1、专题03不等式 知识聚焦考点聚焦知识点1 不等式关系与不等式1、不等式的概念用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式。2、不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言知识点2 等式与不等式的的性质1、等式的性质性质文字表述性质内容注意1对称性可逆2传递性同向3可加、减性可逆4可乘性同向5可除性同向2、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性abbb，bcac同向3可加性abacbc可逆4可乘性ab，c0acbcab，c0acb，
2、cdacbd同向6正数同向可乘性ab0，cd0acbd同向7正数乘方性ab0anbn(nN，n2)同正知识点3 基本不等式1、两个不等式重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式： ；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由基本不等式引申出的常用结论（同号）；（异号）；或3、利用基本不等式求最值（1）在用基本不等
3、式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等.一正：各项均为正数；二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：含变数的各项均相等，取得最值.（2）积定和最小，和定积最大设x,y为正实数，若xys(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.设x，y为正实数，若xyp(积p为定值),则当x=y时，和xy有最小值,且这个值为2.知识点4 一元二次函数、方程和不等式1、一元二次不等式的相关概念（1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.（2）一般形式：ax2bxc0（0），ax2bxc000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a
4、0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“0”，则找“线”在数轴下方的区间3、含绝对值不等式（1）绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离（4）绝对值不等式：的解集是，如图1的解集是，如图2 或 考点剖析考点1 不等式的性质及判断【例1】（2023秋湖北襄阳高一校考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ）A B
5、 C D【变式1-1】（2022秋山东枣庄高一校考阶段练习）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）A B C D【变式1-2】（2023春云南曲靖高一校考阶段练习）（多选）若，则下列不等式成立的是（ ）A B C D【变式1-3】（2023江苏泰州高一校考阶段练习）（多选）已知，那么下列结论正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【变式1-4】（2023秋陕西高一校考阶段练习）（多选）已知，则下列不等式中错误的是（ ）A B C D考点2 求代数式的取值范围【例2】（2023秋湖北襄阳高一宜城市第一中学校考阶段练习）已知，则的取值范围是 【变式2-1】（2023秋四川南充高一校考阶段练
6、习）已知，则的取值范围是 【变式2-2】（2022秋青海海东高一校考阶段练习）（多选）已知，则的取值可以为（ ）A1 B C3 D4【变式2-3】（2023秋宁夏银川高一校考阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）A B C D【变式2-4】（2023秋全国高一专题练习）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）A B C D考点3 作差法与作商法比大小【例3】（2023秋湖北襄阳高一校考阶段练习）已知，若，则A与B的大小关系是（ ）AAB CAB D不确定【变式3-1】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）已知，设，则有（ ）A B C D【变式3-2】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）设，则 （
7、填“”“”“”或“”）.【变式3-3】（2023全国高一专题练习）若，则、中最小的是 .【变式3-4】（2020高一课时练习）若实数，满足，则（ ）A B C D考点4 基本不等式成立的条件【例4】（2022秋广东珠海高一校考阶段练习）对于，y取最小值时x的值为 【变式4-1】（2023全国高一专题练习）若，则当且仅当 时取等号【变式4-2】（2023全国高一专题练习）不等式中等号成立的条件是 【变式4-3】（2023全国高一专题练习）下列不等式中等号可以取到的是（ ）A B C D【变式4-4】（2023秋广东广州高一校考期末）（多选）下列命题中正确的是（ ）A时，的最小值是2B存在实数，使
