函数数的的自自变变量量，称称y y为为x x在在f f下的下的函数值函数值（或（或像像）。）。4（1 1）dom(dom(f f)=A)=A，称为函数，称为函数f f的的定义域定义域；（2 2）ran(ran(f f)B B，称为函数，称为函数f f的的值域值域，B B称为称为函数函数f f的的陪域陪域，ran(ran(f f)也可记为也可记为f f(A)(A)，并称，并称f f(A)(A)为为A A在在f f下的下的像像；（3 3）(x,y)(x,y)f f，(x,z)(x,z)f f y=
3、zy=z；（4 4）|f f|=|A|=|A|。5例例3.1 3.1 设集合设集合A=1,2,3A=1,2,3，集合，集合B=A,B,CB=A,B,C，判断下，判断下列各式是否是函数？列各式是否是函数？(1)(1)(2)(2)(3)(3)解:根据定义,(1)和(3)满足条件,因此是函数;(2)不是函数,因为在(2)中,集合A 的元素1对应集合B 中的两个元素a,b,故不是函数。6例例3.2 3.2:判断关系：判断关系：(1)f(1)f1 1=(a,1),(b,1),(c,2)=(a,1),(b,1),(c,2)。(2)f(2)f2 2=(a,1),(a,2),(b,1),(c,2)=(a,1)
4、,(a,2),(b,1),(c,2)。是否为函数。是否为函数。解解:根据定义根据定义,有有 (1)(1)对任意的对任意的xdomfxdomf1 1,都存在唯一的都存在唯一的yranfyranf1 1,使得使得(x,y)f(x,y)f1 1成立成立,因此因此f f1 1是函数。是函数。(2)(2)对对adomfadomf2 2,存在不同的存在不同的1ranf1ranf2 2,2ranf,2ranf2 2,使得使得(a,1)f(a,1)f2 2 与与(a,2)f(a,2)f2 2 同时成立同时成立,因此因此f f2 2是函数。是函数。7例例3.33.3（1 1）任意集合）任意集合A A上的恒等关系
5、上的恒等关系I IA A是一个函是一个函数，常称为恒等函数，并且数，常称为恒等函数，并且I IA A(x)=x(x)=x（对任意（对任意x x A A）。）。（2 2）自然数集合上的）自然数集合上的m m倍关系是一个函数，倍关系是一个函数，若用若用f表示这一关系，那么表示这一关系，那么f:N:NN N，可表示为：，可表示为：y=y=f(x)=mx(x)=mx。8（1 1）列表法列表法：由于函数具有：由于函数具有“单值性单值性”，即对任一，即对任一自变量有唯一确定的函数值，因此可将其序偶排列成自变量有唯一确定的函数值，因此可将其序偶排列成一个表，将自变量与函数值一一对应起来。列表法一一个表，将自
6、变量与函数值一一对应起来。列表法一般适用于定义域为有限集合的情况。般适用于定义域为有限集合的情况。（2 2）图表法图表法：用笛卡尔平面上点的集合表示函数。：用笛卡尔平面上点的集合表示函数。与列表法一样，图表法一般适用于定义域有限的情况。与列表法一样，图表法一般适用于定义域有限的情况。（3 3）解析法解析法：用等式：用等式y=y=f(x)(x)表示函数，这时可认为表示函数，这时可认为y=y=f(x)(x)为函数的为函数的“命名式命名式”，有别于，有别于“y y是是f在在x x处的值处的值”。y=y=f(x)(x)具有双重意义，可依上下文加以区别。具有双重意义，可依上下文加以区别。9定义定义3.2
7、 3.2 设函数设函数f:Af:AB B与与g:Cg:CD D，如果，如果A=CA=C，B=DB=D，并且对任意的，并且对任意的a a A A或或a a C C ，都有，都有f(a)=g(a)f(a)=g(a)，则称函数，则称函数f f与与g g相等，记作相等，记作f=gf=g。10n(1)dom(f)=dom(g);n(2)xdom(f)=dom(g),都有f(x)=g(x).11定义定义3.33.3设设A,B,CA,B,C是是3 3个非空集合，函数个非空集合，函数f:A:AB B，A A C C，f在在C-AC-A上无定义，则称上无定义，则称f是是C C到到B B的的偏函数偏函数。定义定义
