1、 网络课程 内部讲义 相似三角形相似三角形 教 师：崔莉 爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义爱护环境，从我做起，提倡使用电子讲义 www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 1 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 相似三角形相似三角形 一、知识要点一、知识要点 1相似三角形的概念：相似三角形的概念： 2相似三角形的判定相似三角形的判定 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角
2、形相似. 小结：判定三角形相似的方法：（1）相似三角形的定义；（2）由平行线得相似. 思考：对比三角形全等判定的简单方法（SSS，SAS，ASA，AAS），看是否也有简便的方法？ 相似三角形的判定定理相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例三边对应成比例，两三角形相似两三角形相似. 相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似
3、.可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 3三角形相似的判定的应用三角形相似的判定的应用 4相似三角形的性质相似三角形的性质 （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比. （2）相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比. （3）相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比. 二、总结归纳：二、总结归纳： 1、相似三角形的判定：、相似三角形的判定： （1）相似三角形的定义； （2）平行得相似； （3）三边的比相等； （4）两边的比相等，夹角相等； （5）两角对应相等. 三角形相似判定的方法
4、较多，要根据已知条件适当选择. 2、全等与相似的类比：、全等与相似的类比： 三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等（ASA） 两角一对边对应相等（AAS） 两边及夹角对应相等（SAS） 三边对应相等（SSS） 直角三角形中一直角边与斜边对应相等（HL） 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例 www.J“在线名师” 答疑室 随时随地随时随地提问互动 第 2 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 3、相似三角形的常见图形及其变换：
5、、相似三角形的常见图形及其变换： 4、证明四条线段成比例的常用方法：、证明四条线段成比例的常用方法： （1）线段成比例的定义 （2）三角形相似的预备定理 （3）利用相似三角形的性质 （4）利用中间比等量代换 （5）利用面积关系 证明题常用方法归纳： （1）通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论. （2）若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线上），则需要进行“转移”
6、（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换. （3）若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例.以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为止. 三、典型例题三、典型例题 例 1：根据下列条件，判断ABC 与ABC是否相似，并说明理由： （1）A=120，AB=7cm，AC=14cm； A=120，AB=3cm，AC=6cm. （2）AB=4cm，AC=6cm，AC=8cm； AB=12cm，BC=18cm，AC=21cm. 例 2：要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为 4、5、6，另一个三角形的一
7、边长为 2，怎样选料可使这两个三角形相似？ www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 3 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 例 3：已知：如图，在 RtABC 中，CDAB 于点 D. （1）求证：ABCCBDACD； （2）求证：CD2=ADBD；AC2=ADAB；BC2=ABBD（此结论称之为射影定理） （3）若 AD =8，BD=2，求 AC，BC，CD. （4）若 CB=6,AD=9，求 BD，CD，AC. 例 4：如图，已知ABC 中，AB=5，BC=3
8、，AC=4，PQAB，点 P 在 AC 上，（与点 A、C 不重合），Q 点在 BC 上. （1）当PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时，求 CP 的长. （2）当PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长. （3）在 AB 上是否存在点 M，使得PQM 为等腰直角三角形？若存在请画出图形，若不存在说明理由。 四、强化训练四、强化训练 第一部分第一部分 一、选择题 1一个三角形三边的长分别为 3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是 21，则其它两边的和是（ ） A19 B17 C24 D21 2下列说法中不正确的是（ ） A位似图形一定是相似图形 B相似图形
9、不一定是位似图形 C位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 D位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行 3如图，由下列条件不能判定ABC 与ADE 相似的是（ ） AAEACADAB= BB=ADE CAEDEACBC= DC=AED 4如图，ABC中，BAC=90，ADBC于D，若AB=2，BC=3，则CD的长是（ ） A83 B23 C43 D53 www.J“在线名师” 答疑室 随时随地随时随地提问互动 第 4 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 5如图，若1=2
10、=3，则图中相似的三角形有（ ） A1 对 B2 对 C3 对 D4 对 6下列说法不正确的是（ ） A所有的矩形是相似的 B含30直角三角形与含60角的直角三角形是相似的 C所有边数相等的正多边形是相似的 D所有的等边三角形都是相似的 7如图 1，ADEABC，若4, 2=BDAD，则ADE与ABC的相似比是（ ） A12 B13 C23 D32 8 如图 2， 点P是ABC的边AC上一点， 连结BP， 以下条件中， 不能判定ABPACB的是 （ ） AABACAPAB= BABACBPBC= CCABP= DABCAPB= 9如图，图中的x是（ ） A1 B2 C2 D22 10如图，王华
11、晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为 1米，继续往前走 2 米到达E处时，测得影子EF的长为 2 米，已知王华的身高是 1.5 米，那么路灯A的高度等于（ ） A4.5 米 B6 米 C7.2 米 D8 米 二、填空题： 11如图所示，铁道口的栏杆短臂长 1m，长臂长 16m，当短臂的端点下降 0.5m 时，长臂端点应升高_； 11 图 12 图 12 如图所示，AD是ABC的中线， ADC=45， 把ADC沿AD对折， 点C落在C的位置， 则BCBC的值为_； 13如图所示，D是ABC的边AC上的点，过D作直线DE，与AB交于点E，若ADE与ABC相似，则这样的直线DE最多可作
12、_条 www.J“在线名师” 资料室 免费资料免费资料任你下载 第 5 页 在线学习网址：www.J 客服热线：400-650-7766（9：0021：00 everyday） 版权所有 北京天地精华教育科技有限公司 13题图 14题图 14如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD=2米的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一直线上，如果测得BD=20米，FD=4米，EF=1.8米，则树的高度为_； 15若235abc=（0abc） ，则abcabc+=_； 16把长度为20cm的线段进行黄金分割，则较短线段的长是_cm； 17两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm、25cm，它们的周长差为63cm，则这两个三角形的周长分别是_； 三、解答题： 18如图，ABCD中，M是AB上的一点，连结CM并延长交DA的延长线于P，交对角线BD于N，求证：NPMNCN=2 19如图，梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点，EF与BD相交于点M （1）求证：EDMFBM； （2）若DB=9，求BM
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