复合材料负泊松比结构等效弹性力学理论建模.pdf

1、 第4 4卷 第5期2 0 2 3年1 0月 青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)J o u r n a l o f Q i n g d a o U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n)V o l.4 4 N o.5O c t.2 0 2 3 文章编号:1 6 7 2-6 9 8 7(2 0 2 3)0 5-0 0 8 7-1 3;D O I:1 0.1 6 3 5 1/j.1 6 7 2-6 9 8 7.2 0 2

2、 3.0 5.0 1 1复合材料负泊松比结构等效弹性力学理论建模赵昌方1,2,3,G O H K h e n g L i m2,3,乐贵高1,任 杰1,仲健林1*(1.南京理工大学 机械工程学院,江苏 南京 2 1 0 0 9 4;2.纽卡斯尔研究与创新研究所(N e w R I I S),新加坡 6 0 9 6 0 7;3.英国纽卡斯尔大学 科学、农业和工程学院,泰恩河畔纽卡斯尔 N E 1 7 RU)摘 要:为了解碳纤维增强复合材料(C F R P)超力学结构的负泊松比效应实现机理及等效弹性力学,通过结构图示分析了内凹负泊松比结构实现拉胀效应或负泊松比效应的过程;设立基本假设推导了负泊松比

3、结构在2个面内方向的等效弹性力学理论模型;采用控制变量法进行几何尺寸的参数化影响规律分析;通过与实验值和模拟值对比讨论了等效泊松比理论模型的预测效果。结果表明,采用E u l e r梁理论建立的等效弹性力学理论模型预测区间虽能包含实验和模拟结果,但存在较大误差,仍需进一步深入。关键词:超力学结构;内凹结构;拉胀结构;负泊松比结构;等效弹性力学;碳纤维复合材料(C F R P)中图分类号:O 3 4 2;T B 1 2 1 文献标志码:A引用格式:赵昌方,GOH K h e n g L i m,乐贵高,等.复合材料负泊松比结构等效弹性力学理论建模J.青岛科技大学学报(自然科学版),2 0 2 3

4、,4 4(5):8 7-9 9.Z HAO C h a n g f a n g,GOH K h e n g L i m,L E G u i g a o,e t a l.A p r e l i m i n a r y t h e o r e t i c a l m o d e l o f e q u i v a l e n t e l a s t i c m e c h a n i c s f o r c o m p o s i t e s t r u c t u r e s w i t h n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i oJ.J o u r-n

5、 a l o f Q i n g d a o U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y(N a t u r a l S c i e n c e E d i t i o n),2 0 2 3,4 4(5):8 7-9 9.收稿日期:2 0 2 2-1 2-0 8基金项目:国家自然科学基金项目(1 2 0 0 2 1 6 9);国家留学基金项目(2 0 2 1 0 6 8 4 0 0 3 3);江苏省博士后基金资助项目(2 0 2 0 Z 2 2 6);江苏省研究生科研与实践创新计划项目(KY C X 2 1_0

6、 3 4 2);南京理工大学优秀博士培养基金项目(2 0 2 2).作者简介:赵昌方(1 9 9 5),男,博士研究生.*通信联系人.A P r e l i m i n a r y T h e o r e t i c a l M o d e l o f E q u i v a l e n t E l a s t i c M e c h a n i c s f o r C o m p o s i t e S t r u c t u r e s w i t h N e g a t i v e P o i s s o n s R a t i oZ H A O C h a n g f a n g1,2

7、,3,G O H K h e n g L i m2,3,L E G u i g a o1,R E N J i e1,Z H O N G J i a n l i n1(1.S c h o o l o f M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g,N a n j i n g U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y,N a n j i n g 2 1 0 0 9 4,C h i n a;2.N e w c a s t l e R e s e a r c h a n d I

8、 n n o v a t i o n I n s t i t u t e(N e w R I I S),S i n g a p o r e 6 0 9 6 0 7,S i n g a p o r e;3.F a c u l t y o f S c i e n c e,A g r i c u l t u r e a n d E n g i n e e r i n g,N e w c a s t l e U n i v e r s i t y,N e w c a s t l e U p o n T y n e N E 1 7 RU,UK)A b s t r a c t:T o u n d e r

