1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式（第二课时）教学设计 教学目标1经历借助公式推导，公式的过程，进一步体会公式的意义，发展学生逻辑推理素养2掌握，等公式，发展学生逻辑推理、数学运算素养 教学重难点教学重点：经历从公式出发推导其它和角、差角公式的过程，进一步体会的意义教学难点：和角与差角的正弦公式的推导；逆用公式进行恒等变换 课前准备PPT课件 教学过程（一）整体感知引导语：前一节课我们根据三角函数的定义及圆的旋转对称性，借助两点间距离的坐标公式推导出了公式，今天我们将继续探究如何用任意角的三角函数表示（二）新知探究问题1：你能依据与之间的联系，利用公式，推导出两角和的余弦公式吗？预设的师生活动：
2、学生讲解其证明思路及具体证明过程，教师进行适当地点拨预设答案：(简记为)设计意图：引导学生对解决目标与已学公式对比分析，寻找差异，获得新知问题2：我们已经得到了两角和与差的余弦公式，那么怎样利用已推出公式得到正弦公式呢？以前学过的哪个公式可以实现正弦、余弦的转化呢？请你试一试预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明教师巡视，对遇到困难的学生进行引导，收集学生们的不同证法，并找相应的学生展示其证法预设答案：诱导公式五、六可以实现正弦与余弦的转化；证明如下： (简记为)然后用替换上式中的可得(简记为)以上只是其中一种证法设计意图：引导学生根据目前的公式与新目标之间的差异，制定方案，完成新公
3、式的推导问题3：你能根据正切函数与正弦函数、余弦函数的关系，从出发，推导出用任意角的正切表示的公式吗？预设的师生活动：学生思考之后按自己的想法完成证明并展示预设答案：证明顺序有两种，即先证和角正切公式，或先证差角正切公式；先证的公式直接由相应角的正弦与余弦相除即可，后证的公式除相除之外，还可以借助先证出的公式证明如先证和角正切：，(简记作)随后将替换为，即可得到， (简记作)公式，给出了任意角，的三角函数值与其和角的三角函数值之间的关系为方便起见，我们把这三个公式都叫做和角公式类似地，都叫做差角公式设计意图：通过已推导出的公式获得更多的公式，在此过程中，学会用联系的思维方式，提升学生分析问题、
4、解决问题的能力，发展逻辑推理素养例1 已知sin =35，是第四象限角，求sin4，cos4+，tan4的值追问1：题目中给出了几个条件？你能否由这些条件出发得到新的条件？为了得到题目要求出的三个数值，我们需要借助什么工具？需要哪些数据？这些数据是否已经出现在已知条件中或可由已知条件推出？预设答案：两个条件，即角的正弦值与角终边所在的象限可以根据这些条件算出的余弦值与正切值为了求出所求数据，需借助和角公式与差角公式需要的数据是的正弦、余弦、正切值，以及的正弦、余弦正切值这些数据均可从条件中轻易推出解：由sin =35，是第四象限角，得cos =1sin2=1352=45，所以tan =sin
5、cos =3545=34于是有sin4=sin 4cos -cos 4sin =22452235=7210；cos4+=cos 4cos sin 4sin =22452235=7210；tan4=tan tan 41+tan tan 4=tan 11+tan =3411+34=7设计意图：本题目条件简单，问题明确，可加强学生对新学公式的认知程度另外，本题目有利于培养学生分析问题和解决问题的良好思维习惯，即先认真分析条件，适度拓展条件，在明确任务，了解前进的方向，联想解决问题需要的工具(公式、定理等)、数据，再将这些所需的条件与已知条件及拓展条件相联系，逐步拉近已知条件与待求结论的距离追问2：如
6、果去掉“是第四象限角”这个条件，则答案如何？预设答案：正确答案是，当是第三象限角时，所求的三个三角函数值依次是；当是第四象限角时，所求的三个三角函数值依次是但有些学生可能会错误表达为sin4的值为或，cos4+的值为或，tan4的值为或这种错误的表述方式增加了搭配的可能性，解答的准确性大幅下降，教师若发现学生存在这样的表达方式，应及时指出设计意图：对题目作简单的变式，一方面可以让学生巩固相关公式，对学生渗透分类与整合的数学思想，另一方面为培养学生表述问题的准确性提供了机会，同时也对追问3做了铺垫追问3：观察追问2两种情况下的答案，你有什么发现？在本题条件下有sin4=cos4+那么对于任意角，
