《离散数学》课件1第3章 函数.pptx
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1、1函数的基本概念函数的基本概念特殊函数特殊函数复合函数与逆函数复合函数与逆函数2在在离离散散数数学学中中,任任何何对对象象,包包括括集集合合都都可可以以做做自自变变量量或或函函数数值值,并并且且函函数数仅仅指指单单值值函函数数,也没对两个集合的元素作任何特殊限制。也没对两个集合的元素作任何特殊限制。3定定义义3.13.1 设设f f是是集集合合A A到到B B的的关关系系,如如果果对对每每个个x x A A,都都存存在在唯唯一一y y B B,使使得得(x,y)(x,y)f f,则则称称f f关关系系为为A A到到B B的的函函数数(或或映映射射、变变换换),记记为为f f :A:AB B。当
2、当(x,y)(x,y)f f时时,通通常常记记为为y=y=f f(x)(x),这这时时称称x x为为函函数数的的自自变变量量,称称y y为为x x在在f f下的下的函数值函数值(或(或像像)。)。4(1 1)dom(dom(f f)=A)=A,称为函数,称为函数f f的的定义域定义域;(2 2)ran(ran(f f)B B,称为函数,称为函数f f的的值域值域,B B称为称为函数函数f f的的陪域陪域,ran(ran(f f)也可记为也可记为f f(A)(A),并称,并称f f(A)(A)为为A A在在f f下的下的像像;(3 3)(x,y)(x,y)f f,(x,z)(x,z)f f y=
3、zy=z;(4 4)|f f|=|A|=|A|。5例例3.1 3.1 设集合设集合A=1,2,3A=1,2,3,集合,集合B=A,B,CB=A,B,C,判断下,判断下列各式是否是函数?列各式是否是函数?(1)(1)(2)(2)(3)(3)解:根据定义,(1)和(3)满足条件,因此是函数;(2)不是函数,因为在(2)中,集合A 的元素1对应集合B 中的两个元素a,b,故不是函数。6例例3.2 3.2:判断关系:判断关系:(1)f(1)f1 1=(a,1),(b,1),(c,2)=(a,1),(b,1),(c,2)。(2)f(2)f2 2=(a,1),(a,2),(b,1),(c,2)=(a,1)
4、,(a,2),(b,1),(c,2)。是否为函数。是否为函数。解解:根据定义根据定义,有有 (1)(1)对任意的对任意的xdomfxdomf1 1,都存在唯一的都存在唯一的yranfyranf1 1,使得使得(x,y)f(x,y)f1 1成立成立,因此因此f f1 1是函数。是函数。(2)(2)对对adomfadomf2 2,存在不同的存在不同的1ranf1ranf2 2,2ranf,2ranf2 2,使得使得(a,1)f(a,1)f2 2 与与(a,2)f(a,2)f2 2 同时成立同时成立,因此因此f f2 2是函数。是函数。7例例3.33.3(1 1)任意集合)任意集合A A上的恒等关系
5、上的恒等关系I IA A是一个函是一个函数,常称为恒等函数,并且数,常称为恒等函数,并且I IA A(x)=x(x)=x(对任意(对任意x x A A)。)。(2 2)自然数集合上的)自然数集合上的m m倍关系是一个函数,倍关系是一个函数,若用若用f表示这一关系,那么表示这一关系,那么f:N:NN N,可表示为:,可表示为:y=y=f(x)=mx(x)=mx。8(1 1)列表法列表法:由于函数具有:由于函数具有“单值性单值性”,即对任一,即对任一自变量有唯一确定的函数值,因此可将其序偶排列成自变量有唯一确定的函数值,因此可将其序偶排列成一个表,将自变量与函数值一一对应起来。列表法一一个表,将自