8、3.43.4设设A,B,CA,B,C是是3 3个非空集合，函数个非空集合，函数f:A:AB B ；g:B:B C C，如果，如果C C A A ，且对于所有的，且对于所有的a C C，有，有f(a)=)=g(a)，则称，则称g是是f的的限制限制，f是是g的的扩充扩充。如果如果g是是A A到到B B的偏函数，当对的偏函数，当对g无定义处规定一个值，无定义处规定一个值，即对即对g作一补充定义，即可构造出作一补充定义，即可构造出g的一个扩充。的一个扩充。12例例3.4 3.4 设设Z Z是整数集，并定义函数是整数集，并定义函数f:Z:ZZ Z ，设，设f=(x,2x+1)|x Z，且，且N N Z
9、Z为自然数集合，为自然数集合，求求f在在Z Z上的限制。上的限制。解解:先写出先写出f f 的集合表示形式如下的集合表示形式如下:f=,:f=,(-1,-1),(0,1),(1,3),(-1,-1),(0,1),(1,3),因此因此,f,f 在自然在自然数集数集 N N上的限制为上的限制为 g=(0,1),(1,3),g=(0,1),(1,3),13定义定义3.53.5设设A,BA,B是非空集合，所有从是非空集合，所有从A A到到B B的函的函数记作数记作B BA A，读作，读作“B B上上A A”，符号化表示为：，符号化表示为：B BA A=f|f:A:ABB 。14定理定理3.13.1证明
10、证明 设设|A|=n|A|=n，|B|=m|B|=m。函数是。函数是f从从A A到到B B的任一的任一函数，并且函数，并且f由由A A中的中的n n个元素的取值唯一确个元素的取值唯一确定，对于定，对于A A中的任一元素，中的任一元素，f在该元素处的在该元素处的取值都有取值都有m m种可能，因此从种可能，因此从A A到到B B可以定义可以定义m m m mm=m=|B|B|A|A|个不同的函数。个不同的函数。例例3.5 3.5 设集合设集合A=1,2,3,A=1,2,3,集合集合B=A,B,B=A,B,计算计算B BA A 。解解:根据定义根据定义,有有B BA A=f=f1 1,f,f2 2,
11、f,f3 3,f,f4 4,f,f5 5,f,f6 6,f,f7 7,f,f8 8。f f1 1(1)=a,f(1)=a,f1 1(2)=a,f(2)=a,f1 1(3)=a;f(3)=a;f2 2(1)=a,f(1)=a,f2 2(2)=a,f(2)=a,f2 2(3)=b;(3)=b;f f3 3(1)=a,f(1)=a,f3 3(2)=b,f(2)=b,f3 3(3)=a;f(3)=a;f4 4(1)=a,f(1)=a,f4 4(2)=b,f(2)=b,f4 4(3)=b;(3)=b;f f5 5(1)=b,f(1)=b,f5 5(2)=a,f(2)=a,f5 5(3)=a;f(3)=a
12、;f6 6(1)=b,f(1)=b,f6 6(2)=a,f(2)=a,f6 6(3)=b;(3)=b;f f7 7(1)=b,f(1)=b,f7 7(2)=b,f(2)=b,f7 7(3)=a;f(3)=a;f8 8(1)=b,f(1)=b,f8 8(2)=b,f(2)=b,f8 8(3)=b(3)=b。也可以表示成如下形式。也可以表示成如下形式。f f1 1=(1,a),(2,a),(3,a);f=(1,a),(2,a),(3,a);f2 2 =(1,a),(2,a),(3,b);=(1,a),(2,a),(3,b);f f3 3=(1,a),(2,b),(3,a);=(1,a),(2,b)
13、,(3,a);f f4 4=(1,a),(2,b),(3,b);=(1,a),(2,b),(3,b);f f5 5=(1,b),(2,a),(3,a);f=(1,b),(2,a),(3,a);f6 6 =(1,b),(2,a),(3,b);f=(1,b),(2,a),(3,b);f7 7 =(1,b),(2,b),(3,a);f=(1,b),(2,b),(3,a);f8 8=(1,b),(2,b),(3,b)=(1,b),(2,b),(3,b)。1516例例3.6 3.6 设集合设集合A=1,2A=1,2，集合，集合B=A,B,CB=A,B,C，计算，计算B BA A。17定理定理3.2 3.