9、s t a n d t h e r e a l i z a t i o n m e c h a n i s m o f t h e n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i o e f f e c t o n c a r b o n f i b e r-r e i n f o r c e d c o m p o s i t e(C F R P)m e t a-m e c h a n i c a l s t r u c t u r e s,t h i s p a p e r a n a l y z e s t h e p r o c e s s e s f

10、o r a c h i e v i n g t h e a u x e t i c e f f e c t o r t h e n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i o e f f e c t u s i n g s t r u c-t u r a l d i a g r a m s.T h e o r e t i c a l m o d e l s f o r e q u i v a l e n t e l a s t i c m e c h a n i c s i n t h e i n-p l a n e d i r e c t i o n s

11、o f n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i o s t r u c t u r e s a r e d e r i v e d b a s e d o n b a s i c a s s u m p t i o n s.T h e i n f l u e n c e o f g e o m e t r i c d i m e n s i o n s o n p a r a m e t e r s i s a n a l y z e d u s i n g t h e c o n t r o l v a r i a b l e m e t h o d.

12、T h e p r e d i c t i v e a c c u r a c y o f t h e e q u i v a l e n t P o i s s o n s r a t i o t h e o r e t i c a l m o d e l i s d i s c u s s e d b y c o m p a-青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷r i n g i t w i t h e x p e r i m e n t a l a n d s i m u l a t e d v a l u e s.T h e r e s u l t s i n d i

13、 c a t e t h a t t h e p r e d i c t i o n r a n g e o f t h e e q u i v a l e n t e l a s t i c m e c h a n i c s t h e o r e t i c a l m o d e l,e s t a b l i s h e d u s i n g E u l e r b e a m t h e o r y,e n c o m p a s s e s e x p e r i m e n t a l a n d s i m u l a t e d r e s u l t s b u t e

14、 x h i b i t s s i g n i f i c a n t e r r o r s.D e v e l o p i n g a t h e o r e t i c a l m o d e l f o r t h e e q u i v a l e n t e l a s t i c m e c h a n i c s o f l a m i n a t e d C F R P n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i o s t r u c t u r e s r e m a i n s a c h a l l e n g i n g t a

15、 s k t h a t r e q u i r e s f u r t h e r r e s e a r c h.K e y w o r d s:m e t a-m e c h a n i c a l s t r u c t u r e;r e-e n t r a n t s t r u c t u r e;a u x e t i c s t r u c t u r e;n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i o s t r u c t u r e;e q u i v a l e n t e l a s t i c m e c h a n i c s

16、;c a r b o n f i b e r-r e i n f o r c e d c o m p o s i t e(C F R P)碳纤维增强复合材料(C F R P)因具有优异的力学性能而被广泛用作工程结构的成型材料1-4。负泊松比结构(N P R S)是一类具有超力学性能的新型结构5-7,也被称为拉胀结构(a u x e t i c s t r u c t u r e),具有异于常规材料的抗压痕性。许多学者将C F R P与N P R S进行结合,形成复合材料轻量化超力学抗冲击结构,试图获得更高的缓冲吸能收益。负泊松比效应或拉胀效应需要通过内凹结构或扭转结构来实现,属于一类异型构件,

17、不容易成型。许多研究均基于增材制造技术来设计C F R P负泊松比结构8-9,但这将会增加造价、降低结构性能和限制结构尺寸1 0-1 2。为此,赵昌方等7,1 3-1 5基于传统的高温热压成型法,采用单层单向预浸料按照0/9 0 的铺层方式,制备了具有层合板截面属性的内凹六边形负泊松比结构(r e-e n t r a n t N P R S),并开展了一系列实验研究。然而,这些研究主要通过实验和有限元分析开展,理论预测模型尚未得到解决。关于负泊松比结构的等效力学理论建模研究较多,但大多结构的胞壁为各向同性材料,结构的变形容易把握,建模方法相对容易。文献5-6,1 6基于欧拉梁理论,针对各向同性

