1、第10章 三角恒等变换综合测试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称若，则（）A1BCD02已知是函数的一个零点，则的值为（）ABCD3函数是（）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数4若，则为（）ABCD5若，则（）ABCD6（）ABCD7已知函数f（x）=Acos2（x+）+1（A0，0，0）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2021）的值为（）A2021B4020C4041D40428
2、函数的最小正周期为（）ABCD二、多选题9下列等式成立的是（）ABCD10已知函数则下列选项正确的是（）A的最小正周期为B为偶函数C的最大值为D在上单调递增11设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为记，则下列命题正确的是（）AB为偶函数，为奇函数C与的最大值均为D与在区间均为单调递增函数12已知函数，则（）A的最大值为3B的最小正周期为C的图象关于点对称D在上单调递增三、填空题13已知锐角，满足,则的最大值为 .14计算： 15若，则= 16方程在区间上的所有解的和等于 .四、解答题17（1）求值：（2）已知，且，求的值.18（1）已知，求的值（2）化简并求
3、值：.19已知，求证：(1)当时，；(2)20已知向量，（1）求证：；（2）设，（-8,0），若存在不等于0的实数和（1,2），满足，试求的最小值，并求出的最小值21某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示的平面直角坐标系中，此装置的圆心距离地面高度为，半径为，装置上有一小球（视为质点），的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球按逆时针匀速旋转，转一周需要小球距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的关系满足(1)写出关于的函数解析式，并求装置启动后小球距离地面的高度；(2)如图2，小球（视为质点）在半径为的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆，的
4、初始位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球以角速度为顺时针匀速旋转两装置同时启动，求两球高度差的最大值22深圳别称“鹏城”，“深圳之光”摩天轮是中国之眼游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，当游客甲坐上“深圳之光”摩天轮的座舱开始计时开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要开始转动后距离地面的高度为，(1)经过后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式；(2)若游客在距离地面至少的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有
5、最佳视觉效果?(3)摩天轮设置有48个座舱，游客甲坐上摩天轮的座舱，游客乙所在座舲与甲所在座舱间隔7个座舱，在运行一周的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差为米，求的最大值参考答案：1B【分析】根据已知条件及两角差的余弦公式，结合二倍角的余弦公式即可求解.【详解】因为，且角与角的终边关于轴对称，.所以.故选：B.2D【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得.【详解】因为是函数的一个零点，所以，即，故，则故选：D3D【分析】利用余弦的二倍角公式化简函数，再有奇偶性定义以及即可得出答案【详解】由题意，得.又，所以函数是最小正周期为的偶函数故选D.【点睛】本题考查余弦二倍角公式、函数奇偶性判
6、断以及三角函数周期求法，属于基础题4B【分析】先根据辅助角公式化简原式，然后计算出的值，结合可求解出的值.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以，所以，故选：B.5A【分析】根据二倍角公式及齐次式的处理方法，即可求解.【详解】.故选：A.6A【分析】由于，然后利用两角和与差的正弦、余弦公式展开化简可得答案【详解】解：故选：A7C【分析】由函数的最值求出，由周期求出，由特殊点求出的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性，求得结果【详解】因为函数f（x）=Acos2（x+）+1（A0，0，0）的最大值为3，所以，得，因为f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），所以，所以，因为，所以所以，因为