14、2 设设A,B,X,YA,B,X,Y是非空集合，是非空集合，f:X:XY Y且且 A A f(X)(X)，B B f(X)(X)，则，则（1 1）（2 2）证明证明:(1):(1)先证先证f(AB)f(AB)f(A)f(B)f(A)f(B)。对任意的对任意的yf(AB),yf(AB),存在存在xAB,xAB,使得使得 y=f(x)y=f(x)即即xA xA 或或xB xB 时时,有有y=f(x),y=f(x),因此因此f(x)f(A)f(x)f(A)或或f(x)f(B),f(x)f(B),即即yf(A)f(B),yf(A)f(B),则则 f(A B)f(A B)f(A)f(B)f(A)f(B)
15、。再证再证f(A)f(B)f(A)f(B)f(AB)f(AB)。对任意的对任意的yf(A)f(B),yf(A)f(B),有有yf(A)yf(A)或或yf(B),yf(B),因此在因此在集合集合 A,B A,B 中至少有一个集合里有一个中至少有一个集合里有一个x,x,使得使得 y=f(x)y=f(x)即即y=f(x)f(AB),y=f(x)f(AB),则则 f(A)f(B)f(A)f(B)f(A B)f(A B)因此因此f(AB)=f(A)f(B)f(AB)=f(A)f(B)。(2)(2)对任意的对任意的yf(AB),yf(AB),存在存在xAB,xAB,使得使得 y=f(x)y=f(x)即即x
16、A xA 且且xB xB 时时,有有y=f(x),y=f(x),因此因此f(x)f(A)f(x)f(A)且且f(x)f(B),f(x)f(B),即即yf(A)f(B),yf(A)f(B),则则 f(AB)f(AB)f(A)f(B)f(A)f(B)一般地一般地,f(AB)f(A)f(B),f(AB)f(A)f(B)。1819例例3.7 3.7 设集合设集合X=1,2,3X=1,2,3，集合，集合Y=a,b,cY=a,b,c，A=1,2A=1,2，B=3B=3且且f:X Y,f(1)=af:X Y,f(1)=a，f(2)=bf(2)=b，f(3)=b,f(3)=b,有有AB=1,2,3,AB=1,
17、2,3,则则f(AB)=a,bf(AB)=a,b。因此因此,f(A)f(B)=a,bb=a,b,f(A)f(B)=a,bb=a,b,即即f(AB)=f(A)f(B)f(AB)=f(A)f(B)成立。但是成立。但是 f(AB)=f(A)f(B)f(AB)=f(A)f(B)不一定成立。不一定成立。例例3.83.8设集合设集合X=1,2,3X=1,2,3，集合，集合Y=a,b,cY=a,b,c，A=1,2A=1,2，B=3B=3且且f:Xf:XY Y，f(1)=af(1)=a，f(2)=bf(2)=b，f(3)=bf(3)=b。有。有AB=AB=，则，则f(AB)=f(AB)=。但是但是f(A)f(
18、B)=a,bb=bf(A)f(B)=a,bb=b，即即f(AB)f(AB)f(A)f(B)f(A)f(B)成立。但是不满足成立。但是不满足f(AB)f(AB)=f(A)f(B)f(A)f(B)。20定义定义3.6 3.6 设集合设集合A=AA=A1 1AA2 2AAn n 与集合与集合B,B,则则对任意对任意xA,xA,且且x=(xx=(x1 1,x,x2 2,x,xn n),),其中其中,x,xi iAAi i,1in,1in,有有yB,yB,这时定义这时定义y=f(x)=fy=f(x)=f(x(x1 1,x,x2 2,x,xn n),),则称则称f f为为A A到到B B的的n n 元函数
19、。元函数。例例3.9 3.9 设设A,B A,B 是非空集合是非空集合,f:ABA,f:ABA 的函数的函数,若若f(a,b)=a,f(a,b)=a,则则f f 是一个二元是一个二元 函数函数,其中其中,aA,bB,aA,bB。2122定义定义3.73.7设设f:A:AB B是一个函数，是一个函数，（1 1）如果对任意的）如果对任意的x1,x2 A A，当，当x1 x2时，有时，有f(x1 1)f(f(x2 2)，则称，则称f为为A A到到B B的的单射函数单射函数或或单射单射，或称，或称一对一对一的函数一的函数。（2 2）如果对任意的）如果对任意的y B B，均有，均有x A A ，使，使y
