《偏微分方程》课程大纲.doc
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1、偏微分方程课程大纲一、 课程简介教学目标:“偏微分方程”是重要的数学基础课程,它在数学的其它分支和自然科学与工程技术中的广泛应用是众所周知的。本课程将尽可能地结合物理背景,系统地对几类典型方程数学结构、求解方法、解的性质以及物理意义进行详细阐述,为学生日后的学习和工作打下坚实的基础,提供强有力的工具,并为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容提供重要帮助。主要内容:1. 了解几类典型方程及其定解条件的物理背景2掌握方程的分类及其化简方法3. 熟练掌握各类方程的求解方法(包括具有普适性的方法,如分离变量法,Fourier变换法和Green函数法等,以及针对某类方程的特定方法,如特征线法)4.
2、会用一些基本方法(如能量积分法、极值原理等)讨论解的性质并掌握解的重要性质二、 教学内容(其中带*的部分可能随堂调整)第一章 引论主要内容: 1、 偏微分方程简介a) 偏微分方程的历史、现状和用途b) 什么是偏微分方程?介绍有关偏微分方程基本概念和研究内容c) 例子:简单而多样的例子帮助学生初步了解偏微分方程2、 二阶线性偏微分方程的分类和特征理论a) 两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简,椭圆型、双曲型和抛物型的 标准形式与典型例子,混合型方程b) 多个自变量的二阶线性偏微分方程方程的分类及其例子c) 二阶线性方程的特征理论*3、 四类典型方程的数学模型:包括波动方程、热传导方程、调和
3、方程、和一阶方程4、 其他预备知识:线性方程的叠加原理、Sturm-Liouville原理*重点与难点:通过化标准型将二阶方程进行分类、特征的概念(这是偏微分方程中最基本也是最重要的概念)、各类方程及其定解条件的物理意义第二章 波动方程主要内容:1、 弦振动方程Cauchy问题的存在性:DAlembert求解公式,传播波,依赖区域、决定区域和影响区域,特征线法(行波法)的其他应用和例子,Duhamel齐次化原理及其物理解释2、 弦振动方程初边值问题的存在性:分离变量法求解齐次问题及解的存在性讨论,分离变量法求解的物理意义,多种边界条件的例子,非齐次方程的情形,非齐次边界条件的情形,高维波动方程
4、分离变量法的例子3、 高维波动方程Cauchy问题的求解:三维波动方程的球平均法,二维波动方程的降维法4、 波的传播与衰减:依赖区域、决定区域和影响区域,Huygens原理与波的弥散,波动方程解的长时间性态5、 能量不等式与唯一性和稳定性:初边值问题解的唯一性和稳定性,Cauchy问题解的唯一性和稳定性重点与难点:针对于波动方程:特征线与特征锥、特征线方法、波的有限传播速度;适用于各种方程的普遍方法:能量积分方法、分离变量法第三章 热传导方程主要内容:1、 求解初边值问题的分离变量法:一维情形,高维的例子2、 Cauchy问题解的存在性:Fourier变换及其基本性质,用Fourier变换法求
5、解Cauchy 问题及解的存在性讨论,Fourier变换法的其他应用3、 极值原理与唯一性和稳定性:有界区域的极值原理,无界区域的极值原理,初边值 问题解的唯一性和稳定性,Cauchy问题解的唯一性和稳定性4、 解的渐近性态:初边值问题解的渐近性态,Cauchy问题解的渐近性态重点与难点:Fourier变换方法、极值原理、关注与波动方程的区别第四章 调和方程主要内容:1、 调和函数的基本性质:Green公式,Neumann问题解的自由度与可解性条件,调和 方程的基本解,变分原理、基本积分公式,平均值定理,极值原理、边值问题解的 唯一性和稳定性2、 Green函数:定义和性质,用静电源像法求一些
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