18、材料制备的内凹六边形和星形负泊松比结构进行了二维等效弹性力学建模,并通过有限元分析讨论了模型的有效性。N I R AN-J AN等1 7采用3 D打印制备了丙烯腈-丁二烯-苯乙烯材料的负泊松比结构,并通过弯曲挠度建立了结构的等效弹性模量理论公式。QUAN等1 8采用3 D打印制备了凯夫拉纤维增强聚乳酸材料的负泊松比结构,并基于弯曲梁理论计算了胞壁变形,进而获得了等效弹性模量和泊松比理论模型。J I ANG等1 9通过增材制造方式制备了聚乳酸基负泊松比结构,并基于各位置的几何变形给出了结构的泊松比计算经验公式。韩广等2 0设计了铝制新型斜十字负泊松比结构,并根据能量法和卡氏第二定理建立了等效弹性

19、模量、等效泊松比解析表达式。吴秉鸿等2 1基于弹性力学原理,给出了钢制星型负泊松比结构的等效泊松比和等效弹性模量解析表达式。为了进一步丰富和拓展C F R P-N P R S的研究内容,需建立等效弹性力学理论模型,揭示负泊松比结构的负泊松比效应实现机理和力学行为。本研究结合欧拉梁理论和材料力学相关知识,建立了负泊松比结构的等效弹性模量和等效泊松比理论模型,通过关联结构的几何尺寸获取了等效泊松比及弹性模量的曲面响应,并通过实验和仿真讨论了模型的适用性。1 等效弹性力学建模1.1 负泊松比效应实现负泊松比结构通常源自于负泊松比材料的微观形貌,例如多孔泡沫、黄铁矿晶体等等。材料实现负泊松比效应的机理

20、是:受拉时,材料微观孔壁横向向外传递载荷,致使材料横向膨胀形成拉伸-膨胀的变形特征;受压时,材料微观孔壁则横向向内传递载荷,致使材料横向收缩形成压缩-收缩胀的变形特征。不难发现,负泊松比效应的实现机理在于材料内部的微观结构,对于没有微观特征的均质材料,例如常见的钢、铝、塑料等,很难呈现负泊松比效应。将材料的微观特征放大制成结构,结构的变形仍保持着原先的受力变形特性,从而出现了负泊松比结构。常见的双箭头结构是负泊松比结构的经典构型,如一对箭头构成的内凹六边形结构、4个箭头的星形结构及其组合/变型结构等。二维内凹六边形的线条简化结构如图1所示,当箭头帽受拉后,会将2个箭头帽组成的“内凹V形”拉直(

21、V形夹角/内凹角增大),使得箭头杆向外横向运动,从而实现拉胀现象,即拉胀效应;同理,当箭头帽受压后,“内凹V形”会收缩(V形夹角/内凹角减小),使得箭头杆向内横向运动,从而实现压缩-收缩现象,即负泊松比效应。可以看出,负泊松比结构的负泊松比效应通过其胞壁变形实现,且受一对力偶作用的弯曲变形占据主导地位。其中,定义面内的内凹方向为88 第5期 赵昌方等:复合材料负泊松比结构等效弹性力学理论建模x方向(1#方向)、垂直于内凹方向为y方向(2#)方向,垂直于平面外的方向则为z方向(3#方向)。图1 C F R P内凹负泊松比结构跨维度演化及部件命名F i g.1 C r o s s-d i m e

22、n s i o n a l e v o l u t i o n a n d c o m p o n e n t n a m i n g o f C F R P c o n c a v e n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i o s t r u c t u r e1.2 等效弹性力学建模基本假设C F R P层合板由多个具有方向性的单层构成,使得层合板具有明显的各向异性,造成了C F R P负泊松比结构等效弹性力学建模的困难。为便于分析,需弱化C F R P的各向异性特征,故作出以下假设:1)C F R P层合板可视为正交均质材料;2)层合板的各单层材