20、=f(x)，即，则称，即，则称f为为A A到到B B的的满射函数满射函数或或满射满射，或称，或称A A到到B B映映上的函数。上的函数。（3 3）如果）如果f既是既是A A到到B B的单射，又是的单射，又是A A到到B B的满射，的满射，则称则称f为为A A到到B B的的双射函数双射函数或或双射双射，或称，或称一一对应的函一一对应的函数数。23由定义可知：当集合由定义可知：当集合A,BA,B为有限集时，有为有限集时，有 （1 1）f:A:AB B是单射的必要条件为是单射的必要条件为|A|A|B|B|；（2 2）f:A:AB B是满射的必要条件为是满射的必要条件为|A|A|B|B|；（3 3）f
21、:A:AB B是双射的必要条件为是双射的必要条件为|A|A|=|B|=|B|。例例3.10 3.10 设集合设集合A A，B B，定义函数，定义函数F:AF:AB B，在图，在图3.13.1中给出了中给出了4 4种不同情形下的函数：种不同情形下的函数：24(a)单射,满射(b)非单射,非满射(c)非单射,满射(d)单射,非满射例例3.11 3.11 在实数集上也可以找到这样的函数，在实数集上也可以找到这样的函数，例例如：实数集上的函数如：实数集上的函数y=5=5x 是单射而非满射，是单射而非满射，多项式函数多项式函数y=ax3+bx2+cx+d(a 0)是满射而是满射而非单射，一次函数非单射，
22、一次函数 y=ax+b y=ax+b(a 0)是双射，是双射，但二次函数但二次函数y=ax2+bx+c(a 0)既非单射，又既非单射，又非满射。非满射。25例例3.12 3.12 设集合设集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，找出，找出一个从一个从A A2 2到到A A的函数，能否找到一个从的函数，能否找到一个从A A2 2到到A A的满射，的满射，能否找到一个从能否找到一个从A A2 2到到A A的单射？的单射？解解 对任意的对任意的x,y A,设设f(x,y)=max(x,y)f(x,y)=max(x,y)则则 f f是是一个从一个从
23、A A2 2到到A A的函数，该函数也是一个从的函数，该函数也是一个从A A2 2到到A A的满射，因为的满射，因为|A|A2 2|=|A|=|A A|=10A|=10 10=10010=100|A|=10|A|=10因此因此|A|A2 2|A|,|A|,这是满射函数存在的必要条件。但这是满射函数存在的必要条件。但是找不到一个从是找不到一个从A A2 2到到A A的单射的单射,因为因为A A2 2到到A,A,不满足不满足单射的必要条件。单射的必要条件。26例例3.13 3.13 设集合设集合A=P(1,2,3),A=P(1,2,3),集合集合B=1,2B=1,2a,b,ca,b,c,构构造双射
24、函数造双射函数f:ABf:AB。解解:A=A=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3 B=f B=f1 1,f,f2 2,f,f3 3,f,f4 4,f,f5 5,f,f6 6,f,f7 7,f,f8 8,f f1 1=(a,1),(b,1),(c,1),f=(a,1),(b,1),(c,1),f2 2=(a,1),(b,1),(c,2),f=(a,1),(b,1),(c,2),f3 3=(a,1),(b,2),(c,1),=(a,1),(b,2),(c,1),f f4 4=(a,1),(b,2),(c,2),f=(a,1),(b,2)
25、,(c,2),f5 5=(a,2),(b,1),(c,1),=(a,2),(b,1),(c,1),f f6 6=(a,2),(b,1),(c,2),f=(a,2),(b,1),(c,2),f7 7=(a,2),(b,2),(c,1),f=(a,2),(b,2),(c,1),f8 8=(a,2),(b,2),(c,2)=(a,2),(b,2),(c,2)。令令f:AB,f:AB,使得使得f(f()=)=f f1 1,f(1)=f,f(1)=f2 2,f(2)=f,f(2)=f3 3,f(3)=ff(3)=f4 4,f(1,2)=f,f(1,2)=f5 5,f(1,3)=f,f(1,3)=f6 6
26、,f(2,3)=ff(2,3)=f7 7,f(1,2,3)=f,f(1,2,3)=f8 8。2728定理定理3.3 3.3 设设A A和和B B为有限集，若为有限集，若|A|=|B|A|=|B|，则，则f:A:AB B是单射的充要条件是是单射的充要条件是f:A:AB B为满射。为满射。证明证明:必要性必要性:若若f:AB f:AB 是单射是单射,则则|A|=|f(A)|,|A|=|f(A)|,因因为为|A|=|B|,|A|=|B|,所以所以|f(A)|=|B|f(A)|=|B|因此因此,B=f(A),B=f(A)。否则。否则,若存在若存在bB bB 且且b b f(A),f(A),又又B B
