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1、E o , , 则 s i n 0 0 ; 而两个 向量 的夹角 ( , l , A A ) 范围是 0 , 盯 ) , C O S ( , l , A A )的符号有多种 _+ 可能, 故取 s i n 0=I C O S ( , l , A A 1 )1 变式练 习题 1 如 图 3 , 在 长方 体 A C D 1 Bl C 1 D l 中, A D =A A 。=1 , A B=2 , 点 E在 棱 A B上移动 (U)当 E为 A B的中 点时, 求点 E到面 A C D 的距离; ( 1 l I ) A E等于何值时 , 二面角 D 一E C D 的大小为 2 。如 图 4 ,四棱
2、 锥 P 一 曰 C D中, 底面A B C D 为 矩 形 , P D 上 底 面 ABCD AD = PD E, F 别 C D、 P B的中点 (I) 求证 : E F上平 面 P A ; 刘延升 杨 文 图 4 ()设 A B = c, 求 A C与平面A E 所 成角的大小 3 如图 5 , 已知 四棱锥 P A B c D的底面为直角梯 形, A B D C , D A B = 9 0 。 , P A上 底 面 A B C D, 且 1 PA = AD = DC = B = 1 , 是 尸 B的中点 P D C 图 5 (I) 证 明 : 面 P A D 上 面 P C D; (1
3、 I ) 求 A C与 胎 所成的角 ; ( ) 求面A MC与面B MC所成二面角的大 小 参考答案: 1 (I) ( 略) ; (1I )了 1; ( H I )当 A E =2 f, 3时, 二面角 D 一E c D的大小为 ff 4 2 ( _ I) ( 略) () a r c s i n 3 (I ) (略 ) ; I I ) a r c c o s ; ( IlI ) a r c c o s ( 一 5 - ) 甘肃省高台县 第一中学( 7 3 4 3 0 0 ) , 球的肉按外切阃题 与球有关的内接 外切问题是高考中的一 类常见题型 本文就这两类问题 , 通过例题探讨 著= r
4、求解方法 一、球的内接多面体 这里指的是球的内接三棱锥 、 四棱锥, 内接 正方体 、 长方体 、 正六棱柱等 ; 其基本问题是互 求棱长 ( 球半径) 、 面积、 体积等 求解的方法有 -l 6 截面法、 分割法 、 补形法 、 向量法等 例 l ( 2 0 0 3年 高考)一个四面体的所有 棱长都为 , 四个顶点在 同一球 面上 , 则此球 的表 面积是( ) ( A)3 T r ( B) 4 w( C )3 , 3 T ( D)6 盯 解法 l : 作出轴截面图, 将诸元素集中到截 面 图中 如 图 1 , 过 四 面体 A B C D 的棱 A B和球心 0作截面图 设 球直径 A E
5、与底面 B C D交于点 0 , , 则 A B : 可求得底面 B AB C D中, C D边上的高 B M = 由 D , 是正 AB C D的中心 , 得 B O = - - B MB O - -B M = 3 = = 图 1 进而由勾股定理得 A D ,: 设球半径为 R, 则 OA : OB : 尺 , O0,: 一 尺 在 R t t L O B O 中, 由 O B =BO +O 0 “, 有 ( (学 , 解 得 R =, 3 所以 S 砖 :4 w R =3 叮 T 选( A) 解 法 2 : 以球 心 0为顶 点 , 四面体 的 四个 面为底 面 , 将 四面体 分割成 等
6、体 积 的四个 小锥 体, 利 用小 锥体的体积之和等于原 四 面体 的体 积 , 来导 出小锥 体高 O 0 与四面体高 A O C 图 2 I 司的关 系 进 而求 出球半 径 尺 如图 2 , 设 A O :h , O 0 =d , 则部分与整 体的关系是 4 一 删,= 。 , 即 43-Sd : 可导出 h=4 d, 则 R =A O=3 d 0 由解法 1知 A O ,: , 则 尺 : 以下 j Z 略 解法 3 : 利用补形法, 转化 为熟悉 而简单 的 图形 以正四面体的棱长 作为 正 方 体 的 面 对 角 线 长 , 将正 四面体补成 正方 体 , 如 图 3 那么该正方
7、体 与原 四面体有相 同的外 接 球 这 时正方体 的棱 长 为 1 , 则正方体的体对角线 A E 图3 长为 , 它也是外接球的直径, 从而球半径R= 以下略 解法4: 引入向量, 通过 向量 的运算来求出 半 径 如图2 , 设O A, O B, O C, O D两两之间夹角为 ,模为 。 由正四面体的对称性 , 知O A+O B+O C+ DD = 0 因而O A ( O A+O B +O C+O D) =0 , 虽 p R :+3 R 2 c 。 s :0 , 得 。 o s 0:一 又 O B O A = A B = = ( O BO A) =( A B) j OB + OA 一
8、2 OB OA = 2 jR 一R 一2 R ( 一 ):2 尺 = = s 球 : 4 耵 R = 3 耵 选 ( A) 小结: 1 作截面图时, 一般应使截面经过球 心, 还要使截面过某一条棱 , 或使多面体被截后 的两部分具有刘称性 这样才能使截丽图中含 有半径、 多面体的侧凌长或底边长 , 使题 目中渚 元素的位置关系和数量关系得 以显见 截面法 可使空间问题转化为平 面问题 , 隐藏关 系变为 明显的直接关系 1 7 2 运用体积分割法时, 一般是 以球心为顶 点, 多面体的各个面为底面 , 分割成若干个 以球 心到各 面距离为高的小锥体 , 然后用整体是个 体之和的关系分析求解 3
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- 外切 问题