1、偏微分方程课程大纲一、 课程简介教学目标：“偏微分方程”是重要的数学基础课程，它在数学的其它分支和自然科学与工程技术中的广泛应用是众所周知的。本课程将尽可能地结合物理背景，系统地对几类典型方程数学结构、求解方法、解的性质以及物理意义进行详细阐述，为学生日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具，并为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容提供重要帮助。主要内容：1. 了解几类典型方程及其定解条件的物理背景2掌握方程的分类及其化简方法3. 熟练掌握各类方程的求解方法（包括具有普适性的方法，如分离变量法,Fourier变换法和Green函数法等，以及针对某类方程的特定方法，如特征线法）4.
2、会用一些基本方法（如能量积分法、极值原理等）讨论解的性质并掌握解的重要性质二、 教学内容(其中带*的部分可能随堂调整)第一章 引论主要内容： 1、 偏微分方程简介a) 偏微分方程的历史、现状和用途b) 什么是偏微分方程？介绍有关偏微分方程基本概念和研究内容c) 例子：简单而多样的例子帮助学生初步了解偏微分方程2、 二阶线性偏微分方程的分类和特征理论a) 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简，椭圆型、双曲型和抛物型的 标准形式与典型例子，混合型方程b) 多个自变量的二阶线性偏微分方程方程的分类及其例子c) 二阶线性方程的特征理论*3、 四类典型方程的数学模型：包括波动方程、热传导方程、调和
3、方程、和一阶方程4、 其他预备知识：线性方程的叠加原理、Sturm-Liouville原理*重点与难点：通过化标准型将二阶方程进行分类、特征的概念（这是偏微分方程中最基本也是最重要的概念）、各类方程及其定解条件的物理意义第二章 波动方程主要内容：1、 弦振动方程Cauchy问题的存在性：DAlembert求解公式，传播波，依赖区域、决定区域和影响区域，特征线法（行波法）的其他应用和例子，Duhamel齐次化原理及其物理解释2、 弦振动方程初边值问题的存在性：分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论，分离变量法求解的物理意义，多种边界条件的例子，非齐次方程的情形，非齐次边界条件的情形，高维波动方程
4、分离变量法的例子3、 高维波动方程Cauchy问题的求解：三维波动方程的球平均法，二维波动方程的降维法4、 波的传播与衰减：依赖区域、决定区域和影响区域，Huygens原理与波的弥散，波动方程解的长时间性态5、 能量不等式与唯一性和稳定性：初边值问题解的唯一性和稳定性，Cauchy问题解的唯一性和稳定性重点与难点：针对于波动方程：特征线与特征锥、特征线方法、波的有限传播速度；适用于各种方程的普遍方法：能量积分方法、分离变量法第三章 热传导方程主要内容：1、 求解初边值问题的分离变量法：一维情形，高维的例子2、 Cauchy问题解的存在性：Fourier变换及其基本性质，用Fourier变换法求
5、解Cauchy 问题及解的存在性讨论，Fourier变换法的其他应用3、 极值原理与唯一性和稳定性：有界区域的极值原理，无界区域的极值原理，初边值 问题解的唯一性和稳定性，Cauchy问题解的唯一性和稳定性4、 解的渐近性态：初边值问题解的渐近性态，Cauchy问题解的渐近性态重点与难点：Fourier变换方法、极值原理、关注与波动方程的区别第四章 调和方程主要内容：1、 调和函数的基本性质：Green公式，Neumann问题解的自由度与可解性条件，调和 方程的基本解，变分原理、基本积分公式，平均值定理，极值原理、边值问题解的 唯一性和稳定性2、 Green函数：定义和性质，用静电源像法求一些
6、特殊区域的Green函数，一般单连 通区域的Green函数，用Green函数法求解调和方程与Poisson方程3、 调和函数的进一步性质Harnack定理，可去奇点定律，解析性定理、强极值 原理、Neumann边值问题解的唯一性。重点与难点：Green函数、调和方程解的性质，关注与波动方程、热传导方程的区别第五章 三类方程的总结与比较主要内容：1、 定解问题提法的比较2、 解的性质的比较：解的光滑性，解的极值性质，影响区域与依赖区域，关于时间的 反演，解的渐近性态等3、 解的先验估计：热传导方程与Poisson方程解的最大模估计，一般的二阶线性双曲、 抛物和椭圆型方程解的能量估计重点与难点：通
7、过三类方程的比较进一步加深对三类方程定解问题的理解第六章 一阶偏微分方程（组）理论简介主要内容：1、 一阶偏微分方程组的例子2、 两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论：特征方程与特征线，分类，严格双曲组的对角化3、 两个自变量的线性双曲型方程组的Cauchy问题：化为积分方程组，存在性与唯一性，对初值的连续依赖性，依赖区域、影响区域和决定区域4、 两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题：广义Cauchy问题，Goursat问题，一般角状域上的边值问题等5、 幂级数解法与柯西柯瓦列夫斯卡娅定理*6、 非线性偏微分方程和激波理论初步*重点与难点：两个自变量的一阶线性双曲型方程组的特征理论
8、与Cauchy问题三、 教学进度安排教学内容教学形式作业第13周引论（历史、现状、应用、基本概念和研究内容简介， 分类与化简， 特征理论，建模，其他预备知识）以课堂教学为主，结合自学。课堂教学：核心内容在课堂教学中完成，其中可以融入讨论，加深对知识的理解自学：对一些非常基本的推导过程要求同学课后自己补上；对一些前期知识的遗忘点， 要求同学课前预习或课后补充；对某些比较深入的知识，作为思考题，要求同学课后研讨。每次课堂教学后有课外作业，要求独立完成；有时布置综合性思考题，学生要经过认真思考、相互讨论或查阅资料等方式才能解答；对作业中的问题在习题课上集中进行讲解第47周波动方程（定解问题的存在性，
9、高维问题，能量积分）第89周热传导方程（定解问题的建立和存在性，Fourier变换，极值原理）第1013周调和方程（定解问题的建立和存在性，调和函数的性质，Green函数）第1415周三类方程的比较第1617周一阶偏微分方程（组）理论简介四、 课程考核及说明最终成绩由平时成绩、考试成绩(含期中和期末考试)组合而成。各部分所占比例如下：平时成绩：30% （作业、思考题和上课参与程度）。主要考核对知识点的掌握程度、口头及文字表达能力、分析解决问题、创造性工作、处理信息等方面的能力。考试成绩：70%（期中占2030%，期末占4050%）。主要考核对偏微分的基本原理和方法的掌握以及用分析的方法处理问题
10、的能力五、 教材与参考书教材：数学物理方程（第二版），谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基，高等教育出版社，2002年参考书目：1 Partial Differential Equations: An Introduction，Walter Strauss, John Wiley & Sons, Inc: New York,19922 Partial Differential Equations，Lawrence C. Evans, 3 偏微分方程，F. John编，朱汝金译，科学出版社，19864 数学物理方程讲义（第二版），姜礼尚，陈亚浙，刘西垣、易法槐，高等教育出版社，19964 / 4
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