1、课时达标检测(五十) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1已知椭圆E:1(ab0)的一个焦点为F2(1,0),且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点Q(2,0),过点F2作直线l与椭圆E交于A,B两点,且,2,1,以QA,QB为邻边作平行四边形QACB,求对角线QC长度的最小值解:(1)由题易知c1,1,又a2b2c2,解得b21,a22,故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l:xky1,由得(k22)y22ky10,4k24(k22)8(k21)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得y1y2,y1y2.(x1x24,y1y2),|2|216,由此可知
2、,|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2,(y1y20)从而,由2,1得,从而2,解得0k2.令t,则t,|28t228t1682,当t时,|QC|min2.2.已知点F为抛物线E:y22px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切解:(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3,即23,解得p2,所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y24x上,所以m2.由抛
3、物线的对称性,不妨设A(2,2)由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,从而B.又G(1,0),故直线GA的方程为2x3y20,从而r .又直线GB的方程为2x3y20,所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切3(2017合肥模拟)已知中心在原点,焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F1,F2的距离之和为4,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线ykx1与曲线C交于A,B两点,求OAB面积的取值范围解:(1)设椭圆的标准方程为1(ab0),由条件知,解得a2,c,b1,故椭圆C的方程为
4、x21.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k24)x22kx30,故x1x2,x1x2,设OAB的面积为S,由x1x20,yt在t3,)上单调递增,t,0,0b0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,设|FA|FB|,T(2,0)(1)求椭圆C的方程;(2)若12,求ABT中AB边上中线长的取值范围解:(1)e ,c1,a,b1,即椭圆C的方程为:y21.(2)当直线的斜率为0时,显然不成立设直线l:xmy1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(m22)y22my10,则y1y2,y1y2,由|FA|FB|,得y1y2,2,m2,又AB边上的中线长
5、为 | | .2如图所示,已知直线l过点M(4,0)且与抛物线y22px(p0)交于A,B两点,以弦AB为直径的圆恒过坐标原点O.(1)求抛物线的标准方程;(2)设Q是直线x4上任意一点,求证:直线QA,QM,QB的斜率依次成等差数列解:(1)设直线l的方程为xky4,代入y22px得y22kpy8p0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1y22kp,y1y28p,而AB为直径,O为圆上一点,所以0,故0x1x2y1y2(ky14)(ky24)8pk2y1y24k(y1y2)168p,即08k2p8k2p168p,得p2,所以抛物线方程为y24x.(2)设Q(4,t)由(1)知y1y
6、24k,y1y216,所以yy(y1y2)22y1y216k232.因为kQA,kQB,kQM,所以kQAkQB442kQM.所以直线QA,QM,QB的斜率依次成等差数列三、冲刺满分题1.已知椭圆C:1(0b1),则12(当且仅当t2时取等号),所以的最大值为.2(2017沈阳质量监测)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|6,直线ykx与椭圆交于A,B两点(1)若AF1F2的周长为16,求椭圆的标准方程;(2)若k,且A,B,F1,F2四点共圆,求椭圆离心率e的值;(3)在(2)的条件下,设P(x0,y0)为椭圆上一点,且直线PA的斜率k1(2,1),试求直线PB的
7、斜率k2的取值范围解:(1)由题意得c3,根据2a2c16,得a5.结合a2b2c2,解得a225,b216.所以椭圆的方程为1.(2)法一:由得x2a2b20.设A(x1,y1),B(x2,y2)所以x1x20,x1x2,由AB,F1F2互相平分且共圆,易知,AF2BF2,因为(x13,y1),(x23,y2),所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28,所以有8,结合b29a2,解得a212(a26舍去),所以离心率e.(若设A(x1,y1),B(x1,y1)相应给分)法二:设A(x1,y1),又AB,F1F2互相平分且共圆,所以AB,F1F2是圆的直径,所以xy9,又由椭圆及直线方程综合可得:由前两个方程解得x8,y1,将其代入第三个方程并结合b2a2c2a29,解得a212,故e.(3)由(2)的结论知,椭圆方程为1,由题可设A(x1,y1),B(x1,y1),k1,k2,所以k1k2,又,即k2,由2k11可知,k2.即直线PB的斜率k2的取值范围是.