1、实用价值，Sierpinski三角形结构节省材料，强度高，例如埃菲尔铁塔的结构与它就很相似。【步骤】1. 在平面上任意画一个三角形ABC，取三边中点为D、E、F，连接DEF。2. 新建参数n33. 顺次选择B,C,A三点和参数n，作深度迭代,。4. 添加新的映射, 。第 3 步第 4 步5. 继续添加映射。6. 改变参数n可观察图形变化。第 5 步第 6 步【Sierpinski地毯】和Sierpinski地毯相似，只是步骤多了一些。取正方形将其 9 等分，得到 9 个小正方形，舍去中央的小正方形，保留周围 8 个小正方形。然后对每个小正方形再 9 等分，并同样舍去中央正方形。按此规则不断细分
2、与舍去，直至无穷。谢尔宾斯基地毯的极限图形面积趋于零，小正方形个数与其边的线段数目趋于无穷多，它是一个线集，图形具有严格的自相似性。【步骤】1. 平面上任取线段AB，以线段AB构造正方形ABCD。2. 以A为缩放中心，B、D缩放为1/3,得到E、F；以D为缩放中心，A、C缩放为1/3得到G、H。同理得到I、J、K、L。连接各点，将正方形九等分；3. 并填充中间的正方形MNOP，度量MNOP的面积，选择改度量结果和填充的正方形，单击【显示】【颜色】【参数】，单击确定。则该MNOP的颜色随它的面积变化而变化。第 2 步第 3 步4. 新建参数n4，顺次选择A、B两点和参数n，作深度迭代，（A，B）
3、（G，P）；（P，O）；（O，J）；（F，M）；（M，N）；（N，K）；（A，E）；（E，L）；（L，B）。注意迭代中点的对应，当迭代框遮住图像的时候可用鼠标选中拖动开。单击迭代，隐藏不必要的点。如果我们制作任意三角形的Sierpinski三角形和任意四边形的Sierpinski地毯（即三角形和四边形的顶点都是自由点），然后按照多面体的侧面数将他们复制。利用画板合并点的功能，将它们“粘贴”到三棱锥和正方体的各个侧面上，（如下图）可以制作空间的Sierpinski三角形和地毯。是不是很漂亮呢？【摇曳的Pythagorean Tree(毕达哥拉斯树)】毕达哥拉斯学派发现勾股定理(西方叫做毕达哥拉斯
4、定理)闻名于世，又由此导致不可通约量的发现。1988年，劳威尔通过数值研究发现毕达哥拉斯树花是一迭代函数系的J集。【步骤】1. 在屏幕上以任取两点A和B，作正方形ABCD，以CD为直径作圆O，取半圆弧，在该弧上任取一点E，连接CE，DE。隐藏不必要的对象。2. 填充四边形ABCD，度量ABCD的面积。选择四边形和度量结果，单击【显示】【颜色】【参数】。则四边形的颜色会随它的面积变化而变化。3. 新建参数n4，选择A、B和n，作深度迭代，。第2 步第 3 步4. 选择E点，单击【编辑】【操作类按钮】【动画】，E点变动，很漂亮的效果。当E点在的中点时，整个树显出对称美。【分形树】【分析】和毕达哥拉
5、斯树类似，树枝按一定的规律生长。【过程】1. 在垂直方向上画线段AB，在AB左上区域任取一点C。 2. 度量CB，BA的长度，计算CB/BA；度量的大小。3. 双击C点作为旋转中心，旋转角度为，旋转B得到点E；继续以CB/BA为缩放比例，E点缩为F点；双击线段CB作为标记镜面，得到F点关于线段CB的对称点G。连接GC，FC。4. 双击线段AB作为标记镜面，得到C、F、G关于线段AB的对称点D、H、I，连接BD、HD、ID。第 3 步第4 步5. 新建参数n=3。顺次选择A、B、C三点和参数n，作深度迭代，(A,B,C) (B,C,G),(B,C,F),(B,D,H),(B,D,I)。6. 移动
6、C点的位置，改变树枝的形状。【KOCH 曲线】瑞典数学家柯赫于1904年构造了如今称之为“柯赫曲线”(Koch curve)的几何对象，这一年 他一共发表了两篇论文描述这种曲线，他画出了此曲线的图形，给出了生成步骤。它的构造过程如下：取一条长度为L的直线段，与构造三分康托尔点集那样先将它三等分，然后保留两侧的两段，将中间的一段改成夹角为的两个等长的直线，每段长度均为L/3，这是n=1的第一次操作。类似地，第二次操作是将上次所得的四段边长为L/3的线段都进行三等分，现在每段长度为L/9，并将它们中间的一段改成夹角为的两个长度为L/9的直线。如果将上述操作一直进行下去，最终得到一条具有自相似结构的
