1、第8讲三角变换与解三角形 1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用；能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形2. 在复习过程中，要熟练掌握三角变换的所有公式，理解每个公式的意义、应用特点及常规使用方法等；熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等)；掌握化简、求值和解三角形的常规题型；要注意掌握公式之间的内在联系3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加，三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点，应给予充分的重视新教材降低了对
2、三角函数恒等变形的要求，但对两角和的正切的考查一直是重点1. 已知sin，且，则tan_. 答案：2. 已知cossin，则sin_答案：解析：将cossin化为cossinsin，得sin，即sin.3. 已知是第三象限的角，若sin4cos4，则sin2_答案：解析：sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos21sin22， sin22. 2k2k， 4k220， sin2.4. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知8b5c，C2B，则cosC_答案：解析：由正弦定理，将8b5c及C2B代入得，化简得，则cos B，所以cos Ccos 2B2cos2B12
3、1.题型一 运用三角公式求值、求角例1 已知、均为锐角，且sin，tan().求：(1) sin()的值；(2) cos的值解：(1) ， .又tan()0， 0. sin().(2)由(1)可得，cos(). 为锐角，sin， cos. coscos()coscos()sinsin().已知cos，cos()且0.求：(1) tan2的值；(2) .解：(1) cos， sin，即tan4， tan2.(2) coscos()coscos()sinsin()， .题型二 运用正、余弦定理解三角形例2 已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，acosCasinCbc0.(1) 求A
4、；(2) 若a2，ABC的面积为，求b、c.解：(1) 由acos Casin Cbc0及正弦定理，得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0A，故A.(2) ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2. 在ABC中，内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c.(1) 若c2，C，且ABC的面积为，求a、b的值；(2) 若sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC的形状解：(1) c2，C， 由余弦定理c2a2b
5、22abcos C得a2b2ab4. ABC的面积为， absin C，ab4.联立方程组解得a2，b2.(2) 由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A， cos A(sin Asin B)0， cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，又 0A， A，ABC为直角三角形；当sin Asin B0时，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形 ABC为等腰三角形或直角三角形题型三 “角”或“1”的变换思想的应用例3 已知sin(2)3sin，设tanx，tan
6、y，记yf(x)(1) 求f(x)的解析式；(2) 若角是一个三角形的最小内角，试求函数f(x)的值域解：(1)(解法1)注意角的变换2()，().由sin(2)3sin，得sin()3sin()，则sin()coscos()sin3sin()cos3cos()sin， sin()cos2cos()sin， tan()2tan，即2tan，即2x， y，即f(x).(解法2)直接展开，利用“1”的变换 sin2coscos2sin3sin， 2sincoscos(cos2sin2)sin3sin， tan3tan， tan3tan， y，即f(x).(2) 角是一个三角形的最小内角， 0a，所
7、以A.f(x)4cossin. x， 2x， 1f(x)4cos.题型四 三角公式的综合应用例4 设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，且b2ac.(1) 求证：cosB；(2) 若cos(AC)cosB1，求B的大小(1) 证明：因为cosB，所以cosB.(2) 解：因为cos(AC)cosBcos(AC)cos(AC)2sinAsinC1，所以sinAsinC.又由b2ac，得sin2BsinAsinC，所以sinB.由(1)得B.已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，角B所对的边b，且函数f(x)2sin2x2sin xcos x在xA处取得最大值求：(1) f(x)的
8、值域及周期；(2) ABC的面积解：(1) 因为A、B、C成等差数列，所以2BAC.又ABC，所以B，即AC.因为f(x)2sin2x2sin xcos x(2sin2x1)sin 2xsin 2xcos 2x2sin，所以T.因为sin1，1，所以f(x)的值域为2，2(2) 因为f(x)在xA处取得最大值，所以sin1.因为0A，所以2A，故当2A时，f(x)取到最大值，所以A，所以C.由正弦定理，知c.又因为sin Asin，所以SABCbcsin A.1. (2013上海卷)若cosxcosysinxsiny，则cos(2x2y)_. 答案：解析：cos(xy)，cos(2x2y)co
9、s2(xy)2cos2(xy)11.2. (2013安徽卷)设ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c.若bc2a，3sinA5sinB，则角C_答案：解析：由已知条件和正弦定理得3a5b，且bc2a，则a，c2ab，cos C.又0C，因此角C.3. (2014天津卷)在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知bca，2sinB3sinC，则cosA_答案：解析：因为2sinB3sinC，所以2b3c，所以bc，代入bca得a2c，由余弦定理得cosA.4. (2014江苏卷)若ABC的内角满足sinAsinB2sinC，则cosC的最小值是_答案：解析：由已知sinA
10、sinB2sinC及正弦定理可得ab2c，cosC，当且仅当3a22b2即时等号成立5. (2013重庆卷)在ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2b2c2bc.(1) 求A；(2) 设a，S为ABC的面积，求S3cosBcosC的最大值，并指出此时B的值解：(1) 由余弦定理，得cosA.又0A，所以A.(2) 由(1)得sinA，又由正弦定理及a，得SbcsinAasinC3sinBsinC.因此S3cosBcosC3(sinBsinCcosBcosC)3cos(BC)，所以，当BC，即B时，S3cosBcosC取最大值3.6. (2014广东卷)已知函数f(x)Asin，
11、xR，且f.(1) 求A的值；(2) 若f()f()，求f.解：(1) fAsin， A，A.(2) f()f()sinsin， ， cos，cos.又， sin，fsin()sin. (本题模拟高考评分标准，满分14分)(2013南通、扬州三模)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知.(1) 求角B的大小；(2) 设Tsin2Asin2Bsin2C，求T的取值范围解：(1) 在ABC中，.(3分)因为sinC0，所以sinBcosC2sinAcosBsinCcosB，所以2sinAcosBsinBcosCsinCcosBsin(BC)sinA.(5分)因为sinA0，所以co
12、sB.因为0B，所以B.(7分)(2) Tsin2Asin2Bsin2C(1cos2A)(1cos2C)(cos2Acos2C)cos2Acoscos.(11分)因为0A，所以02A，故2A，因此1cos，所以T.(14分)1. 在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若(a2c2b2)tanBac，则B_答案：或解析： 由余弦定理得cosB， tanBcosB，即sinB，故B为或.2. 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且.(1) 求B的大小；(2) 若ABC最大边的边长为，且sinC2sinA，求最小边边长解： (1)由，整理得(ac)c(ba)(ab)，即acc2b2
13、a2， cosB. 0B， B.(2) B， 最长边为b. sinC2sinA， c2a， a为最小边由余弦定理得()2a24a22a2a，解得a21， a1，即最小边边长为1.3. 在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.(1) 若c2，C，且ABC的面积S，求a、b的值；(2) 若sinCsin(BA)sin2A，试判断ABC的形状解： (1) 由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.又ABC的面积等于，所以absinC，即ab4，联立方程组解得a2，b2.(2) 由题意得sinBcosAsinAcosA，当cosA0时，A，则ABC为直角三角形；当cosA0时，得sinBsinA.由正弦定理得ab，则ABC为等腰三角形所以ABC为直角三角形或等腰三角形4. 在ABC中，a、b、c是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x2cosC4xsinC60的解集是空集(1) 求C的最大值；(2) 若c，ABC的面积S，求当C取最大值时ab的值解： (1) 不等式x2cosC4xsinC60的解集是空集， 即得故cosC，而cosC0时解集不是空集， C的最大值为60.(2) 当C60时，SABCabsinCab， ab6.由余弦定理得c2a2b22abcosC(ab)22ab2abcosC， (ab)2c23ab， ab.- 8 -
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