第五章连续体力学.ppt

1、第五章 连续体力学连续体包括刚体、弹性固体、流体（液体和气体） 本章重点介绍刚体的力学规律。1、刚体 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。刚体上的任两点间的距离 始终保持不变。刚体是一种理想模型。5-1 刚体运动学一、刚体的平动与转动： 2、平动 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行，这种 运动称为刚体的平动。 注意：刚体平动时，质点的轨迹不一定是直线。特征： 各个质点的位移、速度、加速度相等。例：黑板擦、电梯、活塞的运动。3、转动 - 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。复杂运动可视为刚体平动和刚体转动的叠加。 定轴转动 转轴相对参考系固定不动的转动。1）各点的角位移、角速度、角加速度相同

2、。2）各点的线位移、线速度、线加速度不同。特征：二、刚体定轴转动的角量描述：平均角速度： 角速度：角加速度：角位移:AA定轴转动只有两个转动方向。规定沿 ox 轴逆时针转动为正方向，反之为负方向。角位置：刚体定轴转动的运动学方程。刚体作匀变速转动时，相应公式如下： 角量与线量的关系：AA线速度与角速度之间的矢量关系为: 由于在定轴转动中轴的位置不变，故 只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替。例1一半径为R = 0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t 的 变化关系为 = ( 2 + 4t 3 )rad,式中t 以 s 计。试求： 1）在t =2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向 加

3、速度的大小。 2）当角 为多大时,该质点的加速度与半径成 45 o。解: 1)2) = ( 2+ 4t 3)= 2 + 4 （0.55)3 = 2.67 ( rad )( 舍去t = 0 和 t = 0.55 )此时砂轮转过的角度：例2一细棒绕O点自由转动，并知 ,L 为棒长。 求: 1)棒自水平静止开始运动, 时, ? 2)此时端点A 和中点B 的线速度为多大? 解: 1)棒做变加速运动：由：得：5-2 刚体的角动量和角动量原理一、刚体的角动量及转动惯量：对O点的元角动量:质元考察一个以角速度绕OZ轴转动的均匀细棒：均匀细棒对O点的角动量：均匀细棒对OZ轴的角动量：定义：刚体转动惯量：1、刚

4、体的角动量：2、转动惯量的计算：若质量离散分布：（质点，质点系）若质量连续分布：J 的单位：kgm2质量为线分布质量为面分布质量为体分布dm为质量元，简称质元。取法如下：其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。例1 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。解: 设线密度为；例2 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。解：设面密度为； 取半径为 r 宽为dr 的薄圆环,ROdm例3 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解：取如图坐标，dm = dxABL xdmABL/2L/2Cxdm可见，与转动惯量有关的

5、因素： 转轴的位置 刚体的总质量 刚体的质量相对于转轴的分布2、平行轴定理： 若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转动惯量为J，则有：JoJcmd23、正交轴定理： JzJx Jy说明两轴平行；JC 为刚体绕质心轴的转动惯量d 为两平行轴间距离。对于均匀圆盘：二、作用于刚体的力矩： 2、 作用于刚体的力对转轴的力矩： 1)力在转动平面内： 2)力不在转动平面内：有两个方向，Mz有正负 1、 作用于刚体的力对空间某点A的力矩： 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。（定义）v 与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩。v 与转轴平行的力对转轴不产生力矩。v 刚体内各质点间内力对转轴不产生

6、力矩。 3、 当有n 个力作用于刚体，则合力矩的大小等于各力对转轴的力矩的代数和。 4、 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零，只需考虑外力矩 的作用。结论：O12zd12123Oz三、刚体的角动量原理：刚体质点系(由无限多个质元构成的连续体)质点系的角动量原理： 同样适用于刚体。定轴转动的刚体:四、刚体的角动量守恒定律：1)定轴转动时，M外=0时，且J=常量，即刚体保持静止 或匀角速转动。J不为恒量时，J=恒量。注意:ii)例: i)例4光滑的水平桌面上有一个长为l，质量为M 的均匀细棒，以 速度v 运动，与一固定于桌面上的钉子O相碰，碰后细棒绕 O点转动，试求1) 细棒绕O点的转动惯

7、量； 2) 碰前棒对O点的角动量；3) 碰后棒转动的角速度。 2) 碰前棒作平动，对O点的角动量按质心处理。故有：解:1)3)设碰后的角速度为 . 碰撞中外力矩为零,角动量守恒。(也可由平行轴定理求J )例5一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比， 将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的 初始角速度为0 ，棒与桌面的摩擦系数为。求: 1)细棒对O点的转动惯量。2)细棒绕O点的摩擦力矩。 3)细棒从以0 开始转动到停止所经历的时间。解： 1)在离O点r 处取微元dr，则：2）细棒上距O 点r 处长dr 的线元所受的摩擦力和对O点的 摩擦力矩：3）由角动量原理：作业：5