6、变量与函数值一一对应起来。列表法一般适用于定义域为有限集合的情况。般适用于定义域为有限集合的情况。(2 2)图表法图表法:用笛卡尔平面上点的集合表示函数。:用笛卡尔平面上点的集合表示函数。与列表法一样,图表法一般适用于定义域有限的情况。与列表法一样,图表法一般适用于定义域有限的情况。(3 3)解析法解析法:用等式:用等式y=y=f(x)(x)表示函数,这时可认为表示函数,这时可认为y=y=f(x)(x)为函数的为函数的“命名式命名式”,有别于,有别于“y y是是f在在x x处的值处的值”。y=y=f(x)(x)具有双重意义,可依上下文加以区别。具有双重意义,可依上下文加以区别。9定义定义3.2
7、 3.2 设函数设函数f:Af:AB B与与g:Cg:CD D,如果,如果A=CA=C,B=DB=D,并且对任意的,并且对任意的a a A A或或a a C C ,都有,都有f(a)=g(a)f(a)=g(a),则称函数,则称函数f f与与g g相等,记作相等,记作f=gf=g。10n(1)dom(f)=dom(g);n(2)xdom(f)=dom(g),都有f(x)=g(x).11定义定义3.33.3设设A,B,CA,B,C是是3 3个非空集合,函数个非空集合,函数f:A:AB B,A A C C,f在在C-AC-A上无定义,则称上无定义,则称f是是C C到到B B的的偏函数偏函数。定义定义
8、3.43.4设设A,B,CA,B,C是是3 3个非空集合,函数个非空集合,函数f:A:AB B ;g:B:B C C,如果,如果C C A A ,且对于所有的,且对于所有的a C C,有,有f(a)=)=g(a),则称,则称g是是f的的限制限制,f是是g的的扩充扩充。如果如果g是是A A到到B B的偏函数,当对的偏函数,当对g无定义处规定一个值,无定义处规定一个值,即对即对g作一补充定义,即可构造出作一补充定义,即可构造出g的一个扩充。的一个扩充。12例例3.4 3.4 设设Z Z是整数集,并定义函数是整数集,并定义函数f:Z:ZZ Z ,设,设f=(x,2x+1)|x Z,且,且N N Z
9、Z为自然数集合,为自然数集合,求求f在在Z Z上的限制。上的限制。解解:先写出先写出f f 的集合表示形式如下的集合表示形式如下:f=,:f=,(-1,-1),(0,1),(1,3),(-1,-1),(0,1),(1,3),因此因此,f,f 在自然在自然数集数集 N N上的限制为上的限制为 g=(0,1),(1,3),g=(0,1),(1,3),13定义定义3.53.5设设A,BA,B是非空集合,所有从是非空集合,所有从A A到到B B的函的函数记作数记作B BA A,读作,读作“B B上上A A”,符号化表示为:,符号化表示为:B BA A=f|f:A:ABB 。14定理定理3.13.1证明
10、证明 设设|A|=n|A|=n,|B|=m|B|=m。函数是。函数是f从从A A到到B B的任一的任一函数,并且函数,并且f由由A A中的中的n n个元素的取值唯一确个元素的取值唯一确定,对于定,对于A A中的任一元素,中的任一元素,f在该元素处的在该元素处的取值都有取值都有m m种可能,因此从种可能,因此从A A到到B B可以定义可以定义m m m mm=m=|B|B|A|A|个不同的函数。个不同的函数。例例3.5 3.5 设集合设集合A=1,2,3,A=1,2,3,集合集合B=A,B,B=A,B,计算计算B BA A 。解解:根据定义根据定义,有有B BA A=f=f1 1,f,f2 2,
11、f,f3 3,f,f4 4,f,f5 5,f,f6 6,f,f7 7,f,f8 8。f f1 1(1)=a,f(1)=a,f1 1(2)=a,f(2)=a,f1 1(3)=a;f(3)=a;f2 2(1)=a,f(1)=a,f2 2(2)=a,f(2)=a,f2 2(3)=b;(3)=b;f f3 3(1)=a,f(1)=a,f3 3(2)=b,f(2)=b,f3 3(3)=a;f(3)=a;f4 4(1)=a,f(1)=a,f4 4(2)=b,f(2)=b,f4 4(3)=b;(3)=b;f f5 5(1)=b,f(1)=b,f5 5(2)=a,f(2)=a,f5 5(3)=a;f(3)=a
