1、南宫中学2015届高三（上）理科数学第15次周测试题一、选择题1已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为8，则等于 （ ）A4 B8 C16 D18 2将函数的图像向右平移个单位后所得的图像的一个对称轴是A B C D3中，角所对的边分别为，若，则（ ）A B C D4设是公差为正数的等差数列，若，则 （ ）A、75 B、90 C、105 D、1205已知双曲线的离心率为2，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为A. B. C. D.6某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A B C D7已知是三角形所在平面内一定点，动点满足（），则点轨迹一定通过三角形
2、的A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心8直线与圆相切，则圆的半径最大时，的值是（ ）A B C D可为任意非零实数9已知的三边和其面积满足且，则的最大值为A、 B、 C、 D、10如图，四面体中，平面平面，若四面体的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为（ ）_D_C_B_A_A B C D11已知实数、满足，则的最大值为（ ）A50 B45 C40 D1012如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面分别与直线BC，AD相交于点G，H，下列判断中：对于任意的平面，都有；存在一个平面，使得点在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；对于任意的平面，都有直线GF，
3、EH，BD相交于同一点或相互平行；对于任意的平面，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC-EGFH的体积是一个定值其中正确的序号是（ ）A B C D二、填空题13已知向量若则的值为 14已知等差数列的首项为1，公差为2，则数列的前项和_15实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数b的值为_ .16底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为_.三、解答题17设数列为等差数列，且；数列的前n项和为.（1）求数列，的通项公式；（2）若为数学的前n项和，求.18在三角形中，角、的对边分别为、，且三角形的面积为（1）求角的大小（2）若，求的值19如
4、图，底面为正三角形，面， 面，设为的中点（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值20某同学参加高二学业水平测试的4门必修科目考试，已知该同学每门学科考试成绩达到“A”等级的概率均为，且每门考试成绩的结果互不影响求该同学至少得到两个“A”的概率；（2）已知在高考成绩计分时，每有一科达到“A”，则高考成绩加1分，如果4门学科均达到“A”，则高考成绩额外再加1分现用随机变量Y表示该同学学业水平测试的总加分，求Y的概率分布列和数学期望21已知椭圆C：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆的方程（2）设为椭圆上
5、一点，若过点的直线与椭圆相交于不同的两点和,且满足（O为坐标原点），求实数的取值范围22设函数（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；（2）讨论函数零点的个数；（3）若对任意恒成立，求的取值范围参考答案1C【解析】试题分析：椭圆的焦点在轴上，长轴长得，故答案为C考点：椭圆的标准方程2A【解析】试题分析：令f（x）=cos（-2x）=cos（2x-），则f（x-）=cos2（x-）-=cos（2x-），由2x-=k（kZ），得其对称轴方程为：x=（kZ），当k=0时，x=，即为将函数y=cos（-2x）的图象向右平移个单位后所得的图象的一个对称轴，故选：A考点：函数y=Asin（x+）的图象
6、变换3A【解析】试题分析：由正弦定理可得：，再注意到，从而角为锐角，所以，故选考点：正弦定理4C【解析】试题分析：由已知解得，所以，故选考点：等差数列及其性质5B【解析】试题分析：双曲线的其中一条渐近线方程为，离心率，得，由于得，抛物线的焦点坐标到渐近线的距离，整理得得，因此抛物线方程，故答案为B.考点：双曲线和抛物线的标准方程和性质应用.6A【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是底面为圆心角为的扇形，故该几何体的体积为底面半径为2，高为4的圆锥的体积的三分之一，故体积为考点：三视图7【解析】试题分析：作出如图所示的图形，由于，因此在三角形的中线上，故动点一定过三角形的重心，故答案为D.考点
7、：1、三角形的五心；2、向量加法的几何意义.8C【解析】试题分析：圆心到直线的距离等于半径，即，当分母最小时，半径最大，当且仅当，得，即，故答案为C考点：1、点到直线的距离公式；2、基本不等式的应用9D【解析】试题分析：由S=以及余弦定理可得cosC=-,sinC=再由基本不等式求得S的最大值再由a+b2ab可得ab1，当且仅当a=b时，取等号 S=的最大值为故选D考点：余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，基本不等的应用10C【解析】试题分析：由于平面平面，交线为，平面，因此平面，由于，因此平面，所以和为直角三角形，因此的中点为球心，直径长，半径，因此球的体积，故答案为C考点：四面体的外接
8、球的体积11A【解析】试题分析：对于分别取的中点，则平面，平面，且与到平面的距离相等，因此对于任意的平面，都有；对于不存在一个平面，使得点在线段上，点在线段的延长线上；对于取的中点，的中点，则在一个平面内，此时直线，不是中点时，相交于一点；对于对于任意的平面，当在线段上时，可以证明几何体的体积是四面体体积的一半，因此是一个定值考点：直线与平行平行的判断定理和性质定理12【解析】试题分析：由已知得， ，则有，又，故，则考点：1、向量的数量积运算；2、同角三角函数基本关系式；3、二倍角公式13【解析】试题分析：已知等差数列的首项为1，公差为2，得，所以，所以考点：裂项求和.148【解析】试题分析：
