选修4-5 不等式选讲.doc
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1、第 23 页 共 23 页选修45不等式选讲第一节绝对值不等式本节主要包括2个知识点:1.绝对值不等式的解法;2.绝对值三角不等式.突破点(一)绝对值不等式的解法基础联通 抓主干知识的“源”与“流” (1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|aR(2)|axb|c,|axb|c(c0)型不等式的解法:|axb|ccaxbc;|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c,|xa|xb|c(c0)型不等式的解法:利用绝对值不等式的几何意义求解利用零点分段法求解构造函数,利用函数的图象求解考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”绝对值不等式的解法典例解下列不等式:(1)|2x
2、1|2|x1|0.(2)|x3|2x1|2|x1|,两边平方得4x24x14(x22x1),解得x,所以原不等式的解集为.法二:原不等式等价于或或解得x,所以原不等式的解集为.(2)当x3时,原不等式化为(x3)(12x)1,解得x10,x3.当3x时,原不等式化为(x3)(12x)1,解得x,3x.当x时,原不等式化为(x3)(12x)2,x2.综上可知,原不等式的解集为.绝对值不等式的常用解法方法技巧(1)基本性质法:对aR,|x|aaxaxa.(2)平方法:两边平方去掉绝对值符号(3)零点分区间法:含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的
3、不含绝对值符号的不等式(组)求解能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1求不等式|x1|x5|2的解集解:不等式|x1|x5|2等价于或或即或或故原不等式的解集为x|x1x|1x4x|x42解不等式x|2x3|2.解:原不等式可化为或解得x5或x.所以原不等式的解集是.3已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明:3f(x)3;(2)求不等式f(x)x28x15的解集解:(1)证明:f(x)|x2|x5|当2x5时,32x73,所以3f(x)3.(2)由(1)可知,当x2时,f(x)x28x15即为x28x180,解集为空集;当2x5时,f(x)x28x15即为x210x220,解集为x|5x0
4、.(1)当a1时,求不等式f(x)3x2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1,求a的值解:(1)当a1时,f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式可化为或即或结合a0,解得x,即不等式f(x)0的解集为.不等式f(x)0的解集为x|x1,1,故a2.突破点(二)绝对值三角不等式基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 绝对值三角不等式定理(1)定理1:如果a,b是实数,则|ab|a|b|,当且仅当ab0时,等号成立(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|ac|ab|bc|,当且仅当(a
5、b)(bc)0时,等号成立考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 证明绝对值不等式例1已知x,yR,且|xy|,|xy|,求证:|x5y|1.证明|x5y|3(xy)2(xy)|.由绝对值不等式的性质,得|x5y|3(xy)2(xy)|3(xy)|2(xy)|3|xy|2|xy|321.即|x5y|1.方法技巧证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为普通不等式再证明(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|进行证明(3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明绝对值不等式的恒成立问题例2设函数f(x)x|xa|.(1)当a2 017时,求函数f(x)的值域;(2)
6、若g(x)|x1|,求不等式g(x)2xf(x)恒成立时a的取值范围解(1)由题意得,当a2 017时,f(x)因为f(x)在2 017,)上单调递增,所以函数f(x)的值域为2 017,)(2)由g(x)|x1|,不等式g(x)2xf(x)恒成立,知|x1|xa|2恒成立,即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|,所以|1a|2,解得a1或a0)(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)|xa|a2.当且仅当a1时等号成立所以f(x)2.(2)f(3)|3a|.当a3时,f(3)a,由f(3)5得3a.当0a3时,f(3)6a,由f(3)5得a3.综