23、料等厚,是正交各向异性材料,具有线弹性力学行为;3)C F R P层合板的变形增量满足弹性小变形假设,且面内弹性拉/压小变形可以忽略,仅考虑弯曲变形;4)弹性弯曲变形过程中C F R P层合板未发生任何失效,例如分层破坏、层间开裂等;5)满足变形一致性假设,即层合板各层之间为粘接,各层变形一致,没有层间相对变形,且中性面应变为零;6)满足直法线不变假设,即变形前垂直于层合板中性面的横向法线在变形后也与中性面垂直,且长度不变;该假设说明面外剪切应变为零,即x z=y z=0,z z=0;7)面外z方向的应力与面内x和y方向相比很小,可以忽略,即z z=0;8)满足平面应力假设,即各单层板均处于平

24、面应力状态,且不考虑体积力的影响;9)C F R P层合板的厚度与其长度和宽度相比很小,属于薄板结构;1 0)C F R P负泊松比多胞结构等效力学可由其单胞结构进行表征。经典层合板理论在K i r c h h o f f-L o v e平板理论假设下成立,K i r c h h o f f假设等价于上述假设5)、6)、7)。分析二维平面结构变形用的E u l e r-B e r n o u l l i梁理论的前提假设是不考虑梁横向的剪切应变,即上述假设中的6)和7)。考虑梁的横向剪切应变时,需采用T i m o s h e n k o梁理论;若是板结构,则需采用一阶剪切变形层合板理论。由图1

25、可知,研究对象(三维内凹负泊松比结构)是二维构型的面外拉伸,其面内方向(1#和2#方向)受载的力学行为具有二维特征。因此,在不考虑面外剪切时可采用E u l-e r梁理论来建立等效弹性力学模型,推导等效弹性模量和等效泊松比。1.3 1#方向压缩等效弹性力学模型假设结构的拉伸和压缩具有相同的等效弹性力学行为,若以压缩加载为例,结合实验结果1 3-1 4,可得1#方向的受力图示,如图2。其中,p为载外荷,t为厚度,l为侧壁长度,为内凹角,L为左、右连接梁(对于周期性胞结构的代表性体积单元,有m=L);另设H为2#方向高度,W为1#方向宽度,Z为3#方向厚度;结构各部件的命名方法参考图1。根据几何关

26、系有,结构高度H和结构宽度W依次为H=2ls i n,(1)W=4L-2lc o s。(2)理想情况下胞结构发生对称变形,则此处取一半为分析对象,有等效应力为y1=F1A1=p/2ZH/2=pZH。(3)式(3)中,F1和A1分别为名义载荷和横截面积。沿1#方向压缩时,C F R P层合板左、右横梁(A-B、E-F)发生受压变形,侧壁(B-C,D-E)发生弯曲变形,上、下横梁(C-D)也发生弯曲变形。由于C F R P层合板的面内刚度大,横梁的面内压缩变形远小于侧壁的弯曲变形,故忽略压缩变形。根据E u l e r梁理论和材料力学5-6,1 6,将侧壁l视为均质悬臂梁弯曲受载进行求解,得变形结

27、果为1=p/2(lc o s)E0Z t,2=p/2(l3s i n)3E0Iz。(4)98青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷图2 C F R P负泊松比结构1#方向压缩变形图示F i g.2 C o m p r e s s i o n d e f o r m a t i o n i n 1#d i r e c t i o n o f C F R P n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i o s t r u c t u r e Iz=Z t31 2。(5)式(4)和式(5)中,i表示位移量,E0为层合板材料的弹性模量,Iz为截面惯性

28、矩。将上、下横梁视为两端受压的屈曲压杆,服从弹性E u l e r屈曲力学状态。认为压力超过E u l e r临界力后的塑性行为是失效或破坏,不予以考虑,则E u-l e r临界压力为Fc r=2E0A2。(6)式(6)中,A为压杆横截面积,为长细比。然而,压杆 的 屈 曲 变 形 计 算 较 为 复 杂,需 多次积分6,难 以实现定 量 分 析。为 便 于 计 算,可将屈曲变形简化为纯弯曲变形。同理,根据E u l-e r梁理论及 材料力学理 论,可得到上、下横梁的弹性变形为3=p/22LE0Z t,4=p/2L33E0Iz。(7)然而,梁B-C和D-E的另一端与压杆C-D相连,使得变形发生

