【最高考】2015届高考数学二轮专题突破课堂讲义 第8讲 三角变换与解三角形.doc
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1、第8讲三角变换与解三角形 1. 掌握三角函数的公式(同角三角函数关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式)及应用;能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明;掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形2. 在复习过程中,要熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义、应用特点及常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法(化弦法、降幂法、角的变换法、“1”的变换等);掌握化简、求值和解三角形的常规题型;要注意掌握公式之间的内在联系3. 近年来高考对三角函数与向量联系问题的考查有所增加,三角函数知识在几何及实际问题中的应用也是考查重点,应给予充分的重视新教材降低了对
2、三角函数恒等变形的要求,但对两角和的正切的考查一直是重点1. 已知sin,且,则tan_. 答案:2. 已知cossin,则sin_答案:解析:将cossin化为cossinsin,得sin,即sin.3. 已知是第三象限的角,若sin4cos4,则sin2_答案:解析:sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos21sin22, sin22. 2k2k, 4k220, sin2.4. 在ABC中,内角A、B、C所对的边分别是a、b、c.已知8b5c,C2B,则cosC_答案:解析:由正弦定理,将8b5c及C2B代入得,化简得,则cos B,所以cos Ccos 2B2cos2B12
3、1.题型一 运用三角公式求值、求角例1 已知、均为锐角,且sin,tan().求:(1) sin()的值;(2) cos的值解:(1) , .又tan()0, 0. sin().(2)由(1)可得,cos(). 为锐角,sin, cos. coscos()coscos()sinsin().已知cos,cos()且0.求:(1) tan2的值;(2) .解:(1) cos, sin,即tan4, tan2.(2) coscos()coscos()sinsin(), .题型二 运用正、余弦定理解三角形例2 已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边,acosCasinCbc0.(1) 求A
4、;(2) 若a2,ABC的面积为,求b、c.解:(1) 由acos Casin Cbc0及正弦定理,得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC,所以sin Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0,所以sin.又0A,故A.(2) ABC的面积Sbcsin A,故bc4.而a2b2c22bccos A,故b2c28.解得bc2. 在ABC中,内角A、B、C所对的边长分别是a、b、c.(1) 若c2,C,且ABC的面积为,求a、b的值;(2) 若sinCsin(BA)sin2A,试判断ABC的形状解:(1) c2,C, 由余弦定理c2a2b
5、22abcos C得a2b2ab4. ABC的面积为, absin C,ab4.联立方程组解得a2,b2.(2) 由sin Csin(BA)sin 2A,得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A,即2sin Bcos A2sin Acos A, cos A(sin Asin B)0, cos A0或sin Asin B0,当cos A0时,又 0A, A,ABC为直角三角形;当sin Asin B0时,得sin Bsin A,由正弦定理得ab,即ABC为等腰三角形 ABC为等腰三角形或直角三角形题型三 “角”或“1”的变换思想的应用例3 已知sin(2)3sin,设tanx,tan
6、y,记yf(x)(1) 求f(x)的解析式;(2) 若角是一个三角形的最小内角,试求函数f(x)的值域解:(1)(解法1)注意角的变换2(),().由sin(2)3sin,得sin()3sin(),则sin()coscos()sin3sin()cos3cos()sin, sin()cos2cos()sin, tan()2tan,即2tan,即2x, y,即f(x).(解法2)直接展开,利用“1”的变换 sin2coscos2sin3sin, 2sincoscos(cos2sin2)sin3sin, tan3tan, tan3tan, y,即f(x).(2) 角是一个三角形的最小内角, 0a,所
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