8、 1, 5-5, 5-75-3 刚体的定轴转动定律对于作定轴转动的刚体，满足： 方向沿转轴，其方向由 的符号决定。又因：若J为恒量，则有上面二式得：此式表明：刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩方向相同,大小成正比,与对该轴的转动惯量成反比，这条规律称为刚体的转动定律。1、转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系。2、由转动定律知M一定时：作用在案不同刚体上，J 大的， 小， 转速不宜改变，转动惯性大;反之，J 小，转动惯 性 小。故 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。具体应用 时应注意以下问题：v 力矩和转动惯量必须对同

9、一转轴而言。v 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度,角速度的正负。v 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔离法解题,基本步骤为:（1）隔离物体,对平动的物体分析力,对转动物体分析力矩,画受力图（2）建立坐标系,对平动物体用牛顿定律、对转动物体用转动定律 分别建立方程（3）找出各物体间的物理量之间的关系方程，并联立求解讨论:例1 如图所示，m1，m2，R已知。求：m2的加速度a 和轮子的角加速度.解:联立求解得： 又有m1：分析力矩；由转动定律得：m2：分析受力，由牛顿运动定律得：例2一刚体由质量为m ,长为 l的均匀细杆和质量为m的小球组成， 可绕O轴转动。 且O轴无摩擦.求

10、:1)刚体绕轴O的转动惯量。 2)杆与竖直方向成角时,小球的角速度和法向加速度. 2)杆与竖直方向成角时,合外力矩:解:1) 由转动定律:分离变量积分得: 小球的法向加速度 ：例3 一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端分别悬有质 量为m1和m2的物体, m1m2 . 设滑轮的质量为m, 半径为r, 忽略摩擦。 绳与滑轮之间无相对滑动。 求: 物体的加速度和绳的张力。解:m1m2 ，则m1向下加速运动，m2向上加速运动，滑轮逆时针转动。对m1 、m2分析受力，由牛顿定律得：对滑轮分析力矩，由转动定律得：又是：联立解得：上边已得:例4已知m1，m2 ，M1，M2，R1，R2 且m1 m2

11、 试由牛顿运动 定律和转动定律写出系统的运动方程，求m2 的加速度和 张力T1 ,T2 , T3 。解：设m2的加速度大小为a，方向向上， m1的加速度大小也为a，方向向下。对M1 、M2分析力矩对m1 、m2分析受力如图所示。联立得：上边已得1、刚体的动能：5-4 定轴转动刚体的动能定理平动动能转动动能即 转动动能用角动量表示为：一、刚体的动能和力矩的功：注意：转动动能与平动动能实质相同，表达式不同。一般刚体总动能：2、力矩的功由力的功定义式得:力矩对刚体的功如何计算？ 4） 力矩的功与力的功实质相同，表达式不同。二、定轴转动的动能定理：即刚体作定轴转动时，合外力矩的功等于刚体转动动能的增量

12、， 称为定轴转动的动能定理。2) 几个力矩同时作用时3) 对刚体内力矩做功为零。1) M恒定时说明:例1冲床的飞轮m = 600 kg，飞轮半径r = 0.4m .正常转速为 n1 = 240 r / min .冲一次孔转速减低20%。求冲一次孔 冲头做的功。解冲孔前后的角速度分别表示为1和2 孔铁板阻力对冲头做功：故冲头做功：三、刚体的机械能守恒定律:在有刚体转动的过程中, 只有保守力做功, 则系统机械能保持不变，这是有刚体转动时的机械能守恒定率. 刚体质量全部集中于质心时,相对于零势点所具有的势能.1. 刚体的重力势能:2. 刚体的机械能守恒定律:刚体的重力势能:作业：5 9，510，51

13、1注意：这与前面讲的机械能守恒定率本质一样，只不过对刚体功、动能、势能表达式不同. 5-4 旋 进一、旋 进以上研究的是刚体的定轴转动，如果不约束转轴，有什么运动规律呢？通过对陀螺的研究知：物体作定轴转动时除了绕自身对称轴转动外，对称轴还绕其他轴转动，绕其他轴的转动叫旋 进，又称回转现象。可以证明：二、回转仪（略）刚体力学小结刚体力学小结一、基本概念：刚体转动惯量：刚体的转动动能：刚体定轴转动角动量：力矩的功：刚体的重力势能:2、基本原理：1）刚体角动量原理：2）刚体的角动量守恒定律：3） 刚体定轴转动定律：4）刚体定轴转动的动能定理：5）刚体的机械能守恒定律:质点的运动规律和刚体定轴转动规律

14、的对比(一)转动动能动能力矩的功力的功转动惯量J , 力矩M质量m, 力F角加速度加速度角速度速度刚体的定轴转动质点的运动质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二)动能定理：动能定理：机械能守恒：机械能守恒：角动量守恒：动量守恒：角动量原理：动量定理：转动定律：运动定律：刚体的定轴转动质点的运动三、基本计算：1、转动惯量的计算：若质量离散分布：（质点，质点系）若质量连续分布：平行轴定理：2）均匀圆盘 （圆柱体）：o4）均匀球体：o3）薄圆环（薄圆筒）：o常用的转动惯量：1) 均匀细棒oo练习：求下列各刚体对O 轴的转动惯量：5）薄球壳：o2、刚体定轴转动定律：具体应用时应注意以下问题：1)