29、耦合。梁B-C和D-E在x方向的变形相等,虽然在弯曲端是正向位移,但在自由端却是收缩位移,理应为负向,即2的横向分量在整体上表现为负。从而,可得二分之一结构横向和纵向的变形总量,即x1=-1s i n-2c o s+4=-p/2(lc o s s i n)E0Z t-4p/2(l3s i n c o s)E0Z t3+4p/2L3E0Z t3=p/2(-t2lc o s s i n-4l3s i n c o s+4L3)E0Z t3,(8)y1=-21c o s-22s i n-3=-2p/2(lc o s c o s)E0Z t-8p/2(l3s i n s i n)E0Z t3-p/2(2

30、L)E0Z t=2p/2(-t2lc o s2-4l3s i n2-t2L)E0Z t3。(9)根据名义应变的定义,可得二分之一结构的等效应变为x1=x1H/2=p/2(-t2lc o s s i n-4l3s i n c o s+4L3)E0Z t3H/2=p/2(-t2lc o s s i n-4l3s i n c o s+4L3)E0Z t3ls i n,(1 0)y1=y1W=2p/2(-t2lc o s2-4l3s i n2-t2L)E0Z t3W=p/2(-t2lc o s2-4l3s i n2-t2L)E0Z t3(2L-lc o s)。(1 1)根据泊松比概念及其定义5,可得C

31、 F R P负泊松比结构的等效泊松比,即09 第5期 赵昌方等:复合材料负泊松比结构等效弹性力学理论建模 v1=-x1y1=-(-t2lc o s s i n-4l3s i n c o s+4L3)(2L-lc o s)ls i n(-t2lc o s2-4l3s i n2-t2L)。(1 2)根据广义胡克定律(=E)可得,等效弹性模量为E1=y1y1=pZHp/2(-t2lc o s2-4l3s i n2-t2L)E0Z t3(2L-lc o s)=E0t3(2L-lc o s)ls i n(-t2lc o s2-4l3s i n2-t2L)。(1 3)上述方程得出的E1和v1即是C F R

32、 P负泊松比结构1#方向加载的等效弹性模量和等效泊松比。1.4 2#方向压缩等效弹性力学模型在理想情况下,沿2#方向压缩时,胞结构发生对称变形。由于结构高度对称,此处取四分之一为分析对象,有等效应力为y2=F2A2=p/2ZW/2=pZW。(1 4)式(1 4)中,F2和A2分别为名义载荷和横截面积。由于压缩时上、下横梁及左、右横梁均不发生变形,仅是发生平移,故不考虑其形变。因此,压缩变形主要由侧壁l贡献,侧壁发生弯曲变形,如图3所示。同理,基于E u l e r梁理论和材料力学弯曲理论,可得变形量分别为5=p/2(ls i n)E0Z t,6=p/2(l3c o s)3E0Iz。(1 5)因

33、此,四分之一结构的横向和纵向变形总量分别为 x2=c o s 5-s i n 6=p2ls i n c o s t2-4l2 E0Z t3,y2=-s i n 5-c o s 6=-p/2(l t2s i n2+l3c o s2)E0Z t3。(1 6)图3 C F R P负泊松比结构2#方向压缩变形图示F i g.3 C o m p r e s s i o n d e f o r m a t i o n i n 2#d i r e c t i o n o f C F R P n e g a t i v e P o i s s o n s r a t i o s t r u c t u r e

34、 结合横、纵方向的长度,可得x、y方向的名义应变为x2=x2W/2=p/2(ls i n c o s t2-4l2 )/E0(Z t3)W/2=p ls i n c o s(t2-4l2)2E0Z t3(2L-lc o s),(1 7)y2=y2H/2=-p/2(l t2s i n2+l3c o s2)/E0(Z t3)H/2=-p(lt2s i n2+l3c o s2)2ls i nE0Zt3。(1 8)从而,根据泊松比的定义可得2#方向压缩时的等效泊松比19青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷 v2=-x2y2=-p ls i n c o s(t2-4l2)/2E0(Z

