1、3c = 时，求出该二次函数的图象与x轴的交点坐标； 若21x ，解得3c 30c = =时，此时 1 01 4 pmn 2 1 4 yxxp= + 2 2 1 1 30 4 4 3 yxxp xp yx = + += =+ ，得 ， 03p =，得 9 / 24 . 36. 【中】（孝感市中考题）已知抛物线 （为常数，且）. （1）证明：此抛物线与轴总有两个交点； （2）设抛物线与轴交于两点，若这两点到原点的距离分别为，且 ，求的值. 【答案】(1)，故抛物线与轴总有两个交点. (2). 37. 【中】（门头沟 2011）已知二次函数 2 2yxxm=+的图象与x轴有且只有一个公共 点 求m
2、的值； 若此二次函数图象的顶点为 A ，与y轴的交点为B ，求A B， 两点的坐标； 若 1 ()P ny，、 2 (2)Qy，是二次函数图象上的两点，且 12 yy，请你直接写出n的取 值范围 【答案】根据题意，得 2 240m = 解得1m = 当1m =时， 2 21yxx=+ 二次函数图象的顶点 A 的坐标为() 10， ， 与y轴的交点B 的坐标为() 01， n的取值范围是2n 或4n ，即0 22 11 3(2)4 44 yxxx= += + 4y= 最大值 22 4 3 kkxxy+=k0k x x NM、ONOM、 3 211 = OMON k 2 40k = x 2k =
3、O y x 10 / 24 不论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根 将2x =代入方程() 2 130 xmxm+=， 得3m = 再将3m =代入，原方程化为 2 20 xx=， 解得 12 02xx=， 将3m =代入得抛物线： 2 2yxx=， 将抛物线 2 2yxx=绕原点旋转180得到的图象 2 C的解析式为： 2 2yxx= 设() 0P x， ，则() 2 3M xx +，() 2 2N xxx， () () 2 222 15 322232 22 MNxxxxxx =+ =+=+ 当 1 2 x= 时，MN的长度最小， 此时点P的坐标为 1 0 2 ， 39. 【中】（201
4、2年荆州市中考题）已知： 关于的函数的图 象与轴有交点. （1）求的取值范围； （2）若是函数图象与轴两个交点的横坐标，且满 . 求的值； 当时，求的最大值与最小值. 【答案】（1）当时，符合题意；当时，由得.故的取值范围 是. （2）， ，代入 得. ， . 解得（舍去）. 当时， 当；当. P O N M y x yx 221)-( 2 +=kkxxky x k 21 xx、x 212 2 1 4221)-(xxkkxxk=+ k 2+kxk y 1k =1k 02k k 2k 12 xx 2 11 21(1)22kkkxkkx+=且， 又 2 1212 (1)224kxkxkx x+=
5、1212 2 ()4k xxx x+= 1212 22 11 kk xxx x kk + += ， 22 2 4 11 kk k kk + = i 12 12kk= =， 1k = 2 2 13 221211 22 yxxxx = + = + 且 13xy= = 最小 时， 13 22 xy= 最大 时， 11 / 24 40. 【难】（2012 年门头沟一模）已知抛物线 2 2yaxx=+ 当1a = 时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴； 若代数式 2 2xx+的值为正整数，求x的值； 若a是负数时，当 1 aa=时，抛物线 2 2yaxx=+与x轴的正半轴相交于点 ()0M m，；当 2 a
6、a=时，抛物线 2 2yaxx=+与x轴的正半轴相交于点()0N n，若 点M 在点N的左边，试比较 1 a 与 2 a 的大小 【答案】当1a = 时， 2 2yxx= +， 1a = ，1b =，2c = 抛物线的顶点坐标为 19 24 ， ，对称轴为直线 1 2 x = 代数式 2 2xx+的值为正整数， 函数 2 2yxx= +的值为正整数 又因为函数的最大值为 9 4 ， y的正整数值只能为 1 或 2 当 1y = 时， 2 21xx+=，解得 1 15 2 x + =， 2 15 2 x = 当 2y = 时， 2 22xx+=，解得 3 0 x =， 4 1x = x的值为 1
7、 15 2 x + =， 2 15 2 x =， 3 0 x =， 4 1x = 当0a 时，即 1 0a ， 2 0a 经过点M 的抛物线 2 1 2ya xx=+的对称轴为 1 1 2 x a = ， 经过点N的抛物线 2 2 2ya xx=+的对称轴为 2 1 2 x a = 点M 在点N的左边，且抛物线经过点() 02， 直线 1 1 2 x a = 在直线 2 1 2 x a = 的左侧 1 1 2a 2 1 2a 解得3k 3k 且k为正整数， 1k =或 2 当1k =时， 2 4yxx=，与x轴交于点()00，、()40，符合题意； 当2k =时， 2 42yxx=+，与x轴的
