1、2020高考真题分类平面解析几何1.（2020北京 5）已知半径为 1 的圆经过点(3, 4) ，则其圆心到原点的距离的最小值为（） A. 4B. 5C. 6D. 72.（2020全国卷文 6）已知圆 x2 + y2 - 6x = 0 ，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（） A. 1B. 2C. 3D. 43.（2020全国卷理 5、文 8）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距 离为（） A. 5 5B. 2 5 5C. 3 5 5D. 4 5 54.（2020全国卷文 6）在平面内，A，B 是两个定点，C 是动点，若 AC
2、BC=1 ，则点 C 的轨迹为（） A. 圆B. 椭圆C. 抛 物线D. 直 线5.（2020全国卷理 5、文 7）设O 为坐标原点，直线 x = 2 与抛物线 C： y2 = 2 px( p 0) E 两点，若OD OE ，则C 的焦点坐标为（） 交于 D ，A. 1 ,0 B. 1 ,0 C. (1, 0)D. (2, 0) 4 26.（2020全国卷理 4）已知 A 为抛物线 C:y2=2px（p0）上一点，点 A 到 C 的焦点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p=（） A. 2B. 3C. 6D. 97.（2020天津 7）设双曲线C 的方程为 x2 - y2 = 1(a
3、0,b 0) ，过抛物线 y2 = 4x 的焦点和点(0, b) 的直a2b2线为l 若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为（） x2y22y2x2222A.-= 1 44B. x -= 1 4C. y = 1 4D. x - y = 18.（2020北京 7）设抛物线的顶点为O ，焦点为 F ，准线为l P 是抛物线上异于O 的一点，过 P 作PQ l 于Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（） A. 经过点OB. 经过点 P C. 平行于直线OPD. 垂直于直线OP 9.（2020浙江 8）已知点 O（0，0），A（2，0），B（2，0）设点 P 满足|PA
4、|PB|=2，且 P 为函数 y=3A.22 2图像上的点，则|OP|=（） B. 4 10C.D.510.（2020全国卷文 8）点(0，1)到直线 y = k ( x +1) 距离的最大值为（） A. 1B.C.D. 211.（2020全国卷理 8、文 9）设O 为坐标原点，直线 x = a 与双曲线C : x2 - y2 = 1(a 0,b 0) 的两条a2b2渐近线分别交于 D, E 两点，若 ODE 的面积为 8，则C 的焦距的最小值为（） A. 4B. 8C. 16D. 3212.（2020全国卷理 10）若直线 l 与曲线 y= A. y=2x+1B. y=2x+ 1和 x2+y
5、2= 1 都相切，则 l 的方程为（） 5C. y= 1 x+1D. y= 1 x+ 12222x2y213.（2020全国卷理 11）设双曲线 C： a2 - b2 = 1 （a0，b0）的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为P 是 C 上一点，且 F1PF2P若PF1F2 的面积为 4，则 a=（） A. 1B. 2C. 4D. 814.（2020全国卷理 11）已知M： x2 + y2 - 2x - 2y - 2 = 0 ，直线l ： 2x + y + 2 = 0 ， P 为l 上的动点，过点 P 作M 的切线 PA, PB ，切点为 A, B ，当| PM | | AB | 最小时，
6、直线 AB 的方程为（） A. 2x - y -1 = 0B. 2x + y -1 = 0C. 2x - y +1 = 0D. 2x + y +1 = 015.（2020全国卷文 11）设 F , F 是双曲线C : x2 - y2 = 的两个焦点， O 为坐标原点，点 P 在C 上且1213| OP |= 2 ，则PF1F2 的面积为（） 75A.B. 3C.22D. 216.（2020山东 9、海南 10）（多选）已知曲线C : mx2 + ny2 = 1.（） A. 若 mn0，则 C 是椭圆，其焦点在 y 轴上 B. 若 m=n0，则 C 是圆，其半径为C. 若 mn0，则 C 是两条
7、直线 x2y2517.（2020江苏 6）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 =1(a0)的一条渐近线方程为 y= a252x，则该双曲线的离心率是 .18.（2020山东 13、海南 14）斜率为的直线过抛物线 C：y2=4x 的焦点，且与 C 交于 A，B 两点，则AB = 219.（2020全国卷理 15）已知 F 为双曲线C : xa22y- = 1(a 0,b 0) 的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 Cb2上的点，且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为 .20.（2020天津 12）已知直线 x -则 r 的值为 3y + 8 = 0 和圆 x
