1、东北育才学校高中部2017届高三适应性考试数学（理科）试卷本试卷共4页,22、23题(含选考题)考试时间120分钟 满分150分必考部分一.选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合A=x|1x0，则AB=x|1x0=x|x1=(1,+)，故选：A. 2. 已知复数在复平面内对应点是，若虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】z=1+2i,则= = =i+1，故选：D.3. 已知向量与为单位向量，满足，则向量与的夹角为A. B. C. D. 【答案】C【解析】设向量与的
2、夹角为,由余弦定理可得：cos=，=120，故选C.4. 若函数是奇函数，函数是偶函数，则A. 函数是奇函数 B. 函数是奇函数C. 函数是奇函数 D. 是奇函数【答案】B【解析】函数f（x）（xR）是奇函数，函数g（x）（xR）是偶函数，f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），f（-x）-g（-x）=-f（x）-g（x）f（x）-g（x），且f（-x）-g（-x）-f（x）-g（x），故f（x）-g（x）是非奇非偶函数，故排除A根据f（-x）g（-x）=-f（x）g（x），故f（x）g（x）是奇函数，故B正确根据fg（-x）=fg（x），故fg（x）是偶函数，故C错误根据gf（-x）=
3、g-f（x）=gf（x），故gf（x）为偶函数，故D错误，故选：B5. 定义：，如，则A. 0 B. C. 3 D. 6【答案】A【解析】 ,故选A.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是 A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据三视图可知几何体是组合体：上面是半个圆锥、下面是半个圆柱，且圆锥的底面圆的半径r=2、高是2，圆柱的底面圆的半径r=2、高是1，所以此几何体的体积V=42+41=，故答案为：.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能
4、看到的部分用虚线表示(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合(3)由几何体的三视图还原几何体的形状要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图7. 九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意
5、可知：直角三角向斜边长为17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为，故落在圆外的概率为8. 已知数列满足是首项为1,公比为的等比数列,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】数列满足是首项为1,公比为的等比数列，=2n1，an=a1=121222n1=，.a101=25050.故选：C.9. 若实数满足：，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】B【解析】x，y满足|x|y1，表示的可行域如图： =(x+1)2+y21它的几何意义是可行域内的点到(1,0)的距离的平方减去1.显然D(1,0)到直线x+y=0的距离最小，最小值为：=，所求表达式的最小值为： 1=，故选：B.
6、点睛：利用线性规划求最值的步骤在平面直角坐标系内作出可行域；考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒.经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足 .则下列叙述错误的是 A. B. 当时，点到轴的距离的最大值为6C. 当时，函数单调递减D. 当时，【答案】C【解析】由点可得，由旋转一周用时60秒，可得，由
7、，可得，所以选项A正确则可得由可得，则当，即时，取到最大值为6，所以选项B正确由可得，函数先增后减，所以选项C错误时，点，可得，所以选项D正确因此选C.11. 已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点满足,则双曲线的渐近线的斜率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】由OP为F1PF2的中线，可得：+ =2，由3| + |2| |，可得6| |2| |，由| |a,| |=2c，可得6a4c，即为9a24c2，由c2=a2+b2，可得5a24b2，可得.故选：D.12. 已知函数 ，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线A. 有条 B. 有条 C. 有条 D. 有条【答案
8、】A【解析】函数f(x)=的导数为f(x)=1，a0.易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l的斜率为11a,切点为(0,1)，可得切线的方程为y=(1)x1.假设l与曲线y=ex相切,设切点为(x0,y0)，即有ex0=1=(1)x01，消去a得ex0=ex0x01,设h(x)=exxex1，则h(x)=exx,令h(x)0，则x0，所以h(x)在(,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增，当x,h(x)1,x+,h(x)+，所以h(x)在(0,+)有唯一解,则ex01，而a0时,11a1矛盾，所以不存在。故选：A.点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略已知切点求切线方程解决此类问
9、题的步骤为：求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；由点斜式求得切线方程为已知斜率求切点已知斜率，求切点，即解方程.求切线倾斜角的取值范围先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决二填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 的展开式中各项系数和为，则展开式中项的系数为_【答案】【解析】的展开式中各项系数和为,令x=1，则=64，解得：n=6则展开式中项的系数为=-18.点睛：二项式定理问题主要包含两方面：一方面是展开式项的问题，只要抓住通项公式就可以了，另一方面是系数和的问题，主要解题策略是赋值法.14. 有一些正整数排成的倒三角，从第二行起，每个数
10、字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数，那么_. 1 2 3 4 . 8 9 10 3 5 7 . 17 19 8 12 . 36 20 . M【答案】2816【解析】若第一行为1,2,则M=3=(2+1)222；若第一行为1,2,3,则M=8=(3+1)232；若第一行为1,2,3,4,则M=20=(4+1)242；归纳可得：若第一行为1,2,3,4,n,则M=(n+1)2n2.当n=10时,“金字数”M=1128=2816故答案为：281615. 下左图是计算某年级500名学生期末考试（满分为100分）及格率的程序框图，则图中空白框内应填入_【答案】【解析】此框图是用来计算及格率的，M为