8、得不等式成立C若，则D若，且，则考点5 无条件型不等式求最值【例5】（2023全国高一专题练习）已知，则的最小值为（ ）A2 B4 C D【变式5-1】（2023秋贵州黔西高三校考阶段练习）的最小值为（ ）A4 B7 C11 D24【变式5-2】（2023秋天津高三校考期末）已知，则的最小值是 【变式5-3】（2023江苏高一专题练习）已知，则的最小值为 【变式5-4】（2023秋四川高一校考阶段练习）已知，则的最小值为（ ）A4 B6 C D10考点6 有条件型不等式求最值【例6】（2023秋广东佛山高一校考开学考试）已知，且，则的最大值为（ ）A B C D【变式6-1】（2023秋河北邢
9、台高三联考9月月考）已知正数a，b满足，则的最小值为（ ）A13 B16 C9 D12【变式6-2】（2023秋上海松江高三上海市松江二中校考阶段练习）设正实数x、y、z满足，则的最大值为 .【变式6-3】（2023秋安徽亳州高一校考阶段练习）设均为正数且，则的最小值为（ ）A1 B3 C D2【变式6-4】（2023秋全国高一专题练习）已知且，则的最小值为（ ）A10 B9 C8 D7考点7 基本不等式恒成立问题【例7】（2023秋广西南宁高二校考开学考试）若，且，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B或 C D或【变式7-1】（2023秋广东潮州高三统考期末）正实数满足，且不等式恒成立，则
10、实数的取值范围（ ）A B C D【变式7-2】（2023秋全国高一专题练习）已知且，若恒成立，则实数的范围是 【变式7-3】（2023秋河北邢台高三上9月月考）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（ ）A2 B C D1考点8 基本不等式的实际应用【例8】（2023全国高一专题练习）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）A大于克 B小于克 C大于等于克 D小于等于克【变式8-1】（202
11、3全国高一专题练习）某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是（ ）A1208平方米 B1448平方米 C1568平方米 D1698平方米【变式8-2】（2023全国高一专题练习）奋进新征程，建功新时代某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（ ）A B C D【变式8-3】（2023全国高一专题练习）某企业一个月生产某种商品万件时的生产成本为（万元），每件商品售价
12、为元，假设每月所生产的产品能全部售完当月所获得的总利润用（万元）表示，用表示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（ ）A当生产万件时，当月能获得最大总利润万元B当生产万件时，当月能获得最大总利润万元C当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元D当生产万件时，当月能获得单件平均利润最大为元【变式8-4】（2023秋高一单元测试）某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米6
13、00元在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（ ）A36平方米 B48平方米 C64平方米 D72平方米考点9 解不含参的一元二次不等式【例9】（2023秋宁夏银川高一校考阶段练习）一元二次不等式的解集为（ ）A B C D【变式9-1】（2022秋天津高一统考期中）不等式的解集是（ ）A B C或 D或【变式9-2】（2022秋广东茂名高一校考期中）不等式的解集是 【变式9-3】（2023春云南曲靖高一校考阶段练习）解下列一元二次不等式（1）；（2）.【变式9-4】（2023秋湖北宜昌高一校考阶段练习）解下列不等式（1）（2）考点10 解含参一元二次不等式【例10】（2023秋全国高一专题练
14、习）不等式的解集为（ ）A B C D【变式10-1】（2023秋湖北荆州高一校考阶段练习）若，则关于的不等式的解集为 【变式10-2】（2023全国高一专题练习）解下列关于的不等式：().【变式10-3】（2022秋高一单元测试）解关于x的不等式，考点11 解分式不等式与高次不等式【例11】（2023秋河北保定高一校考开学考试）不等式的解集为（ ）A B C D【变式11-1】（2023秋北京石景山高一统考期末）不等式的解集为（ ）A B C D【变式11-2】（2022秋河北张家口高一校考期中）不等式的解集是（ ）A B C D【变式11-3】（2022秋陕西宝鸡高二统考期中）不等式解集为
15、（ ）A或 B或 C或 D或或【变式11-4】（2023全国高一专题练习）不等式的解集为 .考点12 解含绝对值的不等式【例12】（2023秋四川雅安高一校考开学考试）不等式的解集为（ ）A B C D【变式12-1】（2023春浙江杭州高二统考学业考试）不等式的解集是（ ）A或 B或C D【变式12-2】（2023秋江苏南京高一校考阶段练习）不等式的解为 .【变式12-3】（2023上海虹口高三校考模拟预测）不等式的解集为 .【变式12-4】（2023秋福建宁德高一校考开学考试）解不等式：（1）；（2）；考点13 由一元二次不等式的解集求参【例13】（2023春新疆喀什高一校考阶段练习）若不
