课时达标检测50 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题.doc
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1、课时达标检测(五十) 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1已知椭圆E:1(ab0)的一个焦点为F2(1,0),且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设点Q(2,0),过点F2作直线l与椭圆E交于A,B两点,且,2,1,以QA,QB为邻边作平行四边形QACB,求对角线QC长度的最小值解:(1)由题易知c1,1,又a2b2c2,解得b21,a22,故椭圆E的标准方程为y21.(2)设直线l:xky1,由得(k22)y22ky10,4k24(k22)8(k21)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则可得y1y2,y1y2.(x1x24,y1y2),|2|216,由此可知
2、,|2的大小与k2的取值有关由可得y1y2,(y1y20)从而,由2,1得,从而2,解得0k2.令t,则t,|28t228t1682,当t时,|QC|min2.2.已知点F为抛物线E:y22px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切解:(1)由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3,即23,解得p2,所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明:设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y24x上,所以m2.由抛
3、物线的对称性,不妨设A(2,2)由A(2,2),F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20,解得x2或x,从而B.又G(1,0),故直线GA的方程为2x3y20,从而r .又直线GB的方程为2x3y20,所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切3(2017合肥模拟)已知中心在原点,焦点在y轴上的椭圆C,其上一点P到两个焦点F1,F2的距离之和为4,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线ykx1与曲线C交于A,B两点,求OAB面积的取值范围解:(1)设椭圆的标准方程为1(ab0),由条件知,解得a2,c,b1,故椭圆C的方程为
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