7、此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？预设答案：等式对任意角都成立证明方法有多种，如等号左右两侧分别用展开后比较；将或者换元，然后借助诱导公式即可证明设计意图：通过延伸，培养学生“观察现象提出问题解决问题”的科学思维品质，鼓励学生多观察，多思考，多提问激发学生的发散性思维，一题多解例2 利用和(差)角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos 72sin 42；（2）cos 20cos 70sin 20sin 70；（3）sin 66sin 54sin 36sin 24；（4）1+tan 151tan 15追问：以上4个问题有什么结构特征？你是否在某些公式中见到过这样的
8、结构特征？预设答案：前3个问题都含有四个三角函数值，其中两个的乘积与另外两个的乘积作差，在正弦、余弦的和角与差角公式的等号右侧有过类似的结构特征；第4个问题仅含正切值，为分式形式，且分母中有常数1，与和角正切公式结构相似设计意图：引导学生发现题目的结构特征，并联想相关公式，为解决问题提供了方向与线索解：（1）由公式S(-)，sin 72cos 42cos 72sin 42=sin(7242) =sin 30=12；（2）由公式C(+)，得cos 20cos 70sin 20sin 70=cos(20+70) =cos 90=0；（3）(方法一) sin 66sin 54sin 36sin 24
9、= cos24 cos 36sin 36sin 24，由公式C(+)，原式=cos(36+24)=cos60=12；(方法二) sin 66sin 54sin 36sin 24= sin 66cos36cos 66sin 36，由公式S(-)，原式=sin(66-36)=sin 30=12；（4）由公式T(+)及tan 45=1，得1+tan 151tan 15=tan 45+tan 151tan 45tan 15=tan(45+15) =tan 60=3设计意图：本题目主要考察公式的逆用，即从公式的右侧出发，变形到左侧的恒等变换方式适度训练之后，学生对公式会有更全面，更深刻的理解本题目中的（
10、1）（2）是简单的公式反用，（3）的灵活度更上了一个台阶，学生需要借助诱导公式，变更函数名称，以凑成公式右侧的形式，再加以解决，解答（4）时，需要以退为进，逆向化归，将代换成，这个变形技巧在例3中出现过，已经作过了铺垫（三）归纳小结问题4：这两节课的内容中出现了很多性质和公式，它们之间具有怎样的推出关系？你能画一个结构图来反映这种关系吗？你在使用这些公式解决问题时有哪些心得体会？预设的师生活动：学生进行归纳、思考并回答预设答案：公式中的均为任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、甚至可以是两个任意角的和或差；公式均需要四个值齐备时方可使用，缺一不可，必要时需要从公式的右侧变形化简成左侧的形
11、式；公式中，若之中有一个是，则公式的结构会更简洁设计意图：回顾反思，在头脑中形成思维网络（四）作业布置教科书习题（五）目标检测设计1（1）已知cos =35，2，求sin+3的值；（2）已知sin =1213，是第三象限角，求cos6+的值；（3）已知tan =3，求tan+4的值2求下列各式的值：（1）sin 72cos 18+cos 72sin 18； （2）cos 72cos 12+sin 72sin 12；（3）tan 12+tan 331tan 12tan 33； （4）cos 74sin 14sin 74cos 14；（5）sin 34sin 26-cos 34cos 26； （6）sin 20cos 110+cos 160sin 703已知sin()cos cos()sin =35，是第三象限角，求sin+54的值预设答案：1（1）43310；（2）125326；（3）22（1）1；（2）12；（3）1；（4）32；（5）12；（6）137210设计意图：通过若干题目，促使学生巩固和角公式与差角公式，并能从正用或者逆用两个方向着手运用公式解决问题，提升学生逻辑推理与数学运算素养
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