16、等式的解集为，则实数（ ）A2 B C3 D【变式13-1】（2023高一课时练习）已知不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ）A B C D【变式13-2】（2023全国高一专题练习）关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ）A BC或 D或【变式13-3】（2023江苏高一专题练习）（多选）若关于的不等式的解集为，则的值不可以是（ ）A B C D【变式13-4】（2022秋全国高一期中）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（ ）ABC不等式的解集为D不等式的解集为考点14 一元二次不等式恒成立问题【例14】（2022秋江西南昌高一校考阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取
17、值范围是（ ）A B C D【变式14-1】（2023秋上海静安高三校考开学考试）设不等式对一切都成立，则的取值范围是 .【变式14-2】（2023秋四川雅安高一校考开学考）（多选）当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（ ）A B C D【变式14-3】（2023江苏高一专题练习）不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A B C D【变式14-4】（2023秋全国高一专题练习）已知对一切，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D 过关检测1（2023秋全国高一专题练习）已知，下列选项中正确的是（ ）A B C D2（2023全国高一专题练习）设，则有（ ）A B C
18、D3（2022秋河北高一校联考阶段练习）若，且，则下列不等式中不恒成立的是（ ）A B C D4（2022秋安徽宣城高一校考阶段练习）已知为正实数且，则的最小值为（ ）A B C D35（2022秋高一单元测试）已知正数满足，则的最小值为（ ）A36 B42 C49 D66（2022秋全国高一校联考阶段练习）若，则关于x的不等式的解集是（ ）A B或 C或 D7（2022秋全国高一阶段练习）（多选）下列函数最小值为2的是（ ）A B C D8（2022秋全国高一校联考阶段练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则（ ）ABC不等式的解集为D不等式的解集为9（2023秋高一单元测试）（多选）
19、不等式对任意的恒成立，则（ ）A B C D10（2022秋高一单元测试）不等式的解集为 11（2023全国高一专题练习）已知，则的取值范围为 .12（2022秋湖北武汉高一武钢三中校考阶段练习）已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是 13（2023秋高一单元测试）求解下列不等式的解集：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）.14（2023秋高一单元测试）已知关于的不等式的解集为或（1）求，的值；（2）当，且满足时，有恒成立，求的取值范围15（2022秋高一单元测试）（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；（2）解关于的不等式专题03不等式 知识聚焦考点聚焦知识点1 不等式
20、关系与不等式1、不等式的概念用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫作不等式。2、不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于、高于、超过小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超过符号语言知识点2 等式与不等式的的性质1、等式的性质性质文字表述性质内容注意1对称性可逆2传递性同向3可加、减性可逆4可乘性同向5可除性同向2、不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性abbb，bcac同向3可加性abacbc可逆4可乘性ab，c0acbcab，c0acb，cdacbd同向6正数同向可乘性ab0，cd0a
21、cbd同向7正数乘方性ab0anbn(nN，n2)同正知识点3 基本不等式1、两个不等式重要不等式：,（当且仅当时取号）. 常见变形公式：、基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.常见变形公式： ；【注意】（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.（3）我们称为的算术平均数，称为的几何平均数.因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2、由基本不等式引申出的常用结论（同号）；（异号）；或3、利用基本不等式求最值（1）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等
22、.一正：各项均为正数；二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值；三取等：含变数的各项均相等，取得最值.（2）积定和最小，和定积最大设x,y为正实数，若xys(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为.设x，y为正实数，若xyp(积p为定值),则当x=y时，和xy有最小值,且这个值为2.知识点4 一元二次函数、方程和不等式1、一元二次不等式的相关概念（1）定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.（2）一般形式：ax2bxc0（0），ax2bxc000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(