8、交点不是整数点，故舍去 综上所述，1k = 2 , 4 yx yxx = = ， 点C的坐标是() 55， OC与x轴的夹角为45 过点Q作QN PM 于点N，（注：点Q在射线PC上时，结果一样，所以 只写一种情况即可） MN O 1 2 x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1234512x y O 13 / 24 45NQP=， 1 2 SPM NQ= 2PQ =， 1NQ = () P tt，则 () 2 4M ttt， PM = 22 (4 )5ttttt= + 2 1 5 2 Stt=+ 当05t时， 3 8 c 时直线y x= 与抛物线 2 3 8 yxxc=+没有交点 43
9、. 【难】（2012年海淀二模）已知抛物线 2 (1)(2)1ymxmx=+与x轴交于A B， 两 点 求m的取值范围； 若1m ，且点A在点B的左侧，:1:3OA OB =，试确定抛物线的解析式； 设中抛物线与y轴的交点为C，过点C作直线lx轴，将抛物线在y轴左侧的部 分沿直线l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象请你结合新图象回 答：当直线 1 3 yxb=+与新图象只有一个公共点() 00 P xy， 且 0 7y时，求b的取值范 围 【答案】抛物线 2 (1)(2)1ymxmx=+与x轴交于A B， 两点， 2 10 (2)4(1)0. m mm = + ， -1-2-3-4
10、 -5 8 81 23 4 5 6 7 -4 -3 -2 -1 7 6 5 4 3 2 1 Ox y 15 / 24 由得1m， 由得0m， m的取值范围是0m且1m 点A B， 是抛物线 2 (1)(2)1ymxmx=+与x轴的交点， 令 0y = ，即 2 (1)(2)10mxmx+ = 解得 1 1x = ， 2 1 1 x m = 1m ， 1 01. 1m 点A在点B左侧， 点A的坐标为() 10 ， ，点B的坐标为 1 0 1m ， 1OA =， 1 1 OB m = :1:3OA OB =， 1 3 1m = 4 3 m = 抛物线的解析式为 2 12 1 33 yxx= 点C是
11、抛物线 2 12 1 33 yxx=与y轴的交点， 点C的坐标为() 01， 依题意翻折后的图象如图所示 令 7y = ，即 2 12 17 33 xx = 解得 1 6x =， 2 4x = 3-1 lC BA D O x y 16 / 24 新图象经过点() 67D， 当直线 1 3 yxb=+经过D点时，可得5b = 当直线 1 3 yxb=+经过C点时，可得1b = 当直线 1 (1) 3 yxb b=+ 的图象仅有一个公共点() 00 P xy， 时，得 2 000 112 1 333 xbxx+= 整理得 2 00 3330.xxb= 由 2 ( 3)4( 33)12210bb =
12、 =+=，得 7 4 b = 结合图象可知，符合题意的b的取值范围为15b 或 7 4 b 44. 【难】（顺义2011、2012通州二模）已知关于x的方程 2 (31)220mxmxm+= 求证：无论m取任何实数时，方程恒有实数根； 若m为整数，且抛物线 2 (31)22ymxmxm=+与x轴两交点间的距离为2，求抛 物线的解析式； 若直线y xb=+ 与中的抛物线没有交点，求b的取值范围 【答案】分两种情况讨论 当0m =时，方程为x20 = 2x =方程有实数根 当0m ，则一元二次方程的根的判别式 ()() 2 222 314229618821mmmmmmmmm = =+ +=+ ()
13、 2 1m=+ 不论m为何实数，0成立， 方程恒有实数根 综合、，可知m取任何实数，方程() 2 31220mxmxm+=恒有实数 根 设 12 xx，为抛物线() 2 3122ymxmxm=+与x轴交点的横坐标 令 0y = ，则() 2 31220mxmxm+= 由求根公式得， 1 2x =， 2 1m x m = 抛物线 2 (31)22ymxmxm=+不论m为任何不为0的实数时恒过定点 ()20， 12 2xx= 2 22x= 2 0 x =或 2 4x =， 1m =或 1 3 m = （舍去） 求抛物线解析式为 2 2yxx=， 由 2 2yxx yxb = =+ ，得 2 30 xxb=
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