1、数学大师 第二章圆锥曲线与方程(B)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是()A.1 B.1C.1 D.12平面内有定点A、B及动点P，设命题甲是“|PA|PB|是定值”，命题乙是“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3设a0，aR，则抛物线yax2的焦点坐标为()A. B.C. D.4已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()Ax2y2
2、2 Bx2y24Cx2y22(x2) Dx2y24(x2)5已知椭圆1 (ab0)有两个顶点在直线x2y2上，则此椭圆的焦点坐标是()A(，0) B(0，)C(，0) D(0，)6设椭圆1 (m1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.7已知双曲线的方程为1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|m，F1为另一焦点，则ABF1的周长为()A2a2m B4a2mCam D2a4m8已知抛物线y24x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x4y90的距离为d2，则d1d2的最小值是()A. B. C2 D.9设
3、点A为抛物线y24x上一点，点B(1,0)，且|AB|1，则A的横坐标的值为()A2 B0C2或0 D2或210从抛物线y28x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则PFM的面积为()A5 B6C10 D511若直线ykx2与抛物线y28x交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为2，则k等于()A2或1 B1C2 D112设F1、F2分别是双曲线1的左、右焦点若点P在双曲线上，且0，则|等于()A3 B6 C1 D2题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13以等腰直角ABC的两个顶点为焦点，并且经过另一
4、顶点的椭圆的离心率为_14已知抛物线C：y22px (p0)，过焦点F且斜率为k (k0)的直线与C相交于A、B两点，若3，则k_.15已知抛物线y22px (p0)，过点M(p,0)的直线与抛物线交于A、B两点，则_.16已知过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|2，则|BF|_.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)求与椭圆1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程18(12分)已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长19.(12分)已知两个定点A(1,0)、B(2,0)，求使MBA2MAB的点M的轨迹方程20(12分)已
5、知点A(0，2)，B(0,4)，动点P(x，y)满足y28.(1)求动点P的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线yx2交于C、D两点求证：OCOD(O为原点)21.(12分)已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由22(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线yx2的焦点，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A，B两点，交
6、y轴于点M，若m，n，求mn的值第二章圆锥曲线与方程(B)1A2a18，两焦点恰好将长轴三等分，2c2a6，a9，c3，b2a2c272，故椭圆的方程为1.2B点P在线段AB上时|PA|PB|是定值，但点P轨迹不是椭圆，反之成立，故选B.3D4DP在以MN为直径的圆上5A6B2a314.a2，又c1，离心率e.7BA，B在双曲线的右支上，|BF1|BF2|2a，|AF1|AF2|2a，|BF1|AF1|(|BF2|AF2|)4a，|BF1|AF1|4am，ABF1的周长为4amm4a2m.8A如图所示过点F作FM垂直于直线3x4y90，当P点为直线FM与抛物线的交点时，d1d2最小值为.9B由
7、题意B为抛物线的焦点令A的横坐标为x0，则|AB|x011，x00.10A11C由消去y得，k2x24(k2)x40，故4(k2)24k2464(1k)0，解得k1，由x1x24，解得k1或k2，又k1，故k2.12B因为0，所以，则|2|2|F1F2|24c236，故|2|22|236，所以|6.故选B.13.或1解析设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，当以两锐角顶点为焦点时，因为三角形为等腰直角三角形，故有bc，此时可求得离心率e；同理，当以一直角顶点和一锐角顶点为焦点时，设直角边长为m，故有2cm,2a(1)m，所以，离心率e1.14.解析设直线l为抛物线的准线，过A，B分别
8、作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，则|AA1|AF|，|BB1|BF|，由3，cosBAE，BAE60，tanBAE.即k.15p2162解析设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|x112，x11，直线AF的方程是x1，故|BF|AF|2.17解由椭圆方程为1，知长半轴长a13，短半轴长b12，焦距的一半c1，焦点是F1(，0)，F2(，0)，因此双曲线的焦点也是F1(，0)，F2(，0)，设双曲线方程为1 (a0，b0)，由题设条件及双曲线的性质，得，解得，故所求双曲线的方程为y21.18解设A、B的坐标分别为A(x1，
9、y1)、B(x2，y2)由椭圆的方程知a24，b21，c23，F(，0)直线l的方程为yx.将代入y21，化简整理得5x28x80，x1x2，x1x2，|AB|.19解设动点M的坐标为(x，y)设MAB，MBA，即2，tan tan 2，则tan .(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tan ，tan ，将其代入式并整理得3x2y23 (x0，y0)；(2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，tan ，tan ，将其代入式并整理得3x2y23 (x0，y0)；(3)当点M在x轴上时，若满足2，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)，只能有0.综上所述，可知点M的轨迹方程为3x2y23(右支
10、)或y0 (1x0，设C、D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有x1x22，x1x24.而y1x12，y2x22，y1y2(x12)(x22)x1x22(x1x2)44，kOCkOD1，OCOD.21解(1)将(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt.由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA到l的距离d可得，解得t1.因为1，)，1，)，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.22解(1)设椭圆C的方程为1 (ab0)抛物线方程可化为x24y，其焦点为(0,1)，则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b1.由e.得a25，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，代入方程y21，得(15k2)x220k2x20k250.x1x2，x1x2.又(x1，y1y0)，(x2，y2y0)，(x12，y1)，(x22，y2)m，n，m，n，mn，又2x1x22(x1x2)，42(x1x2)x1x24，mn10.
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