35、t3(2L-lc o s)-p(lt2s i n2+l3c o s2)/2l(s i n E0Z t3)=l2s i n2c o s(t2-4l2)(2L-lc o s)(l t2s i n2+l3c o s2)。(1 9)同理,可得2#方向压缩的等效弹性模量,即E2=y2y2=p/ZW-p(l t2s i n2+l3c o s2)/2l(s i n E0Z t3)=-ls i n E0t3(2L-lc o s)(l t2s i n2+l3c o s2)。(2 0)2 等效弹性力学几何参数影响规律2.1 材料参数及边界条件针对制备的实际模型1 4-1 5,其结构的尺寸参数分别为t=2 mm、l

36、=1 7.3 mm、L=1 1.5 mm、Z=3 2 mm、=6 0(m=L)。层合板的 铺 层 规 则 为0/9 0 1 0,结构面内方向下层合板胞壁的剪切模量G和弹性模量E0可通过经典层合板理论2 2进行计算。在进行参数分析时,需保证结构的合理性,即保证所取参数下结构仍然是内凹六边形结构。尺寸关系包括壁厚t、侧壁长度l、横梁半长L、内凹角等4个,4个参数互相耦合,因此需先确定2个不变量,才能讨论其它参数的变化范围。壁厚t一方面要保证结构为薄壁结构,一方面可以持续增大直到两箭头互相接触,1/4结构壁厚关系如图4(a)所示。此外,保证胞壁结构的条件为壁厚远小于侧壁长度l和横梁半长L。为此,壁厚

37、t的尺寸约束条件为 t/2t a n(/2)L-lc o s t2 t a n2 L-lc o s ,0,9 0 。tL,tl。(2 1)图4 胞壁相关性分析F i g.4 C o r r e l a t i o n a n a l y s i s o f c e l l w a l l s29 第5期 赵昌方等:复合材料负泊松比结构等效弹性力学理论建模 横梁半长L是影响胞壁变化的主要关系,而次之。随着L的增大,内部空间横向增大,胞壁t得以增大,如图4(b)。内凹角的增大,使得内部空间成倍扩大增大,则胞壁t持续增大,如图4(c)。在正值区间内,随着l的增大却导致胞壁t减小,如图4(d)。当响应

38、面的边界很大时,需选取一定的范围进行显示,从而会出现截断的情况,类似于图4(d)中L接近5 0 mm时曲面截断的现象,下文中也会有类似情况。在实际设计中,需考虑胞壁厚度与边长的关系,即时刻保持结构为薄壁结构状态,从而满足上述的基本假设。胞的内凹角由结构的宽度W、横梁半长L和侧壁长度l决定,是个关联性极强的衍生参数。负泊松比结构内凹角的理论取值区间为(0,9 0),内凹角大于9 0 则为外凸六边形结构,内凹角小于0 则结构发生干涉。然而,不同因变量条件下内凹角的取值区间不尽不同,应分别讨论。由于变量多余3个,需确定1个再讨论另外2个。在保证薄壁结构的前提下,胞壁t的变化范围较小,对内凹角的影响较

39、小,故可以作为一个不变量,以降低复杂程度。如图5(a),当胞壁t不变,侧壁长度l不变时,内凹角在横梁半长L的变化下而变化,横梁绕着直径为侧壁长度的圆转动。在保证内凹结构的条件下,有2个极限位置,即横梁与侧壁垂直时、横梁与侧壁共线时,这2个极限位置使得内凹角的取值区间为a r c c o sLl9 0 。(2 2)同理,当胞壁t不变,横梁半长L不变时,内凹角在侧壁长度l的变化下而变化。对应的2个极限位置分别是,横梁与侧壁共线、侧壁长度无限大,如图5(b)。因此,内凹角的取值区间为0 9 0 。(2 3)当胞壁t不变,内凹角不变时,横梁半长L与侧壁长度l一起发生等比例变化。对应的2个极限位置分别是

