1、绵阳中学2020级高三下期三诊模拟考试数学（理科）试题时间：120分钟 满分：150分出题人：谢金芮 审题人：何虎，唐榆婷，罗博本试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第I卷（选择题共60分）一选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D.2.已知为实数，（为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）A.0 B.1 C.2 D.43.某单位职工参加某APP推出的“二十大知识问答竞赛”活动，参与者每人每天可以作答三次，每次作答20题，每题答对得5分，答错得0分，该单位从职工中随机抽取了1
2、0位，他们一天中三次作答的得分情况如图，根据如图，估计该单位职工答题情况，则下列说法正确的是（ ）A.该单位职工一天中各次作答的平均分保持一致B.该单位职工一天中各次作答的正确率保持一致C.该单位职工一天中第三次作答得分的极差小于第二次的极差D.该单位职工一天中第三次作答得分的标准差小于第一次的标准差4.展开式中的常数项是（ ）A.-160 B.-20 C.20 D.1605.为实数，则“”是“”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知和均为等差数列，则数列的前50项的和为（ ）A.5000 B.5050 C.5100 D.51507.已知函数
3、的图象关于直线对称，则函数的最大值为（ ）A.1 B. C.2 D.8.“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A，B，C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为（ ）A.6种 B.12种 C.24种 D.30种9.如图，圆内接四边形中，.现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何的体积为（ ）A. B. C. D.10.已知函数的定义域均为为偶函数且，则（ ）A.21 B.22 C. D.11.法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂
4、直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为，现有椭圆的蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若三角形面积的最大值为34，则椭圆的长轴长为（ ）A. B. C. D.12.如图，正方体的棱长为3，点是侧面上的一个动点（含边界），点在棱上，且.则下列结论不正确的是.（ ）A.若保持.则点的运动轨迹长度为B.保持与垂直时，点的运动轨迹长度为C.沿正方体的表面从点到点的最短路程为D.当在点时，三棱锥的外接球表面积为第卷（非选择题，共90分）二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上.13.抛物
5、线的焦点到准线的距离为_.14.已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影为2，则_.15.已知函数，若存在四个不相等的实根，且，则的最小值是_.16.如图所示，在中，已知分别在边上，且为等边三角形，则面积的最小值是_.三解答题：共70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.第1721题为必考题.每个试题考生都必须作答.第2223题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）记为正项数列的前项和，已知.（1）求数列的前项和；（2）若，求数列的前项和.18.（12分）2022年2月4日至2月20日，第24届冬季奥林匹克运动会在北京和张家口隆重举行.北京市各校大学生争相出征
6、服务冬奥会，经统计某校在校大学生有9000人，男生与女生的人数之比是2：1，按性别用分层抽样的方法从该校大学生中抽取9名参加冬奥会比赛场馆服务培训，培训分4天完成，每天奖励若干名“优秀学员”，累计获2次或2次以上者可获2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”或“雪容融”一个.（1）若从这抽取的9名大学生中随机选出3人服务“国家体育馆”，求选出的3人中至少有一位是女生的概率.（2）设参加服务培训的大学生甲每天获“优秀学员”奖励的概率均为，记同学甲获得“优秀学员”的次数为X，试求X的分布列及其数学期望，并以获得“优秀学员”的次数期望为参考，试预测该同学甲能否获得冬奥会吉祥物？19.（12分）如图，在四棱锥中
7、，底面四边形为菱形，点为棱的中点，为边的中点.（1）求证：平面：（2）若侧面底面，且，求与平面所成角的正弦值.20.（12分）过抛物线上的点作直线交抛物线于另一点.（1）设的准线与轴的交点为，若，求：（2）过的焦点作直线交于两点，为上异于的任意一点，直线，分别与的准线相交于两点，证明：以线段为直径的圆经过轴上的两个定点，21.（12分）已知函数.（1）当时，求在处的切线方程；（2）设函数，当时，若，证明：.（二）选考题：共10分.请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为
8、（为参数），直线.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出曲线的普通方程及直线的极坐标方程；（2）直线与曲线和直线分别交于均异于点两点，求的取值范围.23.【选修4-5：不等式选讲】（10分）已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.绵阳中学2020级高三下期三诊模拟考试数学（理科）试题参考答案1-5ADDAA 6-10BCCDC 11-12CC13. 14. 15. 16.17.解：（1）时，数列是等差数列，首项为1，公差为1，为正项数列的前项和，.（2）时，时，也满足上式，.时，数列的前项和；时，数列的前项利.18.解：（1）由题可知，
9、抽取的9名大学生中，6名男生，3名女生，则选出的3名学生中至少有一名女生的概率.（2）由题可知，所有可能取值为，可以的分布列：01234所以，即能获得吉祥物.19.（1）证明：取线段的中点，连，在中，分别为的中点，且，又底面是菱形，且为的中点，且，且，四边形为平行四边形，又平面平面，平面.（2）在平面内过点作，由已知可证得且平面，故分别以所在线分别为轴建立空间坐标系，则，设平面的一个法向量，可得，不妨取，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为.20.解：（1）点在上，解得，的方程为，的准线方程为，直线的方程为，即，联立，消去得，解得，或，将代入抛物线方程得，即.（2）证明：
10、设点，设直线的方程为，代入，得，则.设点，则，直线的方程为，令，得.同理得.设以线段为直径的圆与铀的交点为，则，即，解得或.故以线段为直径的圆经过轴上的两个定点和.21.解：（1）当时，所以由导数的几何意义可得，所以在处的切线方程为.（2）证朋：当时，令，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，所以任意，所以，当且仅当时，取等号，所以在上单调递增，且，又，不妨令，令令，所以在上单调递增，所以，所以函数在上单调递增，所，所以当吋，时，即，又，所以，因为在上单调递增，所以，所以.22.解：（1）由参数方程为（为参数）.得所以曲线的普通方程为.由普通方程为，而所以直线的极坐标方程为即（2）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为即则的取值范围为23.解：（1）当时，由解得，综合得；当时，由解得，综合得；当时，由船得，综合得.所以的解集是.（2）的解集包含，当时，恒成立原式可变为，即，即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，
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