球的内接外切问题.pdf

1、E o ， ， 则 s i n 0 0 ； 而两个 向量 的夹角 ( ， l ， A A ) 范围是 0 ， 盯 ) ， C O S ( ， l ， A A )的符号有多种 _+ 可能， 故取 s i n 0=I C O S ( ， l ， A A 1 )1 变式练 习题 1 如 图 3 ， 在 长方 体 A C D 1 Bl C 1 D l 中， A D =A A 。=1 ， A B=2 ， 点 E在 棱 A B上移动 (U)当 E为 A B的中 点时， 求点 E到面 A C D 的距离； ( 1 l I ) A E等于何值时 ， 二面角 D 一E C D 的大小为 2 。如 图 4 ，四棱

2、 锥 P 一 曰 C D中， 底面A B C D 为 矩 形 ， P D 上 底 面 ABCD AD = PD E， F 别 C D、 P B的中点 (I) 求证 ： E F上平 面 P A ； 刘延升 杨 文 图 4 ()设 A B = c， 求 A C与平面A E 所 成角的大小 3 如图 5 ， 已知 四棱锥 P A B c D的底面为直角梯 形， A B D C ， D A B = 9 0 。 ， P A上 底 面 A B C D， 且 1 PA = AD = DC = B = 1 ， 是 尸 B的中点 P D C 图 5 (I) 证 明 ： 面 P A D 上 面 P C D； (1

3、 I ) 求 A C与 胎 所成的角 ； ( ) 求面A MC与面B MC所成二面角的大 小 参考答案： 1 (I) ( 略) ； (1I )了 1； ( H I )当 A E =2 f， 3时， 二面角 D 一E c D的大小为 ff 4 2 ( _ I) ( 略) () a r c s i n 3 (I ) (略 ) ； I I ) a r c c o s ； ( IlI ) a r c c o s ( 一 5 - ) 甘肃省高台县 第一中学( 7 3 4 3 0 0 ) ， 球的肉按外切阃题 与球有关的内接 外切问题是高考中的一 类常见题型 本文就这两类问题 ， 通过例题探讨 著= r

4、求解方法 一、球的内接多面体 这里指的是球的内接三棱锥 、 四棱锥， 内接 正方体 、 长方体 、 正六棱柱等 ； 其基本问题是互 求棱长 ( 球半径) 、 面积、 体积等 求解的方法有 -l 6 截面法、 分割法 、 补形法 、 向量法等 例 l ( 2 0 0 3年 高考)一个四面体的所有 棱长都为 ， 四个顶点在 同一球 面上 ， 则此球 的表 面积是( ) ( A)3 T r ( B) 4 w( C )3 , 3 T ( D)6 盯 解法 l ： 作出轴截面图， 将诸元素集中到截 面 图中 如 图 1 ， 过 四 面体 A B C D 的棱 A B和球心 0作截面图 设 球直径 A E

5、与底面 B C D交于点 0 ， ， 则 A B ： 可求得底面 B AB C D中， C D边上的高 B M = 由 D ， 是正 AB C D的中心 ， 得 B O = - - B MB O - -B M = 3 = = 图 1 进而由勾股定理得 A D ，： 设球半径为 R， 则 OA ： OB ： 尺 ， O0，： 一 尺 在 R t t L O B O 中， 由 O B =BO +O 0 “， 有 ( (学 ， 解 得 R =, 3 所以 S 砖 ：4 w R =3 叮 T 选( A) 解 法 2 ： 以球 心 0为顶 点 ， 四面体 的 四个 面为底 面 ， 将 四面体 分割成 等

6、体 积 的四个 小锥 体， 利 用小 锥体的体积之和等于原 四 面体 的体 积 ， 来导 出小锥 体高 O 0 与四面体高 A O C 图 2 I 司的关 系 进 而求 出球半 径 尺 如图 2 ， 设 A O ：h ， O 0 =d ， 则部分与整 体的关系是 4 一 删，= 。 ， 即 43-Sd ： 可导出 h=4 d， 则 R =A O=3 d 0 由解法 1知 A O ，： ， 则 尺 ： 以下 j Z 略 解法 3 ： 利用补形法， 转化 为熟悉 而简单 的 图形 以正四面体的棱长 作为 正 方 体 的 面 对 角 线 长 ， 将正 四面体补成 正方 体 ， 如 图 3 那么该正方