27、是有限集是有限集,因此有因此有|f(A)|B|=|A|f(A)|B|=|A|与与|f(A)|=|B|f(A)|=|B|矛盾矛盾,因此因此f:AB f:AB 是是单射。单射。充分性充分性:若若f:ABf:AB是满射是满射,根据定义有根据定义有B=f(A),B=f(A),于是于是|A|=|B|=|f(A)|A|=|B|=|f(A)|则则f:ABf:AB。否则。否则,存在存在x x1 1,x,x2 2A,A,尽管尽管x x1 1xx2 2,但仍有但仍有f(xf(x1 1)=f(x)=f(x2 2),),因此因此,|f(A)|A|=|B|,|f(A)|A|=|B|与与|A|=|B|=|f(A)|A|=
28、|B|=|f(A)|矛盾矛盾,所以所以f:AB f:AB 是单射。是单射。29定定义义3.83.8若存在若存在b B B，使得对任意的，使得对任意的a A A都有都有f(a)=)=b，则称，则称f是从是从A A到到B B的常值函数；的常值函数；2 2）集合）集合A A上的恒等关系上的恒等关系I IA A称为集合称为集合A A上的恒上的恒等函数。即对任意的等函数。即对任意的a A A ，都有，都有I IA A(a)=)=a。30定义定义3.9 3.9 设设U U是全集，且是全集，且A A U U，函数，函数 A A:U:U0,10,1定义为定义为称称 A A是集合是集合A A的特征函数。的特征函
29、数。对于特征函数，满足定理对于特征函数，满足定理3.43.4的性质。的性质。例例3.14 3.14 设设 U=a,b,c,d U=a,b,c,d，A=a,bA=a,b，则，则A A的特的特征函数为征函数为 A A:a,b,c,d:a,b,c,d0,10,1 A A(a)=(a)=A A(b)=1(b)=1 A A(c)=(c)=A A(d)=0(d)=031定理定理3.4 3.4 设设U U是全集是全集,且且A A U,BU,B U,U,则对任意的则对任意的xU,xU,有有 (1)(1)x(x(A A(x)=0)(x)=0)A=A=(2)(2)x(x(A A(x)=1)(x)=1)A=U A=
30、U(3)(3)x(x(A A(x)(x)B B(x)(x)A A B B(4)(4)x(x(A A(x)=(x)=B B(x)(x)A=B A=B(5)(5)AA(x)=1-(x)=1-A A(x)(x)(6)(6)ABAB(x)=(x)=A A(x)(x)B B(x)(x)(7)(7)ABAB(x)=(x)=A A(x)+(x)+B B(x)-(x)-ABAB(x)(8)(x)(8)A-A-B B(x)=(x)=ABAB(x)=(x)=A A(x)-(x)-A A(x)(x)B B(x)(x)3233例例3.15 3.15 利用特征函数证明利用特征函数证明A(BC)=(AB)(AC)A(BC
31、)=(AB)(AC)。证明证明:对任意的对任意的x,x,有有 (AB)(AC)AB)(AC)(x)=(x)=ABAB(x)(x)ACAC(x)(x)=(=(A A(x)+(x)+B B(x)-(x)-ABAB(x)(x)(A A(x)+(x)+C C(x)-(x)-ACAC(x)(x)=(=(A A(x)+(x)+B B(x)-(x)-A A(x)(x)B B(x)(x)(A A(x)+(x)+C C(x)-(x)-A A(x)(x)C C(x)(x)=A A(x)+(x)+A A(x)(x)C C(x)-(x)-A A(x)(x)C C(x)+(x)+A A(x)(x)B B(x)+(x)+
32、B B(x)(x)C C(x)-(x)-A A(x)(x)B B(x)(x)C C(x)-(x)-A A(x)(x)B B(x)-(x)-A A(x)(x)B B(x)(x)C C(x)+(x)+A A(x)(x)B B(x)(x)C C(x)(x)=A A(x)+(x)+B B(x)(x)C C(x)-(x)-A A(x)(x)B B(x)(x)C C(x)(x)=A A(x)+(x)+BCBC(x)-(x)-ABCABC(x)(x)=A(BC)A(BC)(x)(x)因此因此A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)。34定义定义3.10 3.10 设设 R R 是定义在非空集
