1、第24练常考的递推公式问题的破解方略题型一由相邻两项关系式求通项公式例1已知正项数列an满足a11，(n2)a(n1)aanan10，则它的通项公式为_破题切入点对条件因式分解答案an解析由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)an1(n1)an(an1an)0，又an0，所以(n2)an1(n1)an，即，an1an，所以ana1a1(n2)，所以an(n1适合)，于是所求通项公式为an.题型二已知多项间的递推关系求通项公式例2已知数列an满足a1，anan1an1an，则数列an的通项公式为_破题切入点求证为等差数列，再利用累加法求得，便可求得an.答案an解析anan1an1an，
2、1.211 n1.n1，an.题型三构造法求通项公式例3(1)已知a11，an12an1，求an；(2)已知a11，an1，求an.破题切入点观察条件，联想学过的数列来构造解(1)由an12an1得an112(an1)，又a1120，于是可知an1为以2为首项2为公比的等比数列即an12n，an2n1，所求通项公式为an2n1.(2)由an1得1(常数)，又1，为1为首项，1为公差的等差数列，n，从而an，即所求通项公式为an.总结提高求数列通项公式常见的方法：(1)观察法：利用递推关系写出前n项，根据前n项的特点观察，归纳猜想出an的表达式，然后用数学归纳法证明(2)利用前n项和与通项的关系
3、an(3)在已知数列an中，满足an1anf(n)且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(4)在已知数列an中，满足f(n)且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累乘法求数列的通项an.(5)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)1在数列an中，a11，anan1an1(1)n(n2，nN*)，则的值是_答案解析由已知得a21(1)22，a3a2a2(1)3，a3，a4(1)4，a43，3a53(1)5，a5，.2学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的
4、，下星期一会有30%改选A种菜用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a1300，则a10_.答案300解析依题意，得消去bn，得an1an150.由a1300，得a2300；由a2300，得a3300；从而得a10300.3已知f(x)log21，anf()f()f()，n为正整数，则a2 015_.答案2 014解析因为f(x)log21，所以f(x)f(1x)log21log212.所以f()f()2，f()f()2，f()f()2，由倒序相加，得2an2(n1)，ann1，所以a2 0152 01512 014.4在正项数列an中，a12，an12an35
5、n，则数列an的通项公式为_答案an5n32n1解析在递推公式an12an35n的两边同时除以5n1，得，令bn，则式变为bn1bn，即bn11(bn1)，所以数列bn1是等比数列，其首项为b111，公比为.所以bn1()()n1，即bn1()n1，故an5n32n1.5数列an的前n项和Sn满足2SnSn1an(n2，nN*)，且a11，则数列an的通项公式为_答案an解析当n2时，anSnSn1，则2SnSn1SnSn1，即2，又1，故是首项为1，公差为2的等差数列，则1(n1)(2)2n3，所以Sn.当n2时，anSnSn1，验证a11不满足，故所求通项公式an6设函数f(x)a1a2x
6、a3x2anxn1，f(0)，数列an满足f(1)n2an(nN*)，则数列an的通项an_.答案解析由f(0)，得a1，由f(1)n2an(nN*)，得Sna1a2ann2an.当n2时，anSnSn1n2an(n1)2an1，整理得，所以ana1，显然a1也符合即an的通项为an.7若f(n)为n21(nN*)的各位数字之和，如62137，f(6)3710，f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，fk1(n)f(fk(n)，kN*，则f2 014(4)_.答案8解析因为42117，f(4)178，则f1(4)f(4)8，f2(4)f(f1(4)f(8)11，f3(4)f(f2(4)f
7、(11)5，f4(4)f(f3(4)f(5)8，所以fk1(n)f(fk(n)为周期数列可得f2 014(4)8.8数列an，bn满足anln n，bn，则数列anbn中第_项最大答案3解析设函数f(x)ln x，则f(x)，令f(x)0，得xe.分析知函数f(x)在(0，e上是增函数，在e，)上是减函数，又f(2)ln 2ln 0，于是(a2n1a2n)(a2na2n1)0.但，所以|a2n1a2n|0，因此a2na2n1()2n1.因为a2n是递减数列，同理可得a2n1a2n0，故a2n1a2n()2n.由可知，an1an.于是ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)11.故数列an的通项公式为an.- 7 -
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