11、及格人数，N为不及格人数，所以空白框中应填入.16. 如图，在正方体中，棱长为1 ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的_ 当时，平面； 当时，平面； 的最大值为； 的最小值为.【答案】【解析】对于,连结AB1,B1D1,AD1,则VAA1B1D1=1=，SAB1D1=sin60=,A1C=，设A1到平面AB1D1的距离为h,则h=,解得h=，h=A1C.当时,P为A1C与平面AB1D1的交点。平面AB1D1平面BDC1，D1P平面AB1D1,D1P平面BDC1，故正确；对于,由可知P平面AB1D1，A1C平面AB1D1,A1C平面D1AP，故正确；对于,由可知当时,P为等边AB
12、1D1的中心，APD1=120，故错误；对于,连结AC,D1C,则RtA1ACRtA1D1C,AP=D1P，AP的最小值为 =，AP+PD1的最小值为.故正确。故答案为：。三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 在中，角所对的边分别是，.（）求角；（）若的中线的长为，求的面积的最大值.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化简题目所给方程，利用余弦定理转化为，由此求得角的值.（2）利用三角形中线长定理和余弦定理列方程组，化简后利用基本不等式求得的取值范围，由此求得面积的取值范围.试题解析： (1)，即.(2) 由三角形中线长定理得：，由三角形余弦定
13、理得：，消去得:（当且仅当时，等号成立），即.18. 如图，已知菱形所在的平面与所在的平面相互垂直， .（）求证：平面；（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析;(2) .【解析】试题分析：（1）取中点，连结，易得，根据面面垂直的性质定理可知平面，即，又因为,所以平面.（2）以为坐标原点联立空间直角坐标系，利用平面与平面的法向量求解两个平面所成锐二面角的余弦值.试题解析： (1)取中点，连结，由已知易得是正三角形，所以，又因为平面平面，所以平面，即，又因为,所以平面.(2) 如图建立空间直角坐标系：则，取中点，易得平面的法向量是，设面的法向量是，则由，得，即，则令，得，所
14、以平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值是.19. 某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：甲乙8998993899201042111010（）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；（）若将频率视作概率，回答以下问题：（）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一
15、家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由【答案】(1) ;(2)详见解析;(3)详见解析.【解析】试题分析：（）利用古典概型求这两天的销售量都大于40的概率；（）（）依据题意求离散型随机变量的分布列和数学期望；（）利用统计学知识为商场作处选择.试题解析：（）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，则 （）（）设乙产品的日销售量为a，则当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；的所有可能取值为：152,156,160,166,172，的分布列为152156160166172 （）依题意，甲厂家的日平均销售量为：， 甲厂家的日平均返利额为：元， 由（
16、）得乙厂家的日平均返利额为162元（149元），推荐该商场选择乙厂家长期销售20. 如图，抛物线的准线为，取过焦点且平行于轴的直线与抛物线交于不同的两点，过作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且（）求抛物线和圆的方程；（）过点作直线与抛物线和圆依次交于，求的最小值【答案】(1) ,;(2)16.【解析】试题分析：（1）通过平面几何性质及圆锥曲线定义求轨迹方程；（2）借助勾股定理及弦长公式表示目标，然后利用二次函数求最值.试题解析：（） 因为抛物线的准线为;所以解得，所以抛物线的方程为 当时，由得：，不妨设在左侧，则， 由题意设圆的方程为：，由且知：， 是等腰直角三角形且， ，则，圆的方程为
17、： （）由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为: ，圆心到直线的距离为: ， 由得：， 设,由抛物线定义有: ， ， 设，则: 且，当即时, 的最小值为.21. 已知函数.（）若有唯一解，求实数的值；（）证明：当时，.（附：，）【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】试题分析：(）使有唯一解,只需满足,且的解唯一，求导研究函数，注意分类讨论利用极值求函数最大值；（）只需证即证，构造函数，利用单调性，极值求其最小值，证明其大于零即可试题解析：()函数的定义域为要使有唯一解,只需满足,且的解唯一,当时,故在上单调递增,且,所以的解集为,不符合题意；当，且时，单调递增；当时，单调递减，所以有唯一的
18、一个最大值为,令，则,当时，,故单调递减；当时，故单调递增，所以，故令,解得，此时有唯一的一个最大值为，且，故的解集是，符合题意；综上，可得（）要证当时，即证当时，,即证由（）得，当时，,即，又，从而,故只需证，当时成立；令，则,令，则，令，得因为单调递增，所以当时，单调递减，即单调递减，当时，单调递增，即单调递增，且,由零点存在定理，可知，使得，故当或时，单调递增；当时，单调递减，所以的最小值是或由，得，,因为，所以,故当时，所以,原不等式成立点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三
19、问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会选考部分22. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线的方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线的极坐标方程为.（）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（）若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.【答案】(1) , ;(2) .【解析】试题分析：（1）根据 将曲线的极坐标方程化为
20、直角坐标方程，将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程（2）先根据题意得射线的极坐标方程为，再代入的极坐标方程得，根据，令得，最后根据求.试题解析：解：（）曲线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为 （）曲线是圆心为半径为2的圆，射线的极坐标方程为代入，可得又，23. 选修4-5：不等式选讲 已知函数，（）若,求不等式的解集；（）若方程有三个不同的解，求的取值范围.【答案】(1) ;(2) .【解析】试题分析：（1）利用零点分段法解绝对值不等式；（2）利用图象法推断的取值范围.试题解析：（）当时，不等式可化为：， 或或， 解得：或， 不等式的解集为 （）由得：，令，则：， 作出函数的图象如图示，易知，结合图象知：当时，函数与的图象有三个不同交点，即方程有三个不同的解 , 的取值范围为 点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向17
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