33、合是定义在非空集合A A上的等价上的等价关系关系,函数函数 f:A A/R,f(x)=xf:A A/R,f(x)=xR R,其中其中,x,xR R 是是x x关于关于R R的等价类的等价类,则称则称f f为从为从A A到商集到商集A/R A/R 的自然映射。的自然映射。例例3.16 3.16 设设A=1,2,3,A=1,2,3,等价关系等价关系R=(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),R=(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),写出写出从从A A到商集到商集A/RA/R的自然映射。的自然映射。解解:从从A A到商集到商集A/R A/R 的自然映射的自然
34、映射f:AA/R,f(1)=f(2)=1,2,f(3)=3f:AA/R,f(1)=f(2)=1,2,f(3)=3。3536定义定义3.11 3.11 设设A,B,CA,B,C是集合，有函数是集合，有函数f:A:AB B和和g:B:BC C，则，则f与与g的的复合函数复合函数是一个由是一个由A A到到C C的函的函数，记作数，记作g f，符号化表示为，符号化表示为g f=(=(a,c)|,c)|a A,c A,c C C且存在且存在b B,B,使得使得(a,b)f,(,(b,c)g对于对于 a A,A,有有(g f)(a)=g(f(a)。37例例3.17 3.17 设设f f，g g均为实数集上
35、的函数，均为实数集上的函数，f(x)=x+1,g(x)=xf(x)=x+1,g(x)=x2 2+1,+1,则则 g g f(x)=g(f(x)=(x+1)f(x)=g(f(x)=(x+1)2 2+1=x+1=x2 2+2x+2+2x+2，而而f f g(x)=f(g(x)=(xg(x)=f(g(x)=(x2 2+1)+1=x+1)+1=x2 2+2+2例例3.18 3.18 设集合设集合A=a,b,cA=a,b,c上的两个函数上的两个函数:f=(a,c),(b,a),(c,c)f=(a,c),(b,a),(c,c)，g=(a,b),(b,a),(c,c)g=(a,b),(b,a),(c,c)，
36、则则 f f g=(a,c),(b,c),(c,c)g=(a,c),(b,c),(c,c)g g f=(a,a),(b,c),(c,c)f=(a,a),(b,c),(c,c)38定理定理3.5 3.5 设函数设函数f:A:AB B，g:B:BC C，则，则（1 1）若）若f与与g是满射，则是满射，则g f:A A C C是满射；是满射；（2 2）若）若f与与g是单射，则是单射，则g f:A:A C C是单射；是单射；（3 3）若）若f与与g是双射，则是双射，则g f:A:A C C是双射。是双射。证明证明:(1):(1)对于任意的对于任意的cC,cC,因为因为g g是满射是满射,所以所以存在存
37、在bB,bB,使得使得c=g(b)c=g(b)。而对于。而对于 bB,bB,因为因为f f 是满射是满射,所以存在所以存在aA,aA,使得使得b=f(a)b=f(a)。于是。于是 (gf)(a)=g(f(a)=g(b)=c(gf)(a)=g(f(a)=g(b)=c 因此因此gfgf是满射。是满射。(2)(2)对于任意的对于任意的a,bA,a,bA,如果如果ab,ab,则则f(a)f(b)f(a)f(b)。又因为。又因为g g是单射是单射,所以所以 g(f(a)g(f(b),g(f(a)g(f(b),因此因此gfgf是单射。是单射。(3)(3)因为因为f f与与g g是双射是双射,即即f f与与
38、g g既是单射又是满既是单射又是满射射,由由(1)(1)和和(2)(2)可知可知,gf,gf也既是单射又是满也既是单射又是满射射,即即gfgf是双射。是双射。3940定理定理3.6 3.6 设函数设函数f:A:AB B，g:B:BC C,则则（1 1）若）若g f是满射，则是满射，则g是满射；是满射；（2 2）若）若g f是单射，则是单射，则f是单射；是单射；（3 3）若）若g f是双射，则是双射，则f是满射且是满射且f是单射。是单射。证明证明:(1):(1)对于任意的对于任意的cC,cC,因为因为g g f f是满射是满射,所所以存在以存在aA,aA,使得使得c=gc=g f(a),f(a)