15、力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。2) 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度,角速度的正负。3) 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔离法解题. 对转动物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律建立方程。基本步骤：1. 隔离法分析研究对象2. 建立坐标系3. 列出分量运动方程例1一轴承光滑的定滑轮，质量为M =1.00kg，半径为R = 0.10m， 一根不能伸长的轻绳，一端固定在定滑轮上，一端系有一 质量为m = 2.00kg的物体，已知定滑轮的转动惯量 , 其初角速度0=5.00rad/s ，方向垂直纸面向里。 求：1）定滑轮的角加速度。 2）定滑轮角速度变化到零时，

16、物体上升的高度。解：1）研究定滑轮的转动。分析所受力矩。 取滑轮转动方向为正。由转动定律：研究物体的运动。分析受力。取向上为正。关联方程：联立解得：2）研究物体、定滑轮和地球组成的系统，在整个运动过程中， 机械能守恒。取物体的初位置为势能零点。法2由刚体的运动公式：3、刚体定轴转动角动量原理与角动量守恒定律：1）光滑水平面上有一静止的细杆，若在细杆两端施加一对大小相等，方向相反的力，问在细杆运动过程中，细杆的动量是否守恒/，对杆中心点O的角动量是否守恒？动能是否守恒？注意区分：角动量守恒与动量守恒的条件。合外力为零，则系统的动量守恒。合外力矩不为零，则系统的角动量不守恒。合外力矩作正功，则系统

17、的动能不守恒。2）质量为M，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平轴O无摩擦地转动。若细杆竖直悬挂，现有一质量为m 的弹性小球飞来，与细杆作完全非弹性碰撞，问1）在小球与细杆相碰过程中：2）在小球与细杆一起转动的过程中：球与杆组成的系统的动量是否守恒？对于过O点的轴的角动量是否守恒？机械能是否守恒？合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力矩为零，则系统的角动量守恒。发生的是完全非弹性碰撞，则系统的机械能不守恒。合外力不为零，则系统的动量不守恒。合外力矩不为零，则系统的角动量不守恒。在转动过程中只有重力作功，则系统的机械能守恒。解: 把演员视为质点, A、B和跷 板作为一个系统, 以通过点

18、C 垂直平面的轴为转轴. 由于作用在系统上的合外力 矩为零,故系统的角动量守恒。例2 一杂技演员A由距水平跷板高为h处自由下落到跷板的一端, 并把跷板另一端的演员B弹了起来. 设跷板是匀质的, 长度 为l, 质量为m,支撑板在板的中点C, 跷板可绕点C在竖直平 面内转动, 演员A，B的质量都是m. 假定演员A落在跷板上, 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞. 问演员B可弹起多高.初状态：末状态：J为其跷板的转动惯量, 把板看成是窄长条形状。这样演员B将以速率u = l / 2跳起, 达到的高度h为：例3质量为M，长为l 的均匀细杆，可绕垂直于棒的一端的水平 轴O无摩擦地转动。现有一质量为m 的子弹以

19、速度 水平射 入杆中。求：子弹与杆一起运动时的角速度及转过的最大角度？解：第一阶段：取子弹与细杆为一个系统。在碰 撞过程中，合外力不为零，而合外力矩为零。 系统相对于O 轴的角动量守恒。第二阶段：系统绕 O 轴转动过程中，合外力不为零，且合外力矩也不为零，但只有重力作功，则系统的机械能守恒。解得：子弹与杆一起运动时的角速度：子弹随杆转过的最大角度：讨论：当系统的合外力不为零时，该系统的合外力矩却可以 为零，即系统的动量不守恒。而系统的角动量守恒。1、一轻绳绕于半径为 r 的飞轮边缘，并以质量为m的物体挂在 绳端，飞轮对过轮心且与轮面垂直的水平固定轴的转动惯量 为J，若不计算摩擦，飞轮的角加速度

20、 = ( )2、一轻绳绕于半径 r = 0.2m 的飞轮边缘，并施以 F = 98N 的拉力，若不计摩擦，飞轮的角加速度等于 39.2rad/s2，此飞轮的转动惯量为（ ）3、几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上，如果这几个 力的矢量和为零，则此刚体 A）必然不会转动 B）转速必然不变C）转速必然改变 D）转速可能改变，也可能不变。4、 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， A）它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 B）它受热时角速度变大，遇冷时角速度变小 C）它受热或遇冷时，角速度均变大 D）它受热时角速度变小，遇冷时角速度变大 5、关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是A）只取决于刚体

21、的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关 6、一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上，双臂水平地举 二哑铃在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、 哑铃与转动平台组成的系统的 A）机械能守恒，角动量守恒 B）机械能守恒，角动量不守恒 C）机械能不守恒，角动量守恒 D）机械能不守恒，角动量也不守恒 8、均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到 竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？ A）角速度从小到大，角加速度从大到小 B）角速度从小到大，角加速度从小到大 C）角速度从大到小，角加速度从大到小 D）角速度从大到小，角加速度从小到大