1、第 23 页 共 23 页选修45不等式选讲第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点：1.绝对值不等式的解法；2.绝对值三角不等式.突破点(一)绝对值不等式的解法基础联通 抓主干知识的“源”与“流” (1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法：|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数，利用函数的图象求解考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”绝对值不等式的解法典例解下列不等式：(1)|2x
2、1|2|x1|0.(2)|x3|2x1|2|x1|，两边平方得4x24x14(x22x1)，解得x，所以原不等式的解集为.法二：原不等式等价于或或解得x，所以原不等式的解集为.(2)当x3时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式化为(x3)(12x)2，x2.综上可知，原不等式的解集为.绝对值不等式的常用解法方法技巧(1)基本性质法：对aR，|x|aaxaxa.(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的
3、不含绝对值符号的不等式(组)求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1求不等式|x1|x5|2的解集解：不等式|x1|x5|2等价于或或即或或故原不等式的解集为x|x1x|1x4x|x42解不等式x|2x3|2.解：原不等式可化为或解得x5或x.所以原不等式的解集是.3已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集解：(1)证明：f(x)|x2|x5|当2x5时，32x73，所以3f(x)3.(2)由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15即为x28x180，解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15即为x210x220，解集为x|5x0
4、.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解：(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式可化为或即或结合a0，解得x，即不等式f(x)0的解集为.不等式f(x)0的解集为x|x1，1，故a2.突破点(二)绝对值三角不等式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 绝对值三角不等式定理(1)定理1：如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(a
5、b)(bc)0时，等号成立考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 证明绝对值不等式例1已知x，yR，且|xy|，|xy|，求证：|x5y|1.证明|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质，得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.方法技巧证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明绝对值不等式的恒成立问题例2设函数f(x)x|xa|.(1)当a2 017时，求函数f(x)的值域；(2)
6、若g(x)|x1|，求不等式g(x)2xf(x)恒成立时a的取值范围解(1)由题意得，当a2 017时，f(x)因为f(x)在2 017，)上单调递增，所以函数f(x)的值域为2 017，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2xf(x)恒成立，知|x1|xa|2恒成立，即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|2，解得a1或a0)(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|xa|a2.当且仅当a1时等号成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5得a3.综
7、上，a的取值范围是.2考点二(2017保定模拟)设函数f(x)|x1|xa|(aR)(1)当a4时， 求不等式f(x)5的解集；(2)若f(x)4对xR恒成立，求a的取值范围解：(1)当a4时， 不等式即为|x1|x4|5，等价于或或解得x0或x5，故不等式f(x)5的解集为x|x0或x5(2)因为f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|，所以f(x)min|a1|，故|a1|4，解得a3或a5.故a的取值范围为(，35，)3考点一已知函数f(x)ax2xa的定义域为1,1(1)若f(0)f(1)，解不等式|f(x)1|ax；(2)若|a|1，求证：|f(x)|.解：(1)f(0)f(1
8、)，即aa1a，则a1，所以f(x)x2x1，所以不等式化为|x2x|x，当1x0时，不等式化为x2xx，解得x0；当0x1时，不等式化为x2xx，解得0x.综上，原不等式的解集为.(2)证明：由已知x1,1, 所以|x|1，又|a|1，则|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.4考点一(2017开封模拟)设函数f(x)|xa|，a0.(1)证明：f(x)f2；(2)若不等式f(x)f(2x)的解集非空，求a的取值范围解：(1)证明：函数f(x)|xa|，a0，则f(x)f|xa|xa|x|22(当且仅当|x|1时取等号)(2)f(x)f(2x)|xa|2
9、xa|，a0.当xa时，f(x)f(2x)axa2x2a3x，则f(x)f(2x)a；当ax 时， f(x)f(2x)xaa2xx，则f(x)f(2x)a；当x时，f(x)f(2x)xa2xa3x2a，则f(x)f(2x)，则f(x)f(2x)的值域为，不等式f(x)f(2x)，解得，a1，由于a1的解集解：(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为.2(2016全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的
