第五章连续体力学.ppt
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1、第五章 连续体力学连续体包括刚体、弹性固体、流体(液体和气体) 本章重点介绍刚体的力学规律。1、刚体 受力时形状和大小完全不变的的物体为刚体。刚体上的任两点间的距离 始终保持不变。刚体是一种理想模型。5-1 刚体运动学一、刚体的平动与转动: 2、平动 刚体上任意两点的连线在运动中保持平行,这种 运动称为刚体的平动。 注意:刚体平动时,质点的轨迹不一定是直线。特征: 各个质点的位移、速度、加速度相等。例:黑板擦、电梯、活塞的运动。3、转动 - 刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。复杂运动可视为刚体平动和刚体转动的叠加。 定轴转动 转轴相对参考系固定不动的转动。1)各点的角位移、角速度、角加速度相同
2、。2)各点的线位移、线速度、线加速度不同。特征:二、刚体定轴转动的角量描述:平均角速度: 角速度:角加速度:角位移:AA定轴转动只有两个转动方向。规定沿 ox 轴逆时针转动为正方向,反之为负方向。角位置:刚体定轴转动的运动学方程。刚体作匀变速转动时,相应公式如下: 角量与线量的关系:AA线速度与角速度之间的矢量关系为: 由于在定轴转动中轴的位置不变,故 只有沿轴的正负两个方向,可以用标量代替。例1一半径为R = 0.1m的砂轮作定轴转动,其角位置随时间t 的 变化关系为 = ( 2 + 4t 3 )rad,式中t 以 s 计。试求: 1)在t =2s 时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向 加
3、速度的大小。 2)当角 为多大时,该质点的加速度与半径成 45 o。解: 1)2) = ( 2+ 4t 3)= 2 + 4 (0.55)3 = 2.67 ( rad )( 舍去t = 0 和 t = 0.55 )此时砂轮转过的角度:例2一细棒绕O点自由转动,并知 ,L 为棒长。 求: 1)棒自水平静止开始运动, 时, ? 2)此时端点A 和中点B 的线速度为多大? 解: 1)棒做变加速运动:由:得:5-2 刚体的角动量和角动量原理一、刚体的角动量及转动惯量:对O点的元角动量:质元考察一个以角速度绕OZ轴转动的均匀细棒:均匀细棒对O点的角动量:均匀细棒对OZ轴的角动量:定义:刚体转动惯量:1、刚
4、体的角动量:2、转动惯量的计算:若质量离散分布:(质点,质点系)若质量连续分布:J 的单位:kgm2质量为线分布质量为面分布质量为体分布dm为质量元,简称质元。取法如下:其中、分别为质量的线密度、面密度和体密度。例1 求质量为m,半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。解: 设线密度为;例2 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。解:设面密度为; 取半径为 r 宽为dr 的薄圆环,ROdm例3 求长为L、质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。解:取如图坐标,dm = dxABL xdmABL/2L/2Cxdm可见,与转动惯量有关的
5、因素: 转轴的位置 刚体的总质量 刚体的质量相对于转轴的分布2、平行轴定理: 若有任一轴与过质心的轴平行,相距为d,刚体对其转动惯量为J,则有:JoJcmd23、正交轴定理: JzJx Jy说明两轴平行;JC 为刚体绕质心轴的转动惯量d 为两平行轴间距离。对于均匀圆盘:二、作用于刚体的力矩: 2、 作用于刚体的力对转轴的力矩: 1)力在转动平面内: 2)力不在转动平面内:有两个方向,Mz有正负 1、 作用于刚体的力对空间某点A的力矩: 平行于转轴,对转轴产生的的力矩为零。(定义)v 与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩。v 与转轴平行的力对转轴不产生力矩。v 刚体内各质点间内力对转轴不产生
