专题二 第4讲平面向量“奔驰定理”.docx
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1、第4讲平面向量“奔驰定理”定理:如图,已知P为ABC内一点,则有SPBCSPACSPAB0.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似,我们把它称为“奔驰定理”这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题,尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题,有着决定性的基石作用例(1)已知点A,B,C,P在同一平面内, , ,则SABCSPBC等于()A143 B194 C245 D296答案B解析由,得(),整理得,由,得(),整理得,整理得4690,SABCSPBC(469)4194.(2)已知点P,Q在ABC内,232350,则等于()A. B. C. D.答案A解析根据奔驰定理得,SPBCSPA
2、CSPAB123,SQBCSQACSQAB235,SPABSQABSABC,PQAB,又SPBCSABC,SQBCSABC,.(3)过ABC重心O的直线PQ交AC于点P,交BC于点Q, , n,则n的值为_答案解析因为O是重心,所以0,即,() ,nn()n(1n) ,因为P,O,Q三点共线,所以,所以(1n)n,解得n. “奔驰定理”与三角形“四心”:已知点O在ABC内部,有以下四个推论:(1)若O为ABC的重心,则0.(2)若O为ABC的外心,则sin 2Asin 2Bsin 2C0.(3)若O为ABC的内心,则abc0.备注:若O为ABC的内心,则sin Asin Bsin C0也对(4
3、)若O为ABC的垂心,则tan Atan Btan C0.1点P在ABC内部,满足230,则SABCSAPC为()A21 B32 C31 D53答案C解析根据奔驰定理得,SPBCSPACSPAB123.SABCSAPC31.2点O为ABC内一点,若SAOBSBOCSAOC432,设,则实数和的值分别为()A., B., C., D.,答案A解析根据奔驰定理,得3240,即32()4()0,整理得,故选A.3.设点P在ABC内且为ABC的外心,BAC30,如图若PBC,PCA,PAB的面积分别为,x,y,则xy的最大值是_答案解析根据奔驰定理得,xy0,即2x2y,平方得24x224y228xy| |cosBPC,又因为点P是ABC的外心,所以| |,且BPC2BAC60,所以x2y2xy,(xy)2xy2,解得0xy,当且仅当xy时取等号所以(xy)max.
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