专题二 第4讲平面向量“奔驰定理”.docx

1、第4讲平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为ABC内一点，则有SPBCSPACSPAB0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用例(1)已知点A，B，C，P在同一平面内， ， ，则SABCSPBC等于()A143 B194 C245 D296答案B解析由，得()，整理得，由，得()，整理得，整理得4690，SABCSPBC(469)4194.(2)已知点P，Q在ABC内，232350，则等于()A. B. C. D.答案A解析根据奔驰定理得，SPBCSPA

2、CSPAB123，SQBCSQACSQAB235，SPABSQABSABC，PQAB，又SPBCSABC，SQBCSABC，.(3)过ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q， ， n，则n的值为_答案解析因为O是重心，所以0，即，() ，nn()n(1n) ，因为P，O，Q三点共线，所以，所以(1n)n，解得n. “奔驰定理”与三角形“四心”：已知点O在ABC内部，有以下四个推论：(1)若O为ABC的重心，则0.(2)若O为ABC的外心，则sin 2Asin 2Bsin 2C0.(3)若O为ABC的内心，则abc0.备注：若O为ABC的内心，则sin Asin Bsin C0也对(4

3、)若O为ABC的垂心，则tan Atan Btan C0.1点P在ABC内部，满足230，则SABCSAPC为()A21 B32 C31 D53答案C解析根据奔驰定理得，SPBCSPACSPAB123.SABCSAPC31.2点O为ABC内一点，若SAOBSBOCSAOC432，设，则实数和的值分别为()A.， B.， C.， D.，答案A解析根据奔驰定理，得3240，即32()4()0，整理得，故选A.3.设点P在ABC内且为ABC的外心，BAC30，如图若PBC，PCA，PAB的面积分别为，x，y，则xy的最大值是_答案解析根据奔驰定理得，xy0，即2x2y，平方得24x224y228xy| |cosBPC，又因为点P是ABC的外心，所以| |，且BPC2BAC60，所以x2y2xy，(xy)2xy2，解得0xy，当且仅当xy时取等号所以(xy)max.