10、解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解：(1)当a2时，f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时，f(x)g(x)|2xa|a|12x|3，即.又min，所以，解得a2.所以a的取值范围是2，)3(2015新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的
11、解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)4(2013新课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围解：(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y6的解集；(2)若不等式f(x)10对任意实数x恒成
12、立，求m的取值范围解：(1)当m3时，f(x)6，即|x3|5x|6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集解得x5；或解得4x6的解集为x|x4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|，由题意得|m5|10，则10m510，解得15m5，故m的取值范围为15,52(2017郑州模拟)设函数f(x)|x2|x1|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解，求实数m的取值范围解：(1)函数f(x)可化为f(x)当x2时，f(x)30，不合题意；当2x1，得x0，即0x1，即x1.综上，不等式f(x)1的解集为(0，)(2)关于x的不等式f(x)
13、4|12m|有解等价于(f(x)4)max|12m|，由(1)可知f(x)max3(也可由|f(x)|x2|x1|(x2)(x1)|3，得f(x)max3)，即|12m|7，解得3m4.故实数m的取值范围为3,43(2017长春模拟)已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1；(2)当x0时，函数g(x)(a0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围解：(1)当x2时，原不等式可化为x2x11，解集是.当1x2时，原不等式可化为2xx11，即1x0；当x1，即x1.综上，原不等式的解集是x|x0时，f(x)所以f(x)3,1)，所以211，即a1，故实数a的取值范围是1，
14、)4设函数f(x)|kx1|(kR)(1)若不等式f(x)2的解集为，求k的值；(2)若f(1)f(2)5，求k的取值范围解：(1)由|kx1|2，得2kx12，即1kx3，所以x1，由已知，得1，所以k3.(2)由已知，得|k1|2k1|5.当k时，(k1)(2k1)1，此时1k；当k1时，(k1)(2k1)5，得k5，此时1时，(k1)(2k1)5，得k，此时1k.综上，k的取值范围是.5已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式：|g(x)|5; (2)若对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围解：(1)由|x1|2|5，得
15、5|x1|25，所以7|x1|3，解不等式得2x4，所以原不等式的解集是x|2x0；(2)若f(x)3|x4|a1|对一切实数x均成立，求a的取值范围解：(1)原不等式即为|2x1|x4|0，当x4时，不等式化为12xx40，解得x5，即不等式组的解集是.当4x0，解得x0，解得x5，即不等式组的解集是.综上，原不等式的解集为.(2)f(x)3|x4|2x1|2|x4|12x|2x8|(12x)(2x8)|9.由题意可知|a1|9，解得8a10，故a的取值范围是.7已知函数f(x)|2xa|a(其中a为常数)(1)若集合x|4x3是关于x的不等式f(x)6的解集的子集，求实数a的取值范围；(2
16、)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)mf(n)成立，求实数m的取值范围解：(1)由|2xa|a6得|2xa|6a，a62xa6a，即a3x3，a34，a1.即实数a的取值范围为(，1(2)由题可知，只需mf(n)f(n)min即可令(n)f(n)f(n)，在(1)的条件下a1，则(n)|2na|2na|2a|(2na)(2na)|2a|2a|2a0，当且仅当(2na)(2na)0，即ana时取等号(n)的最小值为0，故实数m的取值范围是0，)8已知函数f(x)|3x2|.(1)解不等式f(x)0)，若|xa|f(x)(a0)恒成立，求实数a的取值范围解：(1)不等式f(x)4|x1|，即
17、|3x2|x1|4.当x时，即3x2x14，解得x；当x1时，即3x2x14，解得x1时，即3x2x14，无解综上所述，原不等式的解集为.(2)(mn)114，当且仅当mn时等号成立令g(x)|xa|f(x)|xa|3x2|x时，g(x)maxa，要使不等式恒成立，只需g(x)maxa4，即00且互不相等，abc1.试证明：.证明因为a，b，c0，且互不相等，abc1，所以 ，即.方法技巧综合法证明时常用的不等式(1)a20.(2)|a|0.(3)a2b22ab，它的变形形式有：a2b22|ab|；a2b22ab；(ab)24ab；a2b2(ab)2；2.(4)，它的变形形式有：a2(a0)；
18、2(ab0)；2(ab0，且abbcca1.求证：(1)abc ；(2) ()证明(1)要证abc ，由于a，b，c0，因此只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故只需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而这可以由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)证得所以原不等式成立(2) .在(1)中已证abc .因此要证原不等式成立，只需证明 ，即证abc1，即证abcabbcca.而a，b，c.所以abcabbcca(当且仅当abc时等号成立)所以原不等式成立方法技巧分析法的应用当所证明的不等