9、绘制平面区域可得：要使由最小值-2，则直线,在轴上有最大截距为2，且经过点B,由,又因B也在上，故有.考点：线性规划.15【解析】试题分析：设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为，底面正三角形的边长为a，则，由已知得底面，在中，由勾股定理得，.考点：正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题.16（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）给出与的关系，求，常用思路：一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；二是转化为的递推关系，先求出与的关系，再求；（2）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;（3）一般地，如果数列是等差数列
10、，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解.试题解析：解（1）数列为等差数列,所以又因为 由n=1时，时，所以 4分为公比的等比数列 6分（2）由（1）知， 7分 9分+=1-4+ 11分. 12分考点：1、求等差数列、等比数列的通项公式；2、错位相减求数列的和.17（1）；（2） 【解析】试题分析：（1）在三角形ABC中,由已知可得即又0得到 （2）应用正弦定理可得 即，将变形得到试题解析：（1）在三角形ABC中,由已知可得0 （2） 由正弦定理可得 考点：1正弦定理；2和差倍半的三角函数18（1）祥见解析;(2）【解析】试题分析
11、：（1）过F作FHEA交AB于H，连接HC，由已知中EA面ABC，DC面ABC，我们根据线面垂直的性质可得EADCFH，进而得到四边形CDFH是平行四边形，则DFHC，再由线面平行的判定定理即可得到DF平面ABC；（2）由ABC为正三角形，H为AB中点，EA面ABC，利用等边三角形的性质及线面垂直的性质可得CHAB，CHEA，再由线面垂直的判定定理可得CH面EAB，结合DFCH，可得DF面EAB，则DAF为直线AD与平面AEB所成角，解RTAFD即可得到直线AD与平面AEB所成角的正弦值试题解析：（1）证明：过作交于，连结，平面，平面，又，而是的中点， 所以四边形是平行四边形，又平面，平面，平
12、面 4分（2）为正三角形，为中点，面，面，面，面，面，为在面上的射影，所以为直线与平面所成角，在中，所以直线与平面所成角的正弦值为 10分考点：1. 直线与平面平行的判定；2直线与平面所成的角19（1）；（2） 随机变量Y的概率分布如下表所示：Y01235PE（Y）=0+1+2+3+5=.【解析】试题分析：（1）设4门考试成绩得到“A”的次数为X，由题意知，随机变量XB（4,），依据概率计算公式P（X2）=1P（X=0）P（X=1）即可计算所求的概率；（2）随机变量Y的可能值为0,1,2,3,5,分别求出相应的概率，由此能求出Y的概率分布列和数学期望.试题解析：（1）设4门考试成绩得到“A”的
13、次数为X,依题意,随机变量XB（4,）,则P（X2）=1P（X=0）P（X=1）=1=,故该同学至少得到两个“A”的概率为. （2）随机变量Y的可能值为0,1,2,3,5,则 P（Y=0）=, P（Y=1）=,P（Y=2）=, P（Y=3）=,P（Y=5）=.随机变量Y的概率分布如下表所示：Y01235P从而E（Y）=0+1+2+3+5=.考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式.20（1） ；（2）【解析】试题分析：（1）由题意可得圆的方程为,圆心到直线的距离；根据椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得，即可得
14、到所求椭圆方程（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设将直线方程代入椭圆方程得：根据得到；设,应用韦达定理讨论当k=0，的情况，确定的不等式试题解析：（1）由题意：以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为,圆心到直线的距离椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得 故所求椭圆方程为 4分 （2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，设将直线方程代入椭圆方程得： 6分设,则 8分当k=0时，直线l的方程为y=0,此时t=0，成立，故，t=0符合题意。当时得 10分将上式代入椭圆方程得：整理得：由知所以 12分考点：1椭圆的方程及其几何性质
15、；2直线与椭圆的位置关系；3直线与圆的位置关系21（1）；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）【解析】试题分析：（1）当时，令，得，将定义域分段并研究导函数在每段的符号，判断函数大致图象，进而求得最小值；（2）由已知得则，进而把问题转化为判断函数图象与轴交点的个数问题，或者参变分离为利用导数研究函数的形状，研究直线与其交点个数问题即可；（3）通过对不等式恒等变形，研究其蕴含的数学本质，变形为，观察其结构特征，构造函数，则函数在单调递增，转化为恒成立问题处理试题解析：（1）由题设，当时，则， 1分当在上单调递减，当，在（）上单调递增， 2分时，取得极
16、小值的极小值为2 3分（2）由题设令，得 4分设则 5分当时，在上单调递增；当时，在上单调递减。 6分是的唯一极值点，且是极大直点，因此也是的最大值点，的最大值为 7分又，结合的图像，可知当时，函数无零点；当时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点；当时，函数有且只有一个零点。 8分综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且只有一个零点；当时，函数有两个零点； 9分（3）对任意的恒成立，等价于恒成立（*） 10分设（*）等价于在上单调递减 11分由在恒成立 12分得恒成立， 13分仅在时成立），的取值范围是 14分考点：1、利用导数求函数的最值、极值；2、函数的零点；3、利用导数研究函数的单调性10
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