40、,横梁与侧壁共线、侧壁在横梁方向上的投影与横梁等长,如图5(c)。从而,横梁半长L和侧壁长度l的取值关系为 0lLc o s。(2 4)对于一个给定尺寸的结构,内凹角为最小极限值0 时,表明结构被挤压,内部没有空间,各胞壁互相平行。内凹角处于最大极限值9 0 时,结构转化为矩形,不具有负泊松比效应。内凹角大于9 0 后,结构转变成外凸的六边形结构,不再属于内凹负泊松比结构的范畴。接下来将进行的影响因素曲面响应分析中,内凹角的合理取值范围应满足上述3个不等式,以保证结构的合理性。图5 内凹六边形结构几何变化关系F i g.5 G e o m e t r i c c h a n g e s o f

41、 c o n c a v e h e x a g o n s t r u c t u r e2.2 1#方向压缩尺寸参数影响规律基于上述推导的等效弹性力学模型,通过数值计算,可得等效弹性模量、等效泊松比与内凹六边形负泊松比结构几何尺寸的关系。由于内凹六边形结构尺寸具有耦合关系,进行耦合因素三维曲面响应分析更为合理。因此,当考虑壁厚t、侧壁长度l与等效泊松比v1的关系v1(t,l)时,确定横梁半长L=1 1.5 mm,内凹角=6 0;考虑壁厚t、横梁半长L与等效泊松比v1的关系v1(t,L)时,确定侧壁长度l=1 7.3 mm,内凹角=6 0;考虑横梁半长L、侧壁长度l与等效泊松比v1的关系v1

42、(l,L)时,确定壁厚t=2 mm,内凹角=6 0;考虑壁厚t、内凹角与等效泊松比v1的关系v1(t,)时,确定侧壁长度l=1 7.3 mm,横梁半长L=1 1.5 mm。基于此控制变量法绘制的曲面响应关系见图6。v1(t,l)曲面响应中,负泊松比效应在一定范围内得以实现;但随着侧壁长度l和壁厚t的增加,泊松比逐渐增大到0,图6(a)。v1(t,L)曲面响应中,横梁半长L介于5 mm到2 0 mm时具有负泊松比效应,且随着壁厚t增大泊松比略有增加,图6(b)。v1(l,L)曲面响应中,负泊松比效应也被实现了,图6(c);侧壁长l等于横梁半长L的一半位置时,内凹结构退化为封闭三角形结构,此时结构

43、两箭头 接触,横向变形为零,故泊松比逐渐增大为零。39青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷图6 等效泊松比-尺寸参数响应面F i g.6 P a r a m e t e r r e s p o n s e s u r f a c e s o f e q u i v a l e n t P o i s s o n s r a t i o-s i z ev1(t,)曲面响应中,内凹角介于1 0 到8 0 之间时,实现了负泊松比效应;低于1 0 时结构内部空间趋于零,泊松比趋于无穷大,图6(d)。值得注意的是,观察图6(a)(d)可知,壁厚t对泊松比的影响并不大,可以认为壁厚t为一

44、个常数。将壁厚t设为定值2 mm后,同样,基于三维曲面响应分析尺寸参数对等效弹性模量的影响。在(E1/E0)(,L)函 数 关 系 中,t=2 mm,l=1 7.3 mm;在(E1/E0)(,l)函数关系中,t=2 mm,L=1 1.5 mm;在(E1/E0)(l,L)函数关系中,t=2 mm,=6 0;在(E1/E0)(,t)函 数 关 系 中,l=1 7.3 mm,L=1 1.5 mm。通过数值软件进行绘制,等效弹性模量受尺寸参数影响结果见图7。(E1/E0)(,L)曲面响应显示,内凹角越小,等效弹性模量比值E1/E0越大,而基材模量E0是定值,故等效弹性模量E1越大,如图7(a)所示,这

45、是合理的结果;因为内凹角减小,则结构的内部空间减小,趋于零时结构退化为一个密实体,此时弹性模量快速增大。(E1/E0)(,l)曲面响应显示,内凹角和侧壁长度l减小能使等效弹性模量E1增大,如图7(b)所示,这也是结构密实化带来的理论结果。(E1/E0)(l,L)曲面响应显示,胞元侧壁l越短,等效弹性模量E1越大,而横梁半长L影响较小,如图7(c)所示,这也是合理的现象;1#方向压缩时,上、下横梁主要发生屈曲,而侧壁发生弯曲,是影响结构等效弹性力学的主要因素;侧壁l减小,则结构也 趋 于 密 实,所 以 等 效 弹 性 模 量E1会 增 大。(E1/E0)(,t)曲面响应显示,内凹角越小,壁厚t

