1、【秒杀题型五】：二项展开式中的系数最值问题。【题型1】：二项式系数最值问题。秒杀策略：二项式系数性质：当幂指数n为偶数时，中项即第项二项式系数最大；当幂指数n为奇数时，中项即第项二项式系数相等且最大。1.(2013年新课标全国卷I9)设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为a，展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=17b，则m= ( )A.5 B.6 C.7 D.8【解析】：前面展开后共有2m+1(奇数项)，后面展开后共有2m+2(偶数项)，则有：，化为阶乘：，得m=6，选B。2.(2015年湖北卷)已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )A. B.
2、C. D.【解析】：由，得n=10，奇数项与偶数项的二项式系数和相等：为，选D。【题型2】：系数最值问题。秒杀策略：有两种类型问题，一是找是否与二项式系数有关，如有关系，则转化为二项式系数最值问题；如无关系，则转化为解不等式组：，注意：系数比较大小。1.(高考题)在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为 。【解析】：有关型：系数的绝对值等于二项式系数，第六项与第七项的二项式系数相等且最大，第六项为负，即第六项的系数最小为。2.(高考题)设则= 。【解析】：有关型：。【秒杀题型六】：二项展开式中的有理项系数。秒杀策略：写出通项，确定有理项的规律。1.(高考题)在的展开式中，系数为有理数的项共有
3、项。【解析】：，要使系数为有理数，需为4的倍数，即0，4，12，16，20共6项。2.(高考题)的展开式中系数为有理数项的共有 项。【解析】：，即r既是3的倍数，又是2的倍数，即是6的倍数，r=0，6，12，.，96，共17项。【秒杀题型七】：二项展开式中的二项式系数和、各项系数和与差。【题型1】：求二项式系数和、各项系数和。秒杀策略：二项展开式二项式系数和：；奇数项与偶数项二项式系数和相等：。系数和：赋值法：二项展开式的系数表示式：(是系数)，令x=1得系数和：。1.(2011年新课标全国卷5)的展开式中各项系数和为2，则该展开式中常数项为 ( ) A.40 B.20 C.20 D.40【解
4、析】：令x=1得系数和：，再利用分配系数法得常数项为40，选D。2.(高考题)已知的展开式中，各项系数和与其各项二项式系数和之比为，则n等于 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】：令得系数和：，二项式系数和：，之比为=，得n=6，选C。3.(高考题)设，则的值为 ( ) A.2 B.1 C.1 D.2【解析】：令x=-1得系数和：-2，选A。4.(高考题)展开式中不含项的系数的和为 ( ) A.1 B.0 C.1 D.2【解析】：令x=1得系数和：1，的系数是1，选B。5.(高考题)在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 。【解析】：二项式系数和：=，n=8，
5、利用通项得，当r=2时，常数项为112。6.(高考题)若 ，则。(用数字作答) 【解析】：，令x=1得系数和：1，原式=2004。【题型2】：求奇数项或偶数项系数和。秒杀策略：，令得系数和：；令得奇数项系数和减去偶数项系数和：，解上面方程组分别求得奇数项系数和与偶数项系数和。1.(2015年新课标全国卷II5)的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32，则a= 。【解析】：设=，令x=1与x=-1，作差得a=3。2.(高考题)已知,则(的值等于 。【解析】：令得系数和：0；令得：32，解方程组得，原式=-256。3.(高考题)若则的值为 ( ) A.1 B.1 C.0 D.2【解析】：原式=，令x=1与x=-1分别得：，原式=，选A。4.(2020年新高考浙江卷12)二项展开式，则 ， 。【解析】：r=4，=80，令x=1与x=-1，作差得=122。
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