7、体 与原 四面体有相 同的外 接 球 这 时正方体 的棱 长 为 1 ， 则正方体的体对角线 A E 图3 长为 ， 它也是外接球的直径， 从而球半径R= 以下略 解法4： 引入向量， 通过 向量 的运算来求出 半 径 如图2 ， 设O A， O B， O C， O D两两之间夹角为 ，模为 。 由正四面体的对称性 ， 知O A+O B+O C+ DD = 0 因而O A ( O A+O B +O C+O D) =0 ， 虽 p R ：+3 R 2 c 。 s ：0 ， 得 。 o s 0：一 又 O B O A = A B = = ( O BO A) =( A B) j OB + OA 一

8、2 OB OA = 2 jR 一R 一2 R ( 一 )：2 尺 = = s 球 ： 4 耵 R = 3 耵 选 ( A) 小结： 1 作截面图时， 一般应使截面经过球 心， 还要使截面过某一条棱 ， 或使多面体被截后 的两部分具有刘称性 这样才能使截丽图中含 有半径、 多面体的侧凌长或底边长 ， 使题 目中渚 元素的位置关系和数量关系得 以显见 截面法 可使空间问题转化为平 面问题 ， 隐藏关 系变为 明显的直接关系 1 7 2 运用体积分割法时， 一般是 以球心为顶 点， 多面体的各个面为底面 ， 分割成若干个 以球 心到各 面距离为高的小锥体 ， 然后用整体是个 体之和的关系分析求解 3

9、 将球 的内接 四面体补成正方体或长方 体 ， 是常用技巧， 可明确位置关 系， 显现出球的 直径， 为解题带来方便 实际上， 只要四面体的 三组对棱分别相等， 就可以把它补成长方体 因 此 ， 在球的问题 中， 共点弦补成锥 ， 内接锥体补 成内接柱体 ， 是一种典型手法 4 向量兼有数量与图形的双重身份 ， 并具 备一套完整的运算体系 因此， 有关线面位置关 系、 距离和角度问题 ， 都可以转化为向量 问题 ， 通过向量的运算而解决 例 2 ( 2 0 0 9 年 全 国 卷I)直 三 棱 柱 4 B C _ l A ， B C 的各顶点都在 同一球面上 若 A B =A C=A A =2

10、 ， B A C=1 2 0 。 ， 则此球的表面 积等 于 ， 解 ： 球心 0在面 A B C内 的射影 0 是 AA B C外接圆 的 圆 心， 且 由 B A C = 1 2 0 。 ， 知 0 在 AA B C 外 ( 见 图 4) 由图 形 的对 称 性 ，知 0 0 = 1 设 球 半 径 为 R， 图4 AA B C外接圆的半径为 r 对于 AA B C ， 由余弦 定理 知 BC。 = AB +AC 一 2 AB AC c o s 1 2 0。 可得B C=2 ,5； 再 由正弦定理 ， 有 2 r= B C ，得 r=2 在 R t O 0 B中， 由勾股定理得 ， R ：

11、 OB = 0 0 + 0 B ： 5 所 以球的表面积 S=4 v R =2 0 ,r ； 点评 ： 本题既考查了对球 、 柱中的诸点 、 线 、 砸间位置关系的掌控能力， 又需要综合运用余 弦定理 、 正弦定理等三角知识 本题虽是小题 ， 但对空间想象能力要求高， 是一道几何与三角 的综合题 1 8 二、 球与球、 球与平面的相切 有关球 的相切问题 ， 解题方法主要是截面 法 、 分割法 和构造法 其 中截面应过球心和切 点； 构造法是指四个球两两相切时， 四个球心的 连线构成四面体 例3 ( 2 0 0 5年全国卷 ) 将半径都为l 的 4个钢球 完全装 入 形 状 为 正 四 面体