7、相邻两条对称轴间的距离为2，所以周期为，所以，得，所以，所以，所以，故选：C8C【分析】利用同角三角函数基本关系和二倍角公式对函数解析式进行化简，进而求得函数的最小正周期【详解】，最小正周期为.故选：C9ACD【分析】利用和差角正余弦、二倍角正弦、辅助角公式判断各项的正误.【详解】A：由二倍角正弦公式有，对；B：由和角正弦公式有，错；C：由辅助角公式有，对；D：由和差角余弦公式有，对.故选：ACD10ACD【分析】将化简后，根据正弦性函数的性质，即可判断ABCD.【详解】对于A，的最小正周期，故A正确；对于B，为非奇非偶函数，故B错误；对于C，的最大值为，故C正确；对于D，由，解得，所以的单调
8、递增区间为故当时，在上单调递增，故D正确故选：ACD11BC【分析】由任意角三角函数的坐标定义可知 ，故选项A错误；由于为偶函数，为奇函数，故选项B正确；与的最大值均为，故选项C正确；由于在上单调递减，故选项D错误.【详解】由任意角三角函数的坐标定义可知，故选项A错误；由于为偶函数，为奇函数，故选项B正确；由于，因此两个函数的最大值均为，故选项C正确；由于在上单调递减，故选项D错误.故选：BC【点睛】方法点睛：判断函数的单调性常用的方法有：（1）定义法；（2）复合函数单调性原理法；（3）导数法；（4）数形结合法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.12BCD【分析】化简得到，验证周期对称点和单调
9、性得到BCD正确，函数最大值为，A错误，得到答案.【详解】，对选项A：函数的最大值为，错误；对选项B：函数的最小正周期为，正确；对选项C：，则，故的图象关于点对称，正确；对选项D：，则，函数单调递增，正确；故选：BCD.13/【分析】由两角和的正切公式化简，再由均值不等式求最值即可.【详解】由得：,当且仅当时取等号，故答案为：.14/【分析】利用两角差的正弦公式及特殊角的三角函数值化简即可.【详解】故答案为：.15【分析】由已知等式，应用二倍角余弦公式、两角差正弦公式并整理得，进而可得或，即可求，注意验证是否符合题设.【详解】，则有，即，或，平方易得或，或，而有不合题意，故舍去.故答案为：.1
10、6【详解】原方程可变形为，即，由于，所以，所以.【考点】解三角方程.17（1）；（2）.【分析】（1）利用两角差的正弦公式和余弦公式化简即可；（2）利用同角关系求，再结合两角和的余弦公式求.【详解】（1）因为，所以，故；（2）因为，所以，因为，所以，又，18（1）；（2）【分析】（1）利用换元法，结合三角函数的倍角公式进行转化求解即可；（2）利用三角函数的倍角公式以及两角和与差的三角公式进行转化求解即可.【详解】（1）设，则，则，因为，所以，则，所以；（2）19(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用和差角公式对和进行化简，最后两式相除即可证明（2）由（1）两式分别平方后相加化简后即
11、可证明结论【详解】（1）证明：，同理有，两式相除，即得.（2）证明：根据（1），得，20（1）证明见解析；（2），且的最小值为-9【分析】（1）由三角函数的诱导公式及和差公式化简的坐标，再根据向量数量积的坐标表示即可证结论；（2）由（1）及可得，并代入并整理，根据二次函数对称轴和区间端点的关系，讨论，即可得的最小值，并求出的最小值【详解】（1），所以，即.（2）若，则，由（1）知：，即，当，即时，当，即时，当，即时，综上，则.21(1)m(2)2m【分析】（1）根据题意，代入相关数据得到，从而得解；（2）同理得到小球的高度关于的解析式，再利用三角恒等变换即可得解.【详解】（1）由题意，半径为m
12、，根据小球转一周需要需要6，可知小球转动的角速度，所以关于的函数解析式为，当时，所以圆形轨道装置启动1min后小球距离地面的高度为m（2）根据题意，小球的高度关于的函数解析式为，则，两点高度差为，当，即时，的最大值为2，所以,两球高度差的最大值为2m22(1)(2)(3)【分析】（1）根据最高、最低点距离地面高度计算出，根据转一周的时间计算出，再结合初始位置计算出，由此可求；（2）化简，根据求解出的范围，由此可知结果；（3）根据题意求解出甲、乙距离地面的高度，然后化简，根据化简结果结合三角函数的最值求解出.【详解】（1）由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面，所以，所以，又因为转一周大约需要，所以，所以，又因为，所以且，所以，所以；（2）因为，令，则，又因为，所以，所以，且，故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果；（3）经过后甲距离地面的高度为，因为乙和甲间隔的时间为，所以乙距离地面的高度为，所以甲乙两人离地面的高度差为，因为，所以，当且仅当或时有最大值，即或时，.学科网（北京）股份有限公司
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