7、曲线，称为三次科赫曲线。【步骤】1. 画线段AB，以A为缩放中心，B缩短为1/3,得到C点；同理以B为缩放中心，A缩短为1/3，得到D点。以C点为旋转中心，D点顺时针旋转60度，得到E点。2. 隐藏线段AB，连接线段AC、CE、ED、DB。3. 新建参数n3，顺次选择A、B两点和n，作深度迭代。(A,B) (A,C),(C,E),(E,D),(D,B)。（如下图所示）4. 单击迭代框的“显示”按钮，选择“显示最终迭代”。隐藏线段AC、CE、ED、DB（如下图所示）。5. 改变参数n，观察图形变化。【KOCH雪花】因为它酷似雪花，所以叫“雪花曲线”(snowflake curve)，也很像海岸线
8、。柯赫曲线的生成过程很简单，以一个三角形作为源多边形，即初始元，将三角形的每一边做三等分，舍去中间的1/3，然后按科赫曲线的规则产生生成元。从源多边形开始，第一步形成一个六角星形，第二步将六角星形的12条边然后按科赫曲线的生成规则进行同样的操作得48条边星形，如图4-5，以后依此进行同样得操作，直至无穷，生成称为科赫雪花的图形。在极限的情况下，科赫雪花的上的折线演变成为曲线。由于科赫曲线生成中的每一步操作都会使折线的长度增加，所以在极限的情况下，科赫雪花边的总长度将趋于无穷。柯赫曲线是很复杂的，首先它有许多折点，到处都是“尖端”，用数学的语言讲，曲线虽然 连续，但处处不可微，即没有切线。【步骤
9、】1. 在平面上取AB做一个KOCH曲线，然后在A的左端任取一点G，在B的右边任取一点F，分别在AG和BF上做KOCH雪花，注意三个迭代深度都必须为n。2. 以B点为旋转中心，A顺时针旋转60度得到H点。选择G，H两点，单击【编辑】【合并点】，则G点与H点合并。同理，再合并H、F两点。KOCH雪花完成了。【数学之美】【步骤】1. 任取两点A、B，并作正方形ABCD。2. 在AB上任取一点E,连接BE，度量线段BE的长度并计算BE/AB。3. 双击A点作为缩放中心，选择D点，单击【变换】【缩放】以计算结果AE/AB为比例缩放，得到点F；同理以D点为中心，缩放C点得到点G；以C点为缩放中心，缩放B
10、点得到点H。连接正方形EFGH。4. 新建参数n5，顺次选择A、B两点，和参数n，按下shift键不放，作深度迭代， 。如下图所示：5. 选择E点，点击【编辑】【操作类按钮】【动画】。E点变动，产生梦幻般的效果。【H迭代】【步骤】1. 在水平直线上取两点A和B，连接AB。以A点为旋转中心，B点顺时针旋转90度，得到C点，再取AC中点D。2. 以D为旋转中心，C点顺时针旋转90度得到E点，取DE中点F。以D为旋转中心，F点再旋转180度得到G点。连接FG。3. 同理再画出H、I两点。以AB为标记镜面，得到F、G、H、I关于AB的对称点J、K、L、M，连接线段JK，LM。（如下图所示）4. 隐藏不
11、必要的点，新建参数n4。顺次选择A、B两点、参数n，作深度迭代，. 5. 单击迭代，隐藏各点的标签。【蜂巢】蜜蜂地巢你观察过没有？是什么形状呢？聪明的蜜蜂选择了正六边形，因为这样可以填充整个空间，而且正六边形是最省材料的一中结构。从蜂巢中我们也可以发现许多自相似的结构。由三条边迭代就可以得到蜂巢了，不信？请看。【步骤】1. 屏幕上任取线段AB，以B为旋转中心，A点顺时针旋转120度得到点C，A点逆时针旋转120度得到点D。2. 新建参数n5。选择A、B和参数n，作深度迭代，。3. 单击迭代，得到蜂巢的图像。上面的迭代只是分形几何的一部分，由于篇幅所限，下面给出其余一些分形几何的图片，以供欣赏：
12、第三章：函数迭代【多项式求根】【分析】多项式求根的迭代式是。【步骤】1. 新建参数a=-0.1,b=-0.1,c=1,d=2,e=-1，n5。2. 新建函数，画出它的图像。3. 在图像上任取一点A，度量A的横坐标。4. 计算；计算。5. 依次选择，单击【图表】【绘制点】。得到点B。6. 度量B的横坐标。7. 选中点A，和参数n，按住Shift键，单击【变换】菜单【深度迭代】，弹出迭代对话框，单击点B。结果如图1所示。图 1图 28. 选择迭代像，单击【变换】菜单【终点】，得到迭代的终点C，度量C点的横坐标。9. 观察表格可知，显示方程的一个近似根是0.42。10. 拖动A点，改变它的位置。观察表格可知道方程的另外一个近似根是3.41。如图2所示。【MIRA】【步骤】1. 在平面上取一点A，度量A的横坐标和纵坐标。2. 新建参数a0.4，b=0，99875。（b取得尽量接近1）3. 新建
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