12、的 容 器 里 ， 这个正四面体的高的最小值为( ) c ( C )4+ ( B)2+ ( 。) 本题是当年试卷 中的难题 ， 所 给答案繁琐 又不易想到 本文综合运用分割 、 构造、 截面的 方法 ， 可化难为易 思路 ： 将所求高分为三部分： ： 上部小球球心到正 四面体上顶点的距 离 ； 中部四个小球的球心连线构成 的较小 正四面体的高； 下部小球球心到底面的距离 ， 即小球半 径 。 略解 ： 设上部小球球 0 ， 内切于一个小正四 面体( 如图 5 ) ， 仿照例 1的解法 2， 用体积分割 法， 可推得小正四面体 4 一E F G的高是内叨球 半径的4倍 则球心 0 到上顶点 A的

13、距离 A O = 4 一 l = 3 G ， = 图 5 图 6 再由四个球心构成一个棱长为 2的较小正 四面体 0 一O ： 0 0 参考图6 ， 不难求 出它的高 01 0 = ， 因此 ， 所求高的最小值是 AOl+ 01 0 +R ： 3 + + l ： 4 + 选 ( C ) 练 习题 ： 1 ( 2 0 0 9年江西)正三棱柱 A B C B C 内接于半径为 2的球 ， 若 A， B两点的球面距离 为 叮 r ， 则正三棱柱的体积为 2 ( 2 0 0 8年天津)一个正方体 的各顶点均 在同一球的球面上 ， 若该球 的体积为 4 1 T ， 则 该正方体的表面积为 3 ( 2 0

14、 0 8年宁夏)一个六棱柱 的底面是正 六边形 ， 其侧棱垂直底面 已知该六棱柱的顶点 都在同一球面上 ， 且该六棱柱的体积为Z - ， 底边 张雪松 长为 1， 则这个球的体积为 二 4 ( 2 0 0 8年浙江 ) 球面上四点 t 、 B、 C、 D满 足 D A 上 面 A B C ， A D 上 BC ， D A =A B = B C = ，则球体积为 5 ( 2 0 0 7年全国卷 ) 一个正四棱柱 的各 个顶点在一个直径为 2 e m的球面上 ， 如果正四 棱柱的底面边长为 1 e m， 那么该棱柱的表 面积 为 c r n 练习题答案： 1 8； 2 2 4； 3 4,r r ；

15、 4 2 + 4 D 二 哈尔滨市第一二二中学( 1 5 0 0 4 0 ) 3 3 - 苏省苏州工业园区星港中学( 2 1 3 o o o ) 立体几何求角问题 立体几何问题是历年高考的必考题型， 且 以“ 求空 间角”为命题 的热点和重点 那么如何 更有效地提升认知效率 、 提高解题能力呢? 笔者 认为在记牢定理 、 记清基本方法的基础上 ， 加强 求解思维中的“ 变通”指导尤为关键 ， 也就是在 面对解题中的挫折点时， 如何合理转化 、 打通思 路 今以 2 0 1 0年山东省高考理科卷第 l 9题 为 例 ， 加以阐述 题 目 如 图 1 ， 在 五 棱锥 P A B C D E寺 ，

16、 P A L 商A B C D E A B ? C D A C ? E D A E? ? B C _ A B C= 4 5 。 ， A B =2 4 2， B C ：2 A E =4 ， 三 角形 P A B是等腰 三 角形 图 1 (I)求证 ： 平面 P C D 上 平 面 C； ()求直线 P B与平面 PC D所成角的大 的“ 变通 之路 小 ； ( )求四棱锥 J P A C DE的体积 分析： 此题背景较为生僻 ， 为不常见 的不规 则五棱锥 ， 但条件丰富， 为问题的多样求解提供 了依据从 考 生 的反馈 分 析 ， 焦点 集 中于 第 ( I I )问， 因为根据教材对线面角的定义 ， 考生 首先想到的是 Jp B在平面 P C D内的射影 ， 但直 线 P 在面 P C D内的射影不易确定 对此可进 行如下的“ 变通”求解 通 路 1 ： 变角 通过构造空间角的“ 等价角 ”或 “ 关 系角” 解决问题 ， 如转化为向量所成的角 、 其它几何角 等 解 1 ： ( 变 为向量角 )取 P C的 中点 F， 连结 A F 由(I)知 P A =A C=2 4 2， 所以， 1 上P C 因为平面 P C D上平面 P A C， 所 以A f 上平 1 9