46、越大,则等效弹性模量E1越大,如图7(d)所示,这也是密实化 带来的结 果;内 凹 角 减 小,壁 厚 增大,则内部空间减小,结构趋于一个密实体,等效弹性模量较空心结构大。49 第5期 赵昌方等:复合材料负泊松比结构等效弹性力学理论建模图7 等效弹性模量比值-尺寸参数响应面F i g.7 P a r a m e t e r r e s p o n s e s u r f a c e s o f e q u i v a l e n t e l a s t i c m o d u l u s r a t i o2.3 2#方向压缩尺寸参数影响规律2#方向压缩时,同理,需确定两个不变量,然后进行曲面

47、响应分析。当考虑内凹角、侧壁长度l与等效泊松比v2的关系v2(,l)时,确定横梁半长L=1 1.5 mm,壁厚t=2 mm;考虑内凹角、横梁半长L与等效泊松比v2的关系v2(,L)时,确定侧壁长度l=1 7.3 mm,壁厚t=2 mm;考虑侧壁长度、l横梁半长L与等效泊松比v2的关系v2(l,L)时,确定壁厚t=2 mm,内凹角=6 0;考虑内凹角、壁厚t与等效泊松比v2的关系v2(,t)时,确定侧壁长度l=1 7.3 mm,横梁半长L=1 1.5 mm。基于此,绘制的曲面响应关系见图8。从v2(,l)的曲面响应图可知,随着内凹角增大、侧壁长度l增大,则负泊松比v2越大,如图8(a)所示;这是

48、因为内凹角增大和侧壁增长都会使得压缩时横向应变增大,从而增大负泊松比效应;然而,内凹角区域9 0 时,泊松比趋于0,因为结构已不再属于负泊松比结构。从v2(,L)的曲面响应可知,随着内凹角增大其负泊松比v2先增大后减小,随着横梁半长L增大其负泊松比v2逐渐减小,因为结构“长大”了,具有更多的可变形胞壁,如图8(b)所示。v2(l,L)的曲面响应图可知,横梁半长L减小、侧壁长度l增大,负泊松比值v2增大,如图8(c)所示;同理,侧壁l增长结构也有“长大”的趋势。v2(,t)的曲面响应图可知,内凹角增大、壁厚t减小,负泊松比值v2增大,如图8(d)所示;壁厚t减小则更容易发生变形,内凹角增大结构会

49、“长大”。59青 岛 科 技 大 学 学 报(自然科学版)第4 4卷图8 等效泊松比-尺寸参数响应面F i g.8 P a r a m e t e r r e s p o n s e s u r f a c e s o f e q u i v a l e n t P o i s s o n s r a t i o-s i z e 同理,在(E2/E0)(,l)函数关系中,t=2 mm,L=1 1.5 mm;在(E2/E0)(,L)函数关系中,t=2 mm,l=1 7.3 mm;在(E2/E0)(l,L)函数关系中,t=2 mm,=6 0;在(E2/E0)(,t)函数关系中,l=1 7.3 mm

50、,L=1 1.5 mm。绘制的参数影响下2#方向压缩等效弹性模量比值E2/E0三维响应面如图9所示。(E2/E0)(,l)曲面响应中存在一个奇异区域,该区域内等效弹性模量趋于无穷,如图9(a),这是2L-lc o s=0导致的,可以忽略其存在;为此,随着内凹角的增大、侧壁长度l的减小,等效弹性模量比值E2/E0增大,但比值小于1;侧壁l减小会导致结构密实化,等效弹性模量E2会增大,但仍然小于基材模量E0,这是2#方向压缩的结果;因为该方向压缩的力学性能仅由侧壁弯曲贡献,而材料的弯曲模量总小于其拉、压模量,故等效弹性模量E2不可能超越基材模量E0。(E2/E0)(,L)曲面响应显示,内凹角增大、