7、上,a的取值范围是.2考点二(2017保定模拟)设函数f(x)|x1|xa|(aR)(1)当a4时, 求不等式f(x)5的解集;(2)若f(x)4对xR恒成立,求a的取值范围解:(1)当a4时, 不等式即为|x1|x4|5,等价于或或解得x0或x5,故不等式f(x)5的解集为x|x0或x5(2)因为f(x)|x1|xa|(x1)(xa)|a1|,所以f(x)min|a1|,故|a1|4,解得a3或a5.故a的取值范围为(,35,)3考点一已知函数f(x)ax2xa的定义域为1,1(1)若f(0)f(1),解不等式|f(x)1|ax;(2)若|a|1,求证:|f(x)|.解:(1)f(0)f(1
8、),即aa1a,则a1,所以f(x)x2x1,所以不等式化为|x2x|x,当1x0时,不等式化为x2xx,解得x0;当0x1时,不等式化为x2xx,解得0x.综上,原不等式的解集为.(2)证明:由已知x1,1, 所以|x|1,又|a|1,则|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.4考点一(2017开封模拟)设函数f(x)|xa|,a0.(1)证明:f(x)f2;(2)若不等式f(x)f(2x)的解集非空,求a的取值范围解:(1)证明:函数f(x)|xa|,a0,则f(x)f|xa|xa|x|22(当且仅当|x|1时取等号)(2)f(x)f(2x)|xa|2
9、xa|,a0.当xa时,f(x)f(2x)axa2x2a3x,则f(x)f(2x)a;当ax 时, f(x)f(2x)xaa2xx,则f(x)f(2x)a;当x时,f(x)f(2x)xa2xa3x2a,则f(x)f(2x),则f(x)f(2x)的值域为,不等式f(x)f(2x),解得,a1,由于a1的解集解:(1)由题意得f(x)故yf(x)的图象如图所示(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,当f(x)1时,可得x1或x3;当f(x)1时,可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3,f(x)1的解集为.2(2016全国丙卷)已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时,求不等式f(x)6的
10、解集;(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时,f(x)g(x)3,求a的取值范围解:(1)当a2时,f(x)|2x2|2.解不等式|2x2|26得1x3.因此f(x)6的解集为x|1x3(2)当xR时,f(x)g(x)|2xa|a|12x|3,即.又min,所以,解得a2.所以a的取值范围是2,)3(2015新课标全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|,a0.(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围解:(1)当a1时,f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时,不等式化为x40,无解;当1x0,解得x0,解得1x1的
11、解集为.(2)由题设可得f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a1,0),C(a,a1),ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,)4(2013新课标全国卷)已知函数f(x)|2x1|2xa|,g(x)x3.(1)当a2时,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)设a1,且当x时,f(x)g(x),求a的取值范围解:(1)当a2时,不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3,则y其图象如图所示由图象可知,当且仅当x(0,2)时,y6的解集;(2)若不等式f(x)10对任意实数x恒成
12、立,求m的取值范围解:(1)当m3时,f(x)6,即|x3|5x|6,不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集解得x5;或解得4x6的解集为x|x4(2)f(x)|xm|5x|(xm)(5x)|m5|,由题意得|m5|10,则10m510,解得15m5,故m的取值范围为15,52(2017郑州模拟)设函数f(x)|x2|x1|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若关于x的不等式f(x)4|12m|有解,求实数m的取值范围解:(1)函数f(x)可化为f(x)当x2时,f(x)30,不合题意;当2x1,得x0,即0x1,即x1.综上,不等式f(x)1的解集为(0,)(2)关于x的不等式f(x)
13、4|12m|有解等价于(f(x)4)max|12m|,由(1)可知f(x)max3(也可由|f(x)|x2|x1|(x2)(x1)|3,得f(x)max3),即|12m|7,解得3m4.故实数m的取值范围为3,43(2017长春模拟)已知函数f(x)|x2|x1|.(1)解不等式f(x)1;(2)当x0时,函数g(x)(a0)的最小值大于函数f(x),试求实数a的取值范围解:(1)当x2时,原不等式可化为x2x11,解集是.当1x2时,原不等式可化为2xx11,即1x0;当x1,即x1.综上,原不等式的解集是x|x0时,f(x)所以f(x)3,1),所以211,即a1,故实数a的取值范围是1,
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