1、层次分析法 Analytic Hierarchy Process AHP T.L.saaty 1 层次分析法建模 一 问题的提出 例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性 、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。 买饭，则要依据色、香、味、价格等方面 的因素选择某种饭菜。 决策是指在面临多种方案时需要依据一定的 标准选择某一种方案。 2 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷 人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般 会依据景色、费用、食宿条件、旅途等因素选择 去哪个地方。 例例2 2 旅游旅游 例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业 等单位可以去选择，一般依据工作环境、工
2、资 待遇、发展前途、住房条件等因素择业。 由于经费等因素，有时不能同时开展几 个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、 理论价值、被培养人才等因素进行选题。 面临各种各样的方案，要进行比较、判 断、评价、最后作出决策。这个过程主观因素 占有相当的比重给用数学方法解决问题带来不 便。T.L.saaty等人在20世纪七十年代提出了一 种能有效处理这类问题的实用方法。 例4 科研课题的选择 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP)这是一种定性和定量相结合的、 系统化的、层次化的分析方法。 过去研究自然和社会现象主要有机理分 析法和统计分析法两种方法，前者用经典的数
3、学 工具分析现象的因果关系，后者以随机数学为工 具，通过大量的观察数据寻求统计规律。近年发 展的系统分析是又一种方法，而层次分析法是系 统分析的数学工具之一。 层次分析法的基本思路 ： 与人们对某一复杂决策问题的思维、判断过程大体 一致。 选择钢笔 质量、颜色、价格、外形、实用 钢笔1、钢笔2、钢笔3、钢笔4 将各个钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用进 行排序经综合分析决定买哪支钢笔 二 层次分析法的基本步骤 买钢笔 质量 颜色 价格 外形 实用 可供选择的笔 1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为 方案层，中间是准则层或指标层。 例1 购买钢笔的层次结构模型 准则层 方
4、案层 目标层 7 例2 旅游地选择层次结构模型 选择 旅游地 景色 费用 居住 饮食 旅途 苏州、杭州、 桂林 准则层A 方案层B 目标层Z 若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被 下一层所有因素影响，称为完全层次结构，否则称为 不完全层次结构。 8 2 构造成对比较矩 阵 设某层有 个因素， 要比较它们对上一层某一准则（或目标）的影 响程度，确定在该层中相对于某一准则所占的 比重。（即把 个因素对上层某一目标的影响 程度排序） 上述比较是两两因素之间进行的比较，比较时 常取19尺度。 9 2 构造成对比较矩 阵 用 表示第 个因素相对于第 个因素的比较结果，则 则称为成对比较矩阵。
5、10 尺度 第 个因素与第 个因素的影响相 同 第 个因素比第 个因素的影响稍 强 第 个因素比第 个因素的影响 强 第 个因素比第 个因素的影响明显 强 第 个因素比第 个因素的影响绝对地 强 含义 比较尺度：（19尺度的含义） 2,4,6,8表示第 个因素相对于第 个因素的影响 介于上述两个相邻等级之间。不难定义以上各尺 度倒数的含义，根据 。 由上述定义知，成对比较矩阵 则称为正互反阵。 比如，例2的旅游问题中，第二层A的各因素对目标层Z 的影响两两比较结果如下： 满足以下性质 ZA1A2A3A4A5 A1 A2 A3 A4 A5 11/2433 21755 1/41/711/21/3
6、1/31/5211 1/31/5311 分别表示 景色、费用、 居住、饮食、 旅途。 由上表，可得成对比较矩阵 问题：两两进行比较后，怎样才能知道，下层各 因素对上层某因素的影响程度的排序结果呢？ 旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个5阶，5个3 阶）。 3 层次单排序及一致性检验 层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。 例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量 分别记为： 则可得成对比较矩阵 由右面矩阵可以看出， 即， 但在例2的成对比较矩阵中， 在正互反矩阵 中，若 ,则称 为一致阵。 一致阵的性质： 5
7、. 的任一列(行)都是对应于特征根 的特征 向量。 若成对比较矩阵是一致阵，则我们自然会取对应于最 大特征根 的归一化特征向量 ， 且 定理： 阶正互反阵 的最大特征根 ， 当且仅 当 时， 为一致阵。 表示下层第 个因素对上层某因素影响程度的权值 。 若成对比较矩阵不是一致阵，Saaty等人建议用其最大 特征根对应的归一化特征向量作为权向量 ，则 （为什么？） 这样确定权向量的方法称为特征根法. 由于 连续的依赖于 ，则 比 大得越多， 的 不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较 因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大， 引起的判断误差越大。因而可以用 数值的大小