8、2 + y2 = r2(r 0) 相交于 A, B 两点若| AB |= 6 ，21.（2020浙江 15）设直线l : y = kx + b(k 0) ，圆C1: x2 + y2 = 1 ， C: (x - 4)2 + y2 = 1 ，若直线l 与2C1 ， C2 都相切，则k = ；b= 222.（2020北京 12）已知双曲线C : x2y- = 1，则 C 的右焦点的坐标为 ；C 的焦点到其渐近63线的距离是 x2y223.（2020全国卷文 14）设双曲线 C： a2 - b2 = 1(a0，b0)的一条渐近线为 y=x，则 C 的离心率为 24.（2020江苏 14）在平面直角坐标
9、系 xOy 中，已知 P( 3 ，0) ，A，B 是圆 C： x2 + ( y - 1)2 = 36 上的两个22动点，满足 PA = PB ，则PAB 面积的最大值是 x2y2A(0, -3)25.（2020天津 18）已知椭圆 a2 + b2| OA |=| OF | ，其中O 为原点 （）求椭圆的方程； = 1(a b 0) 的一个顶点为，右焦点为 F ，且（）已知点C 满足3OC = OF ，点 B 在椭圆上（ B 异于椭圆的顶点），直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，且 P 为线段 AB 的中点求直线 AB 的方程 x2226.（2020全国卷理 20、文 21）已知 A、
10、B 分别为椭圆 E： a2 + y= 1（a1）的左、右顶点，G 为 E的上顶点， AG GB = 8 ，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D （1） 求 E 的方程； （2） 证明：直线 CD 过定点.x2y227.（2020全国卷文 19）已知椭圆 C1： += 1(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的a2b24中心与 C2 的顶点重合过 F 且与 x 轴重直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|=3|AB| （1） 求 C1 的离心率； （2） 若 C1 的四个顶点到 C2 的
11、准线距离之和为 12，求 C1 与 C2 的标准方程 2020高考真题分类x2y2 28.（2020海南 21）已知椭圆 C： a2 + b21= 1(a b 0) 过点 M（2，3）,点 A 为其左顶点，且 AM 的斜率为， 2（1） 求 C 的方程； （2） 点 N 为椭圆上任意一点，求AMN 的面积的最大值.x2y229.（2020全国卷理 19）已知椭圆 C1： += 1(ab0)的右焦点 F 与抛物线 C2 的焦点重合，C1 的a2b24中心与 C2 的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1 于 A，B 两点，交 C2 于 C，D 两点，且|CD|=3（1） 求 C1 的离
12、心率； （2） 设 M 是 C1 与 C2 的公共点，若|MF|=5，求 C1 与 C2 的标准方程.|AB|.x2y21530.（2020全国卷理 20、文 21）已知椭圆C : 25 + m2 = 1(0 m 0) ，点 A 是椭圆C1 与抛物线C2 的交点，过点 A 的直线 l 交椭圆C1 于点 B，交抛物线C2 于 M（B，M 不同于 A） （） 若 p = 116，求抛物线C2 的焦点坐标； （）若存在不过原点的直线 l 使 M 为线段 AB 的中点，求 p 的最大值 x2y2234.（2020山东 22）已知椭圆 C： a2 + b2= 1(a b 0) 的离心率为，且过点 A（2
13、，1） 2（1） 求 C 的方程： （2） 点 M，N 在 C 上，且 AMAN，ADMN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得|DQ|为定值 平面解析几何参考答案1. 【答案】A【解析】设圆心C ( x, y ) ，则化简得( x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1， = 1， 所以圆心C 的轨迹是以 M (3, 4) 为圆心，1 为半径的圆， 所以| OC | +1 | OM | = 5 ，所以| OC | 5 -1 = 4 ， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.2. 【答案】B【解析】圆 x2 + y2 - 6x = 0 化为(x - 3)2 + y2 = 9 ，所
