1、高中版2012 年 6 月球是高中数学中的重要内容之一， 在历年高考题中， 有关简单空间几何体的外接球问题屡见不鲜 解决这类问题的关键是球心的确定，此时应紧抓一个关键点：球心到各顶点距离都相等 下面仅就棱柱与棱锥的外接球问题浅谈如何确定简单空间几何体外接球的球心类型一：棱柱的外接球例1 （2010年课标 ） 设长方体的长、 宽、 高分别为2a、 a、 a， 其顶点都在一个球面上， 则该球的表面积为 （） A3a2B6a2C12a2D24a2解析：如图1所示法一：由长方体的性质可知其四条体对角线交于一点O，点O到八个顶点的距离相等， 是体对角线的一半， 所以点O就是长方体外接球的球心法二：由长方
2、体的长、 宽、 高分别为2a、 a、 a， 可知题中长方体也是正四棱柱， 由于正方形的中心到各顶点的距离相等， 而球心O到各个顶点的距离均相等， 所以外接球的球心是上下底面中心连线的中点小结：长方体外接球的球心是体对角线的中点；正棱柱外接球的球心是上下底面中心连线的中点类型二：棱锥的外接球例2 （2010年辽宁） 已知S、 A、 B、 C是球O表面上的点，SA面ABC， ABBC， SA=AB=1， BC=2%姨，则球O的表面积等于 （） A4B3C2D三棱锥S-ABC中， 底面是边长为1的正三角形， 侧棱长都为2， 则经过S、 A、 B、 C的球O的表面积为_解析：法一：如图2， 可知RtS
3、AC和RtSBC有公共的斜边SC， 在直角三角形中， 斜边中线等于斜边的一半， 所以取SC的中点O， 则OA=OS=OC=OB=12SC， 即SC的中点是其外接球的球心法二：注意到SA面ABC， BC面SAB， 可将此三棱锥补成长宽高分别为1、2%姨、 1的长方体， 如图3， 根据类型一可知其外接球的球心是SC的中点由题可知三棱锥S-ABC是三棱锥，如图4设ABC的中心为O1， 外接球球心为O， 则O1到A、 B、 C距离相等， 且SO1面ABC， 故球心O在SO1上， 具体位置可通过计算找到取BC的中点D， 连接AD， 则A、 O1、 D三点共线， 连接SO1， 设外接球半径r， 连接AO.
4、则AO=SO=r， AO1=3%姨3， SO1=113%姨在RtAOO1中， AO=r， OO1=SO1-SO=113%姨-r， AO1=3%姨3由勾股定理得AO2=OO1+AO1， 即r2=113%姨-33r2+3%姨3332解得r=233%姨11.可知球心O在高SO1上且距离S点的长度为233%姨11小结：1若已知棱锥含有线面垂直关系， 则将棱锥补成长方体或正棱柱2若三棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形， 则公共斜边的中点就是外接球的球心3正棱锥的外接球球心在棱锥的高上自我提升：（2010年高考新课标全国卷 ） 设三棱柱的侧棱垂直于底面， 所有棱长均为a， 顶点都在同一个球面上， 则该球的
5、表面积为（） Aa2B73a2C113a2D5a2四面体ABCD中， 共顶点A的三条棱两两互相垂直， 且其长分别为1、6%姨、 3， 若四面体的四个顶点同在一个球面上， 则这个球面的表面积为_三棱锥S-ABC中， SA面ABC， SA=2， ABC是边长为1的正三角形， 则其外接球的表面积为_ （2012年河南省六市联考 ） 正四棱锥P-ABCD中， 底面的四个顶点A、 B、 C、 D在球O的同一个大圆上， 点P在球面上， 如果VP-ABCD=163， 则球O的体积是_参考答案：例1：B例2：A4811自我提升：B16163323例谈棱 柱与棱 锥外接球球心的确定筅河南省息县第二高级中学王钰莹祁中奎图 1DCBAOC1B1A1D1图 3ABCS图 4ABCDOO1S课程解读教材教法图 2ABCS8
个人主页