19、式不能使用比较法，且和重要不等式(a2b22ab)、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1考点三已知abc，且abc0，求证：a.证明：要证a，只需证b2ac3a2.abc0，cab，只需证b2a(ab)0，只需证(ab)(2ab)0，只需证(ab)(ac)0.abc，ab0，ac0.(ab)(ac)0显然成立，故原不等式成立2考点一已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)
20、(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.3考点二已知a，b，c，d均为正数，且adbc.(1)证明：若adbc，则|ad|bc|；(2)t，求实数t的取值范围解：(1)证明：由adbc，且a，b，c，d均为正数，得(ad)2(bc)2，又adbc，所以(ad)2(bc)2，即|ad|bc|.(2)因为(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2，所以tt(acbd)由于ac，bd，又已知t，则t(acbd)(acbd)，故t，当且仅当ac，bd时取等号全国卷5年
21、真题集中演练明规律 1(2016全国甲卷)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.解：(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2恒成立；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|cd，则；(2)是|ab|cd，得()2()2.因此.(2)必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)，得.充分性：若
22、，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要条件3(2014新课标全国卷)若a0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由解：(1)由，得ab2，当且仅当ab时等号成立故a3b324，当且仅当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.4(2013新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1) abbcac；(2) 1.证明：(1)由a2b22ab，b2c2
23、2bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca，当且仅当abc时取等号由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，当且仅当abc时取等号所以1.课时达标检测 基础送分题高考就考那几点，练通就能把分捡 1已知函数f(x)|x3|x1|，其最小值为t.(1)求t的值；(2)若正实数a，b满足abt，求证：.解：(1)因为|x3|x1|x3|1x|x31x|4，所以f(x)min4，即t4.(2)证明：由(1)得ab4，故1，121，当且仅当b2a，即a，b时取等号，故
24、.2设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由解：(1)证明：记f(x)|x1|x2|由22x10解得x，则M.所以|a|b|.(2)由(1)得a2，b20.所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.3(2017广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)|xm|x|，mN*，存在实数x使f(x)2成立(1)求实数m的值；(2)若，1，f()f()4，求证：3.解：(1)因为|xm|x|(xm)x|m|.要使不等式|xm|x|2有解，则|m|2，解得2ma2bab2；(2)已知a，b，c都是正数，求证：abc.证
25、明：(1)(a3b3)(a2bab2)(ab)(ab)2.因为a，b都是正数，所以ab0.又因为ab，所以(ab)20.于是(ab)(ab)20，即(a3b3)(a2bab2)0，所以a3b3a2bab2.(2)因为b2c22bc，a20，所以a2(b2c2)2a2bc.同理，b2(a2c2)2ab2c.c2(a2b2)2abc2.相加得2(a2b2b2c2c2a2)2a2bc2ab2c2abc2，从而a2b2b2c2c2a2abc(abc)由a，b，c都是正数，得abc0，因此abc(当且仅当abc时取等号)5已知x，yR，且|x|1，|y|1.求证：.证明：1|xy|，原不等式成立6(20
26、17长沙模拟)设，均为实数(1)证明：|cos()|cos |sin |，|sin()|cos |cos |；(2)若0，证明：|cos |cos |cos |1.证明：(1)|cos()|cos cos sin sin |cos cos |sin sin |cos |sin |；|sin()|sin cos cos sin |sin cos |cos sin |cos |cos |.(2)由(1)知，|cos()|cos |sin()|cos |cos |cos |，而0，故|cos |cos |cos |cos 01.7(2017重庆模拟)设a，b，cR且abc1.求证：(1)2abbcc
27、a；(2)2.证明：(1)因为1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，当且仅当ab时等号成立，所以2abbcca(4ab2bc2cac2).(2)因为，当且仅当abc时等号成立所以abc2a2b2c2，当且仅当abc时等号成立8(2017贵阳模拟)已知函数f(x)2|x1|x2|.(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足abcm，求证：3.解：(1)当x1时，f(x)2(x1)(x2)3x(3，)；当1x2时，f(x)2(x1)(x2)x43,6)；当x2时，f(x)2(x1)(x2)3x6，)综上，f(x)的最小值m3.(2)证明：a，b，c均为正实数，且满足abc3，因为(abc)22(abc)(当且仅当abc1时，取等号)所以abc，即3.
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