14、以圆心C 坐标为C(3, 0) ，半径为3 ， 设 P(1, 2) ，当过点 P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点 P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时| CP |= 2根据弦长公式得最小值为2= 2= 2 .故选：B.3. 【答案】B【解析】由于圆上的点(2,1) 在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(a, a) ，则圆的半径为a ， 2020高考真题分类 圆的标准方程为( x - a)2 + ( y - a)2 = a2 .由题意可得(2 - a)2 + (1- a)2 = a2 ， 可得a2 - 6a
15、+ 5 = 0 ，解得 a =1或a = 5 ， 所以圆心的坐标为(1,1) 或(5, 5) ， 圆心 到直线的距离均为d1 =2 5 ； 5圆心 到直线的距离均为d2 =圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离均为d = 2 5 ； 5= 2 55所以，圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离为 2 5 .5故选：B.4. 【答案】A【解析】设 AB = 2a (a 0) ，以 AB 中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则： A(-a, 0), B (a, 0) ，设C ( x, y ) ，可得：AC = ( x + a, y ), BC = ( x - a, y )
16、， 从而： AC BC = ( x + a)( x - a) + y2 ， 结合题意可得： ( x + a)( x - a) + y2 = 1， 整理可得： x2 + y2 = a2 +1， 即点 C 的轨迹是以 AB 中点为圆心，为半径的圆.故选：A.2020高考真题分类5. 【答案】B【解析】因为直线 x = 2 与抛物线 y2 = 2 px( p 0) 交于 E, D 两点，且OD OE ， 根据抛物线的对称性可以确定DOx = EOx = p ，所以 D (2, 2) ， 4( , 0)代入抛物线方程4 = 4 p ，求得 p = 1，所以其焦点坐标为 1， 2故选：B. 6. 【答案
17、】C【解析】设抛物线的焦点为 F，由抛物线的定义知| AF |= x+ p = 12 ，即12 = 9 + p ，解得 p = 6 . 故选：C.A227. 【答案】D【解析】由题可知，抛物线的焦点为(1, 0) ，所以直线l 的方程为 x + y = 1，即直线的斜率为-b ，b又双曲线的渐近线的方程为 y = b x ，所以-b = - b ， -b b = -1 ，因为a 0, b 0 ，解得aaaa = 1, b = 1 故 选 ： D 8.【答案】B【解析】如图所示：因为线段 FQ 的垂直平分线上的点到 F , Q 的距离相等，又点 P 在抛物线上，根据定义可知，PQ = PF ，所
18、以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P .故选：B.9. 【答案】D【解析】因为| PA | - | PB |= 2 0) ，而点 P 还在函数32020高考真题分类y = 3y = 3的图象上，所以， x = 13 由2y2，解得2， 即 OP = 10 x -3= 1( x 0) y = 3 32故选：D.10. 【答案】B【解析】由 y = k(x +1) 可知直线过定点 P(-1, 0) ，设 A(0, -1) ， 当直线 y = k(x +1) 与 AP 垂直时，点 A 到直线 y = k(x +1) 距离最大， 即为| AP |=2 .故选：B.11. 【答案】Bx2y2【解析】 C
19、 :a2-= 1(a 0,b 0)b2双曲线的渐近线方程是 y = b x a直线 x = a 与双曲线C : x2 - y2 = 1(a 0,b 的两条渐近线分别交于 ，两点a2b20)DE不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限 x = ax = a联立 y = b x ，解得 y = b a故 D(a, b) x = ax = a联立 y =- b x ，解得 y = -b a故 E(a, -b) | ED |= 2b ODE 面积为： SODE= 1 a 2b = ab = 8 22双曲线C : xa2y2-=b21(a0,b0) 2020高考真题分类 其焦距为2c = 2 2= 2
20、= 8 当且仅当a = b = 2取等号 C 的焦距的最小值： 8 故选：B.12. 【答案】D【解析】设直线l 在曲线 y =上的切点为(x0 ,x0 )，则 x0 0 ， 函数 y =的导数为 y =1，则直线l 的斜率 k = 1， 21设直线l 的方程为 y -=( x - x0) ，即 x - 2y + x0= 0 ， 由于直线l 与圆 x2 + y2 = 1 相切，则x0=， 5两边平方并整理得5x2 - 4x -1 = 0 ，解得 x = 1， x =- 1 （舍）， 00005则直线l 的方程为 x - 2 y +1 = 0 ，即 y = 1 x + 1 .22故选：D.13.