39、,即即c=g(f(a)c=g(f(a)。因此有因此有b=f(a)B,b=f(a)B,使得使得c=g(b),c=g(b),因此因此g g是满射。是满射。(2)(2)对于对于a,bA,a,bA,如果如果f(a)=f(b),f(a)=f(b),又因为又因为g g是函是函数数,所以所以g(f(a)=g(f(b),g(f(a)=g(f(b),即即g g f(a)=gf(a)=g f(b)f(b)。由于。由于g g f f是单射是单射,所以所以a=b,a=b,即即f f是单射。是单射。(3)(3)因为因为g g f f是双射是双射,所以所以g g f f既是满射又是单既是满射又是单射射,由由(1)(1)和
40、和(2)(2)可知可知,g,g是满射且是满射且f f是单射。是单射。4142例例3.203.20设集合设集合A A、B B、C,C,函数函数f:A:AB B，g:B:BC C ，举例说明，举例说明（1 1）g f是满射，则是满射，则f不是满射；不是满射；（2 2）g f是单射，则是单射，则g不是单射。不是单射。解解:设设A=aA=a1 1,a,a2 2,B=b,B=b1 1,b,b2 2,C=c,C=c,定义函数定义函数f f(a(a1 1)=f(a)=f(a2 2)=b)=b1 1,g(b,g(b1 1)=g(b)=g(b2 2)=c,)=c,则则g g f:AC f:AC 为为 g g f
41、(af(a1 1)=g)=g f(af(a2 2)=c)=c 可以验证可以验证g g f f是满是满射射,但是但是f f不是满射。不是满射。(2)(2)设设A=aA=a1 1,a,a2 2,B=b,B=b1 1,b,b2 2,b,b3 3,C=c,C=c1 1,c,c2 2,定义定义函数函数f(af(a1 1)=b)=b1 1,f(a,f(a2 2)=b)=b3 3,g(b,g(b1 1)=g(b)=g(b2 2)=c)=c1 1,g,g(b(b3 3)=c)=c2 2,则则g g f:AC f:AC 为为 g g f(af(a1 1)=c)=c1 1,g,g f(af(a2 2)=c)=c2
42、 2 可以验证可以验证g g f f 是是单射单射,但是但是g g 不是单射。不是单射。43定义定义3.123.12设设f:A:AB B是双射，函数是双射，函数g:B:BA A使得使得对于每一个元素对于每一个元素b B B，有，有g(b)=)=a，其中，其中a A A且使得且使得f(a)=)=b，则称，则称g是是f的的逆函数逆函数，记作，记作f -1-1。若若f存在逆函数，则称存在逆函数，则称f是可逆的。逆函数也是可逆的。逆函数也称为称为反函数反函数。例例3.213.21设设 A=1,2,3 A=1,2,3，B=a,b,cB=a,b,c，f:Af:AB B ，f=(1,a),(2,b),(3,
43、b)f=(1,a),(2,b),(3,b)，因为，因为f f不是单射，不是单射，因此因此 f f的逆关系的逆关系(a,1),(b,2),(b,3)(a,1),(b,2),(b,3)不是不是函数，但是如果函数，但是如果f=(1,a),(2,b),(3,c)f=(1,a),(2,b),(3,c)，则则f f 是双射，是双射，f f的逆关系的逆关系f f-1-1=(a,1),(b,2),(c,3)=(a,1),(b,2),(c,3)则是则是f f的反函数。的反函数。4445定理定理3.73.7 若若f是从集合是从集合A A到到B B的双射，则他的逆的双射，则他的逆关系关系f -1-1是从是从B B到
44、到A A的双射。的双射。46定理定理3.8 设f:AB,g:BC,且f与g都是可逆的，则（1）(f-1)-1=f（2）(g f)-1=f-1 g-147例例3.223.22设设R R为实数集，函数为实数集，函数f f:R:RR R，g g:R:RR R ，f f(x x)=x+1=x+1，g g(x x)=x=x2 2，求，求f f g g，g g f f，如果，如果f f与与g g存在逆函数，求出相应的逆函数。存在逆函数，求出相应的逆函数。解解:f:f g=f(g(x)=(xg=f(g(x)=(x2 2)+1=x)+1=x2 2+1+1 g g f=g(f(x)=(x+1)f=g(f(x)=(x+1)2 2+1=x+1=x2 2+2x+2+2x+2 f f-1-1(x)=x-1(x)=x-1 因为因为g g不是双射不是双射,因此不存在逆函数。因此不存在逆函数。
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