专题10立体几何(解析版)-高三数学(理)百所名校好题分项解析汇编之全国通用专版(2021版).docx
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1、等边三角形,E为BD的中点,AEBD,且AE,如图,连接CE,BCD是斜边长为2的等腰直角三角形,CEBD1,在AEC中,AC2,EC1,AE,AC2AE2EC2,AEEC.BDECE,BD平面BCD,EC平面BCD,AE平面BCD.(2)解方法一取CD的中点F,连接AF,EF,ACAD,CDAF.由(1)可知,AECD,AEAFA,AE平面AEF,AF平面AEF,CD平面AEF,又CD平面ACD,平面AEF平面ACD.设PD,AE相交于点G,则点G为ABD的重心,AGDGAE.过点G作GHAF于H,则GH平面ACD,连接DH,则GDH为直线PD与平面ACD所成的角易知AGHAFE,EFBC,
2、AF,GHEF,sinGDH,即直线PD与平面ACD所成角的正弦值为.方法二由(1)可知AE平面BCD,且CEBD,可作如图所示的空间直角坐标系Exyz,则A(0,0,),C(1,0,0),D(0,1,0),P,(0,1,),(1,1,0),设平面ACD的一个法向量为n(x,y,z),即取xy1,则z,n为平面ACD的一个法向量,设PD与平面ACD所成的角为,则sin ,故直线PD与平面ACD所成角的正弦值为.2(2019全国)如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA14,AB2,BAD60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点(1)证明:MN平面C1DE;(2)求二面角
3、AMA1N的正弦值(1)证明如图,连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且MEB1C.又因为N为A1D的中点,所以NDA1D.由题设知A1B1DC且A1B1DC,可得B1CA1D且B1CA1D,故MEND且MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又ED平面C1DE,MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)解由已知可得DEDA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,2),N(1,0,2),(0,0,4),(1,2),(1,0,2),(0,0)设m(x,y,z)为平
4、面A1MA的法向量,则所以令y1,则m(,1,0)设n(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则所以令p2,则n(2,0,1)所以cosm,n.所以sinm,n,所以二面角AMA1N的正弦值为.3.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD底面ABCD,底面ABCD为直角梯形,其中ABCD,CDA90,CD2AB2,AD3,PA,PD2,点E在棱AD上且AE1,点F为棱PD的中点(1)证明:平面BEF平面PEC;(2)求二面角ABFC的余弦值(1)证明在RtABE中,由ABAE1,得AEB45,同理在RtCDE中,由CDDE2,得DEC45,所以BEC90,即BEEC.在PAD中,cosPAD,在P
5、AE中,PE2PA2AE22PAAEcosPAE51214,所以PE2AE2PA2,即PEAD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,PE平面PAD,所以PE平面ABCD,所以PEBE.又因为CEPEE,CE,PE平面PEC,所以BE平面PEC,又BE平面BEF,所以平面BEF平面PEC.(2)解由(1)知EB,EC,EP两两垂直,故以E为坐标原点,以射线EB,EC,EP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),A,D(,0),F,(,2,0),设平面ABF的法向量为m(x1,y1,z1),则不妨设x11,
6、则m(1,1,2),设平面BFC的法向量为n(x2,y2,z2),则不妨设y22,则n(4,2,5),记二面角ABFC为(由图知应为钝角),则cos ,故二面角ABFC的余弦值为.4. (2020潍坊模拟)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PAD是正三角形,CD平面PAD,E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AD的中点(1)求证:PO平面ABCD;(2)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;(3)在线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为,若存在,求线段PM的长度;若不存在,说明理由(1)证明因为PAD是正三角形,O是AD的中点,所以POAD
7、.又因为CD平面PAD,PO平面PAD,所以POCD.又ADCDD,AD,CD平面ABCD,所以PO平面ABCD.(2)解如图,以O点为原点,分别以OA,OG,OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(2,4,0),D(2,0,0),G(0,4,0),P(0,0,2),E(1,2,),F(1,0,),(0,2,0),(1,2,),设平面EFG的法向量为m(x,y,z),则即令z1,则m(,0,1),又平面ABCD的法向量n(0,0,1),设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为,所以cos .所以平面EFG与平面ABC
8、D所成锐二面角为.(3)解假设在线段PA上存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为,即直线GM的方向向量与平面EFG法向量m所成的锐角为,设,0,1,所以(2,4,22),所以cos |cos,m|,整理得22320,0,方程无解,所以,不存在这样的点M.人.求该客户是高消费的中老年人的概率;(2)估计低消费的年轻人的平均消费;(同一组的数据用该组区间的中点值为代表);(3)完成下面的列联表,并判断能否有99%的把握认为旅游消费的高低与年龄有关.低消费高消费合计年轻人中老年人合计附表及公式:,其中0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82823 (2020
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