1、分层限时跟踪练(三十七)(限时40分钟)一、选择题1一个几何体的三视图如图7212所示，其中俯视图与侧视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是()图7212A16 B14 C12 D8 【解析】由三视图可知，该几何体为一个球切去四分之一个球后剩余部分，由于球的半径为2，所以这个几何体体积为238.【答案】D2(2015北京高考)某三棱锥的三视图如图7213所示，则该三棱锥的表面积是()图7213A2B4 C22D5【解析】作出三棱锥的示意图如图，在ABC中，作AB边上的高CD，连接SD.在三棱锥SABC中，SC底面ABC，SC1，底面三角形ABC是等腰三角形，ACBC，AB边上的高CD2，A
2、DBD1，斜高SD，ACBC.S表SABCSSACSSBCSSAB2211222.【答案】C3(2015全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7214，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为() 图7214A. B.C. D.【解析】由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1111，剩余部分的体积V213.所以，故选D.【答案】D4(2015安徽高考)一个四面体的三视图如图7215所示，则该四面体的表面积是()图7215A1B2 C12D2【解析】根据三视图还原几何体如图所示，
3、其中侧面ABD底面BCD，另两侧面ABC、ACD为等边三角形，则S表面积2212()22.【答案】B5正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A. B16 C9 D.【解析】如图所示，设球半径为R，底面中心为O且球心为O，正四棱锥PABCD中AB2，AO.PO4，在RtAOO中，AO2AO2OO2，R2()2(4R)2，解得R，该球的表面积为4R242，故选A.【答案】A二、填空题6如图7216，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为 图7216【解析】VD1EDFVFDD1E AB1
4、11.【答案】7设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且，则的值是 【解析】设甲、乙两圆柱的底面半径分别为r1，r2，母线长分别为l1，l2，则由得.又两圆柱侧面积相等，即2r1l12r2l2，则，所以.【答案】8已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图7217所示，则该几何体的体积是 图7217【解析】根据三视图，画出其直观图，几何体由正方体切割而成，即正方体截去一个棱台如图所示其中正方体棱长为2，AFAE1，故所求几何体体积为V2321122.【答案】三、解答题9(2015荥阳月考)已知球的两平行截面的面积分别为5和8，它
5、位于球心的同一侧，且相距为1，求这个球的体积【解】如图，设以r1为半径的截面面积为5，圆心为O1，以r2为半径的截面面积为8，圆心为O2，O1O21，球的半径为R，设OO2x，可得下列关系式：rR2x2，r(R2x2)8，rR2(x1)2，rR2(x1)25，R2x28，R2(x1)25，解得R3，球的体积为VR33336.10(2015全国卷)如图7218，长方体ABCDA1B1C1D1中，AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形图7218(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求
6、平面把该长方体分成的两部分体积的比值【解】(1)交线围成的正方形EHGF如图所示(2)如图，作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为四边形EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.故S四边形A1EHA(410)856，S四边形EB1BH(126)872.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为.1(2015山东高考)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2【解析】过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形AB
7、CD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，选C.【答案】C2如图7219，直三棱柱ABCA1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，ABAC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为() 图7219A2 B1 C. D.【解析】由题意知，球心在侧面BCC1B1的中心O上，BC为截面圆的直径，BAC90，ABC的外接圆圆心N是BC的中点，同理A1B1C1的外心M是B1C1的中点设正方形BCC1B1
8、的边长为x，在RtOMC1中，OM，MC1，OC1R1(R为球的半径)，221，即x，则ABAC1，S矩形ABB1A11.【答案】C3圆锥的全面积为15 cm2，侧面展开图的圆心角为60，则该圆锥的体积为 cm3.【解析】设底面圆的半径为r，母线长为a，则侧面积为(2r)ara.由题意得解得故圆锥的高h5，所以体积Vr2h5(cm3)【答案】4已知正四面体的俯视图如图7220所示，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个正四面体的表面积为 ，体积为 图7220【解析】由题意知正四面体的直观图EACF补成正方体如图所示由正方体棱长为2，知正四面体的棱长为2，正四面体表面积为(2)248.点E
9、到平面ACF的距离为.正四面体的体积为(2)2.【答案】85如图7221所示，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE，BCF均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积图7221【解】如图所示，分别过A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱，三棱锥高为，直三棱柱高为1，AG，取AD中点M，则MG，SAGD1，V12.6如图7222，已知平行四边形ABCD中，BC2，BDCD，四边形ADEF为正方形，平面ADEF平面ABCD，G，H分别是DF，BE的中点记CDx，V(x)表示四棱锥FABCD的体积图7222(1)求V(x)的表达式；(2)求V(x)的最大值【解】(1)平面ADEF平面ABCD，交线为AD且FAAD，FA平面ABCD.BDCD，BC2，CDx，FA2，BD(0x2)，SABCDCDBDx，V(x)SABCDFAx(0x2)(2)V(x)x.0x2，0x24，当x22，即x时，V(x)取得最大值，且V(x)max.10
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