21、 【答案】A【解析】c =5 ，c =a5a ，根据双曲线的定义可得PF1- PF2= 2a ， S= 1 | PF | PF = 4 ，即| PF | PF= 8 ， PF1F221212F P F P ，| PF |2 + PF2 = (2c)2 ， 1212( PF1- PF2)2 + 2 PF PF2= 4c2 ，即a2 - 5a2 + 4 = 0 ，解得 a =1， 1故选：A.14. 【答案】D【解析】圆的方程可化为( x -1)2 + ( y -1)2 = 4 ，点 M 到直线l 的距离为d = 2 ，所以直线l 与圆相离2020高考真题分类依圆的知识可知，四点 A, P, B,
22、 M 四点共圆，且 AB MP ，所以 PM AB = 4SPAM= 4 1 PA AM2= 4 PA ， 而 PA =，当直线 MP l 时， MP min =， PA min = 1，此时 PM AB 最小111 y = 1 x + 1x = -1 MP : y -1 =( x -1) 即 y =x +，由22 解得， 2222x + y + 2 = 0 y = 0所以以 MP 为直径的圆的方程为( x -1)( x +1) + y ( y -1) = 0 ，即 x2 + y2 - y -1 = 0 ， 两圆的方程相减可得： 2x + y +1 = 0 ，即为直线 AB 的方程故选：D.1
23、5. 【答案】B【解析】由已知，不妨设 F1(-2, 0), F2(2, 0) ， 1则 a = 1, c = 2 ，因为| OP |= 1 = 2 | F1F2 |， 所以点 P 在以 F1F2 为直径的圆上， 即 F1F2P 是以 P 为直角顶点的直角三角形， 故| PF |2 + | PF |2 =| F F|2 ， 121 212即| PF |2 + | PF|2 = 16 ，又 | PF | - | PF| = 2a = 2 ， 12所以4 = | PF1 | - | PF2| 2 = | PF |2 + | PF|2 -2 | PF | PF|= 16 - 2 | PF1 | PF
24、2|， 解得| PF | PF|= 6 ，所以 S= 1 | PF | PF1212|= 3 12故选：BF1F2P21216. 【答案】ACD【解析】对于 A，若m n 0 ，则mx2 + ny2 = 1可化为11x2 + y2 = 11，1mn因为m n 0 ，所以 0 ，则 mx2 + ny2 = 1可化为 x2 + y2 = 1 ，n此时曲线C 表示圆心在原点，半径为n 的圆，故B 不正确；n 对于 C，若mn 0 ，则mx2 + ny2 = 1可化为 y2 = 1 ，ny = n ，此时曲线C 表示平行于 x 轴的两条直线，故 D 正确；n故选：ACD.317. 【答案】2x2y25
25、b5【解析】双曲线-a25= 1，故b =.由于双曲线的一条渐近线方程为 y =x ，即=2a a = 2 ，2c3所以c =3故答案为：2= 3 ，所以双曲线的离心率为 a = 2 .1618. 【答案】3【解析】抛物线的方程为 y2 = 4x ，抛物线焦点 F 坐标为 F (1, 0) ， 又直线 AB 过焦点 F 且斜率为，直线 AB 的方程为： y =3(x -1) 代入抛物线方程消去 y 并化简得3x2 -10x + 3 = 0 ， 1解法一：解得 x1 = 3 , x2 = 3116所以| AB |=| x1 - x2 |=1+ 3 | 3 -|=33解法二： D = 100 -
26、36 = 64 0 2020高考真题分类 设 A(x , y ), B(x , y ) ，则 x + x= 10 ,1122123过 A, B 分别作准线 x = -1的垂线，设垂足分别为C, D 如图所示.| AB |=| AF | + | BF |=| AC | + | BD |= x+1+ x+1 = x+ x +2= 1616故答案为：31212319. 【答案】2x = c x2y2x = c2【解析】联立 -= 1 ，解得2 ， 所 以 BF = b . a2b2 y = ba222aa= b + cb2依题可得，= 3 ， AF = c - a ， 即 a =c2 - a2 =，
27、变形得c + a = 3a ， c = 2a ,因此，双曲线C 的离心率为2 .故答案为： 2 20. 【答案】5【解析】因为圆心(0, 0) 到直线 x -c - aa (c - a)33y + 8 = 0 的距离d = 4 ，由| AB |= 2故答案为： 5 可得6 = 2，解得r =5 21.【答案】(1).33(2).- 2 33【解析】由题意， C1,C2 到直线的距离等于半径，即| b |= 1， | 4k + b | = 1， 2020高考真题分类所以| b |= 4k + b ，所以 k = 0 （舍）或者b = -2k ， 解得k =3 , b = - 2 3 .33故答案
