1、平面教学设计 教材分析平面是最基本的几何概念，教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例，对它只是加以描述而不定义立体几何中的平面又不同于上面的例子，是上面例子的抽象和概括，它的特征是无限延展性为了更准确地理解平面，教材重点介绍了平面的基本性质，即教科书中的三个公理，这也是本节的重点另外，本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译，特别注意图形语言与符号语言的转换 教学目标1正确理解平面的几何概念，掌握平面的基本性质2熟练掌握三种数学语言的转换与翻译，结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题3通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美，培养学生学习数学的兴趣 教学重难点三种数学语言的转换与翻译，利用
2、三个公理证明共点、共线、共面问题 教学过程导入新课思路1（情境导入）大家都看过电视剧西游记吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面思路2（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？图1长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等空间中的点
3、、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题新知探究提出问题怎样理解平面这一最基本的几何概念？平面的画法与表示方法如何？如何描述点与直线、平面的位置关系?直线与平面有一个公共点直线是否在平面内?直线与平面全少有几个公共点才能判断直线在平面内?根据自己的生活经验几个点能确定一个平面?如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位开关系如何?请画图表示；描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言?自己总结三个公理的有关内容活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路对有困难的学生可提示如下：回忆我们学过的最基本的概
4、念（原始概念），如点、直线、集合等我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外确定一条直线需要几个点？引导学生观察教室的门由几个点确定两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性文字语言、图形语言、符号语言平面的基本性质小结讨论结果：平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌（吴承恩的立体几何一定不错）我们的桌面看起来像平行四边形，因
5、此平面通常画成平行四边形，如图2，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面平行四边形的锐角通常画成45，且横边长等于其邻边长的2倍如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3 图2 图3平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母、的前面加“平面”二字，如平面、平面、平面等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内（图4）；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5） 图4 图5下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：点A在直线a上（或直线a经过点A）Aa元素
6、与集合间的关系点A在直线a外（或直线a不经过点A）Aa点A在平面内（或平面经过点A）A点A在平面外（或平面不经过点A）A直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内（图7），直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写
7、的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示公理1也可以用符号语言表示：若Aa，Ba，且A，B，则a 图6 图7请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交若Aa，Ba，且A，B，则a如图（图7）在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面如图（图8）图8公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？不是，因为平面是无限延展的直线是
8、可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上图9这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3如图（图9），用符号语言表示为：P，且Pl，且Pl公理3告诉我们，如果两个不
9、重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言：文字语言、图形语言、符号语言“平面的基本性质”小结：名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据应用示例思路11如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系图10活动：学生自己思考或讨论，再写出答案（最好用实物
10、投影仪展示写的正确的答案）教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价解：在（1）中，l，aA，aB在（2）中，l，a，b，alP，blP变式训练1画图表示下列由集合符号给出的关系：（1）A，B，Al，Bl；（2）a，b，ac，bcP，c解：如图11图112根据下列条件，画出图形（1）平面平面l，直线AB，ABl，EAB，直线EFF，Fl；（2）平面平面a，ABC的三个顶点满足条件：Aa，B，Ba，C，Ca答案：如图12图12点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：（1）根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来（2）根据符号，想象出点、直线、平面的位置
11、关系，然后用图形表示出来2已知直线a和直线b相交于点A求证：过直线a和直线b有且只有一个平面图13证明：如图13，点A是直线a和直线b的交点，在a上取一点B，b上取一点C，根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面，因为A、B在平面内，根据公理1，直线a在平面内，同理直线b在平面内，即平面是经过直线a和直线b的平面又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个变式训练求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内图14证明：如图14，直线a、b、c
12、、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F，直线a直线bA，直线a和直线b确定平面设为，即a，bB、Ca，E、Fb，B、C、E、F而B、Fc，C、Ed，c、d，即a、b、c、d在同一平面内点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：（1）直线与直线外一点（2）两条相交直线（3）两条平行直线思路21如图15，已知EF，A，C、B，BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与、的交线图15活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路解：如图16所示，连接CB，C，B，直线CB图16
13、直线CB平面ABC，平面ABC直线CB设直线CB与直线EF交于D，EF，D，D平面ABCA，A平面ABC，平面ABC直线AD变式训练图171如图17，AD平面B，AE平面C，请画出直线DE与平面的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，它与平面的交线为直线BC，DE平面ABC，DE与的交点P在直线BC上2如图18，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为8 cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，图18（1）画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线（2）设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点
14、Q，求PQ的长解：（1）设M、N、P三点确定的平面为，则与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MPA1B1R，则RN是与平面A1B1C1D1的交线，设RNB1C1Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面与平面BB1C1C的交线如图18（2）正方体棱长为8 cm，B1RBM4 cm，又A1N4 cm，B1QA1N，B1Q4（cm）在PB1Q中，B1P4 cm，B1Q cm，PQ cm点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线2已知ABC三边所在直线分别与平面交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线解：如图19，A、B、C是不在同一直线上的三点，图19过A、B、C有
15、一个平面又ABP，且AB，点P既在内又在内设l，则Pl，同理可证：Ql，Rl，P、Q、R三点共线变式训练三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点已知平面、两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行求证：l1、l2、l3相交于一点图20证明：如图20，l1，l2，l3，l1，l2，且l1、l2不平行，l1与l2必相交设l1l2P，则Pl1，Pl2，Pl3l1、l2、l3相交于一点P点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3知能训练画一个正方体ABCDABCD，再画出平面ACD与平面BDC的交线，并且说明理由图21解：
16、如图21，FCD，F平面ACDEAC，E平面ACDEBD，E平面BDCFDC，F平面DCBEF为所求拓展提升O1是正方体ABCDA1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上图22解：如图22，连接A1C1、AC，因AA1CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1由PA1C，得P平面AC1，而P截面AB1D1，故P在两平面的交线上，即PAO1点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上课堂小结1平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性2通过三个公理介绍了平面的基本性质及作用名称作用公理1判定直线在平面内的依据公理2确定一个平面的依据公理3两平面相交的依据3利用三个公理证明共面、共线、共点问题 教学反思本节的引入精彩独特，用如来佛的手掌形象地刻画了平面的基本特征；本节设计了较多的语言转换题目，反复训练学生的读图、作图能力，以及用符号语言表达数学问题的能力，因为这是学好立体几何的基础，是本节的重点；本节的难点是利用三个公理证明共面、共线、共点问题，本节设计了大量题目来突破这一难点，每个题目都精彩活泼难度适中，我相信这是一节值得期待的精彩课例
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