23、a0)的解集x|xx2Rax2bxc0)的解集x|x1x0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“0”，则找“线”在数轴下方的区间3、含绝对值不等式（1）绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 （3）两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离（4）绝对值不等式：的解集是，如图1的解集是，如图2 或 考点剖析考点1 不等式的性质及判断【例1】（2023秋湖北襄阳高一校考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（ ）A B C D【答案】B【解析】，A错误，B正确；由已
24、知取.对于C：，C错误；对于D：，D错误.故选：B【变式1-1】（2022秋山东枣庄高一校考阶段练习）如果，那么下列不等式中正确的是（ ）A B C D【答案】D【解析】当时，对于A，故A错误；对于B，故B错误；对于C，故C错误；对于D，所以，即，则，故D正确.故选：D.【变式1-2】（2023春云南曲靖高一校考阶段练习）（多选）若，则下列不等式成立的是（ ）A B C D【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故B错误；对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【变式1-3】（2023江苏泰州高一校考阶段练习
25、）（多选）已知，那么下列结论正确的是（ ）A若，则 B若，则C若，则 D若，则【答案】ACD【解析】选项A，故A正确；选项B，取，满足，但，故B错误；选项C，.又，由成立，则，则有，故C正确；选项D，故D正确；故选：ACD.【变式1-4】（2023秋陕西高一校考阶段练习）（多选）已知，则下列不等式中错误的是（ ）A B C D【答案】ABC【解析】在两边同除以负数得，即，与A项矛盾.由，得，与B项矛盾.由，故不一定小于0，故C不正确.由得，又，两式相乘得，两边同除以负数，可得，故D正确.故选：ABC.考点2 求代数式的取值范围【例2】（2023秋湖北襄阳高一宜城市第一中学校考阶段练习）已知，则
26、的取值范围是 【答案】【解析】由，得，而，则.所以的取值范围是.故答案为：【变式2-1】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）已知，则的取值范围是 【答案】【解析】，又，故答案为【变式2-2】（2022秋青海海东高一校考阶段练习）（多选）已知，则的取值可以为（ ）A1 B C3 D4【答案】BC【解析】因为，两式相加可得，所以，故选：BC【变式2-3】（2023秋宁夏银川高一校考阶段练习）已知，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】B【解析】因为，令，则，解得，所以，又，所以，即.故选：B【变式2-4】（2023秋全国高一专题练习）已知实数，满足，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】
27、B【解析】因为，由，所以，由，所以，所以，即的取值范围是.故选：B.考点3 作差法与作商法比大小【例3】（2023秋湖北襄阳高一校考阶段练习）已知，若，则A与B的大小关系是（ ）AAB CAB D不确定【答案】A【解析】，即，因为，所以，又因为，所以，即.故选：A.【变式3-1】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）已知，设，则有（ ）A B C D【答案】B【解析】，因为，所以，故选：B【变式3-2】（2023秋四川南充高一校考阶段练习）设，则 （填“”“”“”或“”）.【答案】【解析】因为，所以，故答案为：【变式3-3】（2023全国高一专题练习）若，则、中最小的是 .【答案】【解析】因为
28、，所以，因为，所以，即故答案为：【变式3-4】（2020高一课时练习）若实数，满足，则（ ）A B C D【答案】A【解析】因为实数，满足，所以，；又，；故选：A考点4 基本不等式成立的条件【例4】（2022秋广东珠海高一校考阶段练习）对于，y取最小值时x的值为 【答案】【解析】因为，所以由均值不等式可得，当且仅当时，即时，取得最小值.故答案为：.【变式4-1】（2023全国高一专题练习）若，则当且仅当 时取等号【答案】【解析】因为，所以，所以，即，当且仅当，即时，等号成立，故答案为：【变式4-2】（2023全国高一专题练习）不等式中等号成立的条件是 【答案】【解析】由题知，所以，所以，当且仅当，即时，取等号，所以等号成立的条件是，故答案为：【变式4-3】（2023全国高一专题练习）下列不等式中等号可以取到的是（ ）A B C D【答案】C【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C.【变式4-4】（2023秋广东广州高一校考期末）（多选）下列命题中正确的是（ ）A时，的最小值是2B存在实数，使
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