8、来衡 量 的不一致程度。 定义一致性指标 其中 为 的对角线元素之和，也为 的特征根之和 。 则可得一致性指标 定义随机一致性指标 随机构造500个成对比较矩阵 随机一致性指标 RI 的数值： n1234567891011 RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51 一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.1 及随机一致性指标的数值表，对 进行检验的过程 。 一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，可用其归一化特征向量 作为权向量，否则要重新构造成对比较矩阵，对 加 以调整。 时，认为 4 层次总排序及其一致性检验 确定某层所有因素对于总目标相对
9、重要性的排序权值过 程， 称为层次总排序 从最高层到最低层逐层进行。设： 对总目标Z的排序为 的层次单排序为 即 层第 个因素对总目标的权值 为： 层的层次总排序为： B层的层次 总排序 A B 即 层第 个因素对总目标的权值 为： 层次总排序的一致性检验 设 层 对上层( 层)中因素 的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ， 则层次总排序的一致性比率为： 当 时，认为层次总排序通过一致性检验 。到 此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。 1.建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。 层次分析法的基本步骤归纳如下 3.计算单排序权向量并做一致性检验 2.构造成对
10、比较矩阵 从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。 对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量 ，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致 性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量 ；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。 计算最下层对最上层总排序的权向量。 4.计算总排序权向量并做一致性检验 进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进 行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比 率 较大的成对比较矩阵。 利用总排序一致性比率 三层次分析法建模举例 一、旅游问题 (1)建模 分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。 分别表示苏杭、北戴河、桂林 。 26
11、 （2）构造成对比较矩阵 (3)计算层次单排序的权向量和一致性检验 成对比较矩阵 的最大特征值 表明 通过了一致性验证。 故 则 该特征值对应的归一化特征向量 对成对比较矩阵 可以 求层次 总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下： 计算 可知 通过一致 性检验。 对总目标的权值为： （4）计算层次总排序权值和一致性检验 又 决策层对总目标的权向量为： 同理得， 对总目标的权值分别为 ： 故，层次总排序通过一致性检验。 可作为最后的决策依据。 故最后的决策应为去桂林。 又 分别表示苏杭、北戴河、桂林 ， 即各方案的权重排序为 某工厂有一笔企业留成利润，要由领 导决定如何利用。可供选择的方案有：
12、以奖 金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进 新设备等。为了进一步促进企业发展，比如 调动职工的积极性、提高企业的技术水平、 引进新设备等。如何合理使用这笔利润。 2 合理分配资金问题 32 合理分配资金问题 层次结构模型 合理利用企业利润 Z 调动职工 的积极性C1 提高企业的 技术水平C2 改善职工的 生活条件C3 发奖金P1 扩建福利事业P2 引进新设备P3 33 2 求解 Z-C矩阵 Z C1 C2 C3 W C1 C2 C3 1 1/5 1/3 5 1 3 3 1/3 1 0.105 0.637 0.258 CI RI CR 3.038 0.019 0.58 0.0033P2 1 系
13、统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比 较判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计 分析之后发展起来的系统分析的重要工具。 2 实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用 传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同 时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策 者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。 四 层次分析法的优点和局限性 38 3 简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本 原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得 结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。 以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限 性主要表现在以下几个方面： 第一 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更 好的新方案。 第二 该法中的比较、判断以及结果的计算过程 都是粗糙的，不适用于精度较高的问题 。 第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩 阵，人主观因素对整个过程的影响很 大， 这就使得结果难以让所有的决策者接 受。 当然采取专家群体判断的办法是克服 这个 缺点的一种途径。 思考： 多
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