28、为：3 ; - 2 3 3322.【答案】(1). (3, 0)(2).【解析】在双曲线C 中， a =， b =，则c = 3 ，则双曲线C 的右焦点坐标为(3, 0) ， 双曲线C 的渐近线方程为 y = 2 x ，即 x 22 y = 0 ， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为=.故答案为： (3, 0) ；.23. 【答案】【解析】由双曲线方程 x2 - y2 = 可得其焦点在 x 轴上，a2因为其一条渐近线为 y =b212x ，所以 b =， e = c =aa=3 .故答案为：24. 【答案】10【解析】PA = PBPC AB设圆心C 到直线 AB 距离为 d ，则|AB
29、|=2 36 - d 2 ,| PC |= 1 所以 SPAB 1 2 36 - d 2 (d +1) =2令 y = (36 - d 2)(d +1)2(0 d 6) y = 2(d +1)(-2d 2 - d + 36) = 0d = 4 （负值舍去） 当0 d 0 ；当4 d b 0) 的一个顶点为 A(0, -3) ， a2b2 b = 3 ， 由 OA = OF ，得c = b = 3 ， 又由a2 = b2 + c2 ，得 a2 = 32 + 32 = 18 ， x2y2所以，椭圆的方程为 += 1 ； 189（）直线 AB 与以C 为圆心的圆相切于点 P ，所以CP AB ， 根
30、据题意可知，直线 AB 和直线CP 的斜率均存在， 设直线 AB 的斜率为k ，则直线 AB 的方程为 y +3 = kx ，即 y = kx - 3 ， y = kx - 322，消去 y ，可得(2k 2 +1) x2 -12kx = 0 ，解得 x = 0 或 x = 12k . x + y = 1 2k 2 +1189将 x =12k代入 y = kx - 3 ，得= 12k6k 2 - 3- =，2k 2 +1yk 2k 2 +1 32k 2 +1 12k6k 2 - 3 所以，点 B 的坐标为 2k 2 +,1 2k 2+1 ， 因为 P 为线段 AB 的中点，点 A 的坐标为(0
31、, -3) ， 6k所以点 P 的坐标为,-3 ， 2k 2 +1 2k 2 +1 由3OC = OF ，得点C 的坐标为(1, 0) ， -3 - 0所以，直线CP 的斜率为kCP= 2k 2 +1=6k-12k 2 +1332k 2 - 6k +1 ， 又因为CP AB ，所以k 2k 2 - 6k +1 = -1， 2020高考真题分类整理得2k 2 - 3k +1 = 0 ，解得k = 1 或 k = 1.2所以，直线 AB 的方程为 y = 1 x - 3 或 y = x - 3 .226. 【解析】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程x2 +2 =可得： A(-a,0) ， B
32、 (a,0) ， G (0,1) E : a2y1(a1) AG = (a,1) ， GB = (a, -1) AG GB = a2 -1 = 8 ， a2 = 9 x22椭圆方程为： + y9= 1 （2）证明：设 P (6, y0 ) ， 则直线 AP 的方程为： y =y0 - 0( x + 3) ，即： y = y0 ( x + 3) 6 - (-3)9y1 x2 + 2 = 9联立直线 AP 的方程与椭圆方程可得： y，整理得： y = 0 ( x + 3)9-3y 2 + 27( y 2 + 9) x2 + 6 y 2 x + 9 y 2 - 81 = 0 ，解得： x = -3
33、或 x = 0 0000-3y 2 + 27y6 y0y 2 + 9将 x = 0代入直线 y = 0 ( x + 3) 可得： y =20y 2 + 99 -3y 2 + 276 yy0 + 9所以点C 的坐标为 0, 0 . y 2 + 9y 2 + 9002020高考真题分类 3y 2 - 3 -2 y 同理可得：点 D 的坐标为 0, 0 y 2 +1y 2 +1 006 y0- -2 y0 -2 y y 2 + 9 y 2 +1 3y 2 - 3 直线CD 的方程为： y - 0 = 0 0 x - 0 ， 0 0 00 y 2 +1 -3y 2 + 273y 2 - 3-y 2 +
34、1 y 2 + 9y 2 +12 y8 y( y 2 + 3) 006 (3 - y )03y 2 - 3 8 y03y 2 - 3 整理可得： y + 0 =0y 2 +1000006 (9 - y 4 ) x -y 2 +1 =0 x -20y 2 +1 整理得： y =4 y0x + 2 y0=4 y0 x - 3 3(3 - y 2 )y 2 - 33(3 - y 2 ) 2 00 302故直线CD 过定点,0 27. 【解析】（1）因为椭圆C1 的右焦点坐标为： F (c, 0) ,所以抛物线C2 的方程为 y2 = 4cx ，其中c =.A, C Cx2y2不妨设在第一象限，因为椭圆 1 的方程为： a2 + b2= 1， x = cc2y2
个人主页