12、;f6 6(1)=b,f(1)=b,f6 6(2)=a,f(2)=a,f6 6(3)=b;(3)=b;f f7 7(1)=b,f(1)=b,f7 7(2)=b,f(2)=b,f7 7(3)=a;f(3)=a;f8 8(1)=b,f(1)=b,f8 8(2)=b,f(2)=b,f8 8(3)=b(3)=b。也可以表示成如下形式。也可以表示成如下形式。f f1 1=(1,a),(2,a),(3,a);f=(1,a),(2,a),(3,a);f2 2 =(1,a),(2,a),(3,b);=(1,a),(2,a),(3,b);f f3 3=(1,a),(2,b),(3,a);=(1,a),(2,b)
13、,(3,a);f f4 4=(1,a),(2,b),(3,b);=(1,a),(2,b),(3,b);f f5 5=(1,b),(2,a),(3,a);f=(1,b),(2,a),(3,a);f6 6 =(1,b),(2,a),(3,b);f=(1,b),(2,a),(3,b);f7 7 =(1,b),(2,b),(3,a);f=(1,b),(2,b),(3,a);f8 8=(1,b),(2,b),(3,b)=(1,b),(2,b),(3,b)。1516例例3.6 3.6 设集合设集合A=1,2A=1,2,集合,集合B=A,B,CB=A,B,C,计算,计算B BA A。17定理定理3.2 3.
14、2 设设A,B,X,YA,B,X,Y是非空集合,是非空集合,f:X:XY Y且且 A A f(X)(X),B B f(X)(X),则,则(1 1)(2 2)证明证明:(1):(1)先证先证f(AB)f(AB)f(A)f(B)f(A)f(B)。对任意的对任意的yf(AB),yf(AB),存在存在xAB,xAB,使得使得 y=f(x)y=f(x)即即xA xA 或或xB xB 时时,有有y=f(x),y=f(x),因此因此f(x)f(A)f(x)f(A)或或f(x)f(B),f(x)f(B),即即yf(A)f(B),yf(A)f(B),则则 f(A B)f(A B)f(A)f(B)f(A)f(B)
15、。再证再证f(A)f(B)f(A)f(B)f(AB)f(AB)。对任意的对任意的yf(A)f(B),yf(A)f(B),有有yf(A)yf(A)或或yf(B),yf(B),因此在因此在集合集合 A,B A,B 中至少有一个集合里有一个中至少有一个集合里有一个x,x,使得使得 y=f(x)y=f(x)即即y=f(x)f(AB),y=f(x)f(AB),则则 f(A)f(B)f(A)f(B)f(A B)f(A B)因此因此f(AB)=f(A)f(B)f(AB)=f(A)f(B)。(2)(2)对任意的对任意的yf(AB),yf(AB),存在存在xAB,xAB,使得使得 y=f(x)y=f(x)即即x
16、A xA 且且xB xB 时时,有有y=f(x),y=f(x),因此因此f(x)f(A)f(x)f(A)且且f(x)f(B),f(x)f(B),即即yf(A)f(B),yf(A)f(B),则则 f(AB)f(AB)f(A)f(B)f(A)f(B)一般地一般地,f(AB)f(A)f(B),f(AB)f(A)f(B)。1819例例3.7 3.7 设集合设集合X=1,2,3X=1,2,3,集合,集合Y=a,b,cY=a,b,c,A=1,2A=1,2,B=3B=3且且f:X Y,f(1)=af:X Y,f(1)=a,f(2)=bf(2)=b,f(3)=b,f(3)=b,有有AB=1,2,3,AB=1,
17、2,3,则则f(AB)=a,bf(AB)=a,b。因此因此,f(A)f(B)=a,bb=a,b,f(A)f(B)=a,bb=a,b,即即f(AB)=f(A)f(B)f(AB)=f(A)f(B)成立。但是成立。但是 f(AB)=f(A)f(B)f(AB)=f(A)f(B)不一定成立。不一定成立。例例3.83.8设集合设集合X=1,2,3X=1,2,3,集合,集合Y=a,b,cY=a,b,c,A=1,2A=1,2,B=3B=3且且f:Xf:XY Y,f(1)=af(1)=a,f(2)=bf(2)=b,f(3)=bf(3)=b。有。有AB=AB=,则,则f(AB)=f(AB)=。但是但是f(A)f(
