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1、3.3.33.3.3点到直线的距离点到直线的距离3.3.43.3.4两条平行直线两条平行直线间的距离间的距离1当直线l 的方程Ax+By+C=0中A=0时:xyoP0(x0,y0)Q.l :By+C=0, y=- CB|y0-yQ|= |By0+C| |B| xyoP0(x0,y0)Q.当直线l 的方程Ax+By+C=0中B=0时:l :Ax+C=0, x=- CA|PQ|= CB=y0+ |x0-xQ|= |Ay0+C| |A| |PQ|= x0+ CA=2当直线l 的方程Ax+By+C=0中A0且B0时:xyolP0(x0,y0).dQSR过P0分别作x轴和y轴的平行线,交直线l于点R,S
2、3当直线l 的方程Ax+By+C=0中A0且B0时:xyolP0(x0,y0).dQSR过P0分别作x轴和y轴的平行线,交直线l于点R,S则P0R的方程为y=y0, R的坐标为: 则P0S的方程为x=x0, S的坐标为: ) By0+C A-,y0 (Ax0+C B-x0 ,) (4当直线l 的方程Ax+By+C=0中A0且B0时:xyolP0(x0,y0).dQSR于是有:|Ax0+By0+C| |A|P0R|= By0+C A-x0 =|Ax0+By0+C| |B|P0S|= Ay0+C B-y0 =|RS|= |P0R|2+|P0S|2 =A2+B2 |A|B|Ax0+By0+C| 5当
3、直线l 的方程Ax+By+C=0中A0且B0时:xyolP0(x0,y0).dQSR设|P0Q|=d,由三角形面积公式可得:d|RS|=|P0R|P0S|于是得:=A2+B2 |Ax0+By0+C| d=|P0R|P0S|RS|6点P0(x0,y0)到直线l :Ax+By+C=0的距离公式:d=A2+B2 |Ax0+By0+C| 当直线方程中的A=0时: |d|= |By0+C| |B|当直线方程中的B=0时: |d|= |Ax0+C| |A|7点P0(x0,y0)到直线l :Ax+By+C=0的距离公式:d=A2+B2 |Ax0+By0+C| 求点(-1,2)到直线:3x=2的距离? 解:d
4、=32+02 |3(-1)-2| =538练习:求下列点到直线的距离:(1)A(-2,3),l:3x+4y+3=0 (3)C(1,-2),l: 4x+3y=0 (2)B(1,0),l: 3x+y- 3=0 950259例1.已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积解:设AB边上的高为h, AB边所在的直线方程: 点C到x+y-4=0的距离: xyo123123-1ABCh则:SABC = 12|AB|h |AB|= (3-1)2+(1-3)2 = 2 ,2 y-31-3 x-13-1 =,即x+y-4=0。因此,SABC = 122 2 2 5=5h=|-1+0-4|
5、12+12=2 510例2(1)已知点A(-2,3)到直线y=ax+1的距离为1,求a的值(2)已知点A(-2,3)到直线y=-x+a的距离为1,求a的值解: (1)直线方程y=ax+1即ax-y+1=0 d= a2+(-1)2 |a(-2)+(-1)3+1| =1a2+1|-2a-2| =解出:a= 3-4+7或 a= 3-4-7(2)直线方程y=-x+a即x+y-a=0 d= 12+12 |1(-2)+13-a| 2|1-a| =1=解出:a= 1+7或 a= 1-711例3:求平行和的距离 思考8:这两条平行直线间的距离是否为固定的?如何求这两条平行直线间的距离?可以选择哪个点?变形解:在直上任取一点,例如到直就是两平行 的距离因此的距离思考9:是否可以在直上取一般的点来求距离? 12求证:两平行直线 的距离 评价反思,推广到一般结论:13求下列两条平行线间的距离:(1)2x+3y-8=0,2x+3y+18=0 (2)3x+4y=10,3x+4y=0213 2 14某市现有自市中心O通向正西和东北方向的两条主要公路,为了解决交通拥挤问题,市政府决定修一条环城路,分别在通往正西和东北方向的公路上选取A、B两点,使环城公路在A、B间为线段,要求AB环城路段与中心O的距离为10km,且使A、B间的距离最小,请你确定A、B两点的最佳位置东南西北xyABo15