6、力矩。 3、 当有n 个力作用于刚体,则合力矩的大小等于各力对转轴的力矩的代数和。 4、 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零,只需考虑外力矩 的作用。结论:O12zd12123Oz三、刚体的角动量原理:刚体质点系(由无限多个质元构成的连续体)质点系的角动量原理: 同样适用于刚体。定轴转动的刚体:四、刚体的角动量守恒定律:1)定轴转动时,M外=0时,且J=常量,即刚体保持静止 或匀角速转动。J不为恒量时,J=恒量。注意:ii)例: i)例4光滑的水平桌面上有一个长为l,质量为M 的均匀细棒,以 速度v 运动,与一固定于桌面上的钉子O相碰,碰后细棒绕 O点转动,试求1) 细棒绕O点的转动惯
7、量; 2) 碰前棒对O点的角动量;3) 碰后棒转动的角速度。 2) 碰前棒作平动,对O点的角动量按质心处理。故有:解:1)3)设碰后的角速度为 . 碰撞中外力矩为零,角动量守恒。(也可由平行轴定理求J )例5一棒长l,质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比, 将细棒放在粗糙的水平面上,棒可绕O点转动,如图,棒的 初始角速度为0 ,棒与桌面的摩擦系数为。求: 1)细棒对O点的转动惯量。2)细棒绕O点的摩擦力矩。 3)细棒从以0 开始转动到停止所经历的时间。解: 1)在离O点r 处取微元dr,则:2)细棒上距O 点r 处长dr 的线元所受的摩擦力和对O点的 摩擦力矩:3)由角动量原理:作业:5
8、 1, 5-5, 5-75-3 刚体的定轴转动定律对于作定轴转动的刚体,满足: 方向沿转轴,其方向由 的符号决定。又因:若J为恒量,则有上面二式得:此式表明:刚体作定轴转动时,刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩方向相同,大小成正比,与对该轴的转动惯量成反比,这条规律称为刚体的转动定律。1、转动定律适用条件:刚体定轴转动,固定轴为惯性系。2、由转动定律知M一定时:作用在案不同刚体上,J 大的, 小, 转速不宜改变,转动惯性大;反之,J 小,转动惯 性 小。故 转动惯量是物体转动惯性大小的量度。3、刚体转动定律是解决刚体转动问题的重要定律。具体应用 时应注意以下问题:v 力矩和转动惯量必须对同
9、一转轴而言。v 选定转轴的正方向, 以便确定力矩或角加速度,角速度的正负。v 当系统中既有转动物体, 又有平动物体时, 用隔离法解题,基本步骤为:(1)隔离物体,对平动的物体分析力,对转动物体分析力矩,画受力图(2)建立坐标系,对平动物体用牛顿定律、对转动物体用转动定律 分别建立方程(3)找出各物体间的物理量之间的关系方程,并联立求解讨论:例1 如图所示,m1,m2,R已知。求:m2的加速度a 和轮子的角加速度.解:联立求解得: 又有m1:分析力矩;由转动定律得:m2:分析受力,由牛顿运动定律得:例2一刚体由质量为m ,长为 l的均匀细杆和质量为m的小球组成, 可绕O轴转动。 且O轴无摩擦.求
10、:1)刚体绕轴O的转动惯量。 2)杆与竖直方向成角时,小球的角速度和法向加速度. 2)杆与竖直方向成角时,合外力矩:解:1) 由转动定律:分离变量积分得: 小球的法向加速度 :例3 一轻绳跨过一定滑轮, 滑轮视为圆盘, 绳的两端分别悬有质 量为m1和m2的物体, m1m2 . 设滑轮的质量为m, 半径为r, 忽略摩擦。 绳与滑轮之间无相对滑动。 求: 物体的加速度和绳的张力。解:m1m2 ,则m1向下加速运动,m2向上加速运动,滑轮逆时针转动。对m1 、m2分析受力,由牛顿定律得:对滑轮分析力矩,由转动定律得:又是:联立解得:上边已得:例4已知m1,m2 ,M1,M2,R1,R2 且m1 m2
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