18、B)=a,bb=bf(A)f(B)=a,bb=b,即即f(AB)f(AB)f(A)f(B)f(A)f(B)成立。但是不满足成立。但是不满足f(AB)f(AB)=f(A)f(B)f(A)f(B)。20定义定义3.6 3.6 设集合设集合A=AA=A1 1AA2 2AAn n 与集合与集合B,B,则则对任意对任意xA,xA,且且x=(xx=(x1 1,x,x2 2,x,xn n),),其中其中,x,xi iAAi i,1in,1in,有有yB,yB,这时定义这时定义y=f(x)=fy=f(x)=f(x(x1 1,x,x2 2,x,xn n),),则称则称f f为为A A到到B B的的n n 元函数
19、。元函数。例例3.9 3.9 设设A,B A,B 是非空集合是非空集合,f:ABA,f:ABA 的函数的函数,若若f(a,b)=a,f(a,b)=a,则则f f 是一个二元是一个二元 函数函数,其中其中,aA,bB,aA,bB。2122定义定义3.73.7设设f:A:AB B是一个函数,是一个函数,(1 1)如果对任意的)如果对任意的x1,x2 A A,当,当x1 x2时,有时,有f(x1 1)f(f(x2 2),则称,则称f为为A A到到B B的的单射函数单射函数或或单射单射,或称,或称一对一对一的函数一的函数。(2 2)如果对任意的)如果对任意的y B B,均有,均有x A A ,使,使y
20、=f(x),即,则称,即,则称f为为A A到到B B的的满射函数满射函数或或满射满射,或称,或称A A到到B B映映上的函数。上的函数。(3 3)如果)如果f既是既是A A到到B B的单射,又是的单射,又是A A到到B B的满射,的满射,则称则称f为为A A到到B B的的双射函数双射函数或或双射双射,或称,或称一一对应的函一一对应的函数数。23由定义可知:当集合由定义可知:当集合A,BA,B为有限集时,有为有限集时,有 (1 1)f:A:AB B是单射的必要条件为是单射的必要条件为|A|A|B|B|;(2 2)f:A:AB B是满射的必要条件为是满射的必要条件为|A|A|B|B|;(3 3)f
21、:A:AB B是双射的必要条件为是双射的必要条件为|A|A|=|B|=|B|。例例3.10 3.10 设集合设集合A A,B B,定义函数,定义函数F:AF:AB B,在图,在图3.13.1中给出了中给出了4 4种不同情形下的函数:种不同情形下的函数:24(a)单射,满射(b)非单射,非满射(c)非单射,满射(d)单射,非满射例例3.11 3.11 在实数集上也可以找到这样的函数,在实数集上也可以找到这样的函数,例例如:实数集上的函数如:实数集上的函数y=5=5x 是单射而非满射,是单射而非满射,多项式函数多项式函数y=ax3+bx2+cx+d(a 0)是满射而是满射而非单射,一次函数非单射,
22、一次函数 y=ax+b y=ax+b(a 0)是双射,是双射,但二次函数但二次函数y=ax2+bx+c(a 0)既非单射,又既非单射,又非满射。非满射。25例例3.12 3.12 设集合设集合A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,找出,找出一个从一个从A A2 2到到A A的函数,能否找到一个从的函数,能否找到一个从A A2 2到到A A的满射,的满射,能否找到一个从能否找到一个从A A2 2到到A A的单射?的单射?解解 对任意的对任意的x,y A,设设f(x,y)=max(x,y)f(x,y)=max(x,y)则则 f f是是一个从一个从
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