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1、大足中学高2021级数学组回归基础系列之教材习题选编新人教A版选择性必修一高2021级数学组编2020年9月选择性必修一目录第一章 空间向量与立体几何11.1空间向量及其运算11.1.1空间向量及其线性运算11.1.2空间向量的数量积运算2习题1.141.2空间向量基本定理6习题1.281.3空间向量及其运算的坐标表示91.3.1空间直角坐标系91.3.2空间向量运算的坐标表示10习题1.3121.4空间向量的应用131.4.1用空间向量研究直线、 平面的位置关系131.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题15习题1.419复习参考题123第二章 直线和圆的方程282.1直线的倾斜角与斜率28
2、2.1.1倾斜角与斜率282.1.2两条直线平行和垂直的判定28习题2.1292.2直线的方程302.2.1直线的点斜式方程302.2.2直线的两点式方程302.2.3直线的一般式方程31习题2.2322.3直线的交点坐标与距离公式332.3.1两条直线的交点坐标332.3.2两点间的距离公式34i2.3.3点到直线的距离公式342.3.4两条平行直线间的距离34习题2.3352.4圆的方程362.4.1圆的标准方程362.4.2圆的一般方程37习题2.4372.5直线与圆、 圆与圆的位置382.5.1直线与圆的位置关系382.5.2圆与圆的位置关系39习题2.539复习参考题241第三章 圆
3、锥曲线的方程433.1椭圆433.1.1椭圆及其标准方程433.1.2椭圆的简单几何性质44习题3.1453.2双曲线473.2.1双曲线及其标准方程473.2.2双曲线的简单几何性质48习题3.2493.3抛物线503.3.1抛物线及其标准方程503.3.2抛物线的简单几何性质51习题3.352复习参考题354ii第一章 空间向量与立体几何第一章 空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1空间向量及其运算 1.1.1空间向量及其线性运算1. 如图1.1-9, 已知平行四边形ABCD,过平面AC 外一点O作射线OA, OB, OC, OD,在四条射线上分别取点E , F , G , H,使
4、 OEOA= OFOB= OGOC= OHOD=k.求证:E,F,G,H 四点共面.ABCDEFGHO图1.1-92. 举出一些表示三个不同在一个平面内的向量的实例.3. 如图, E, F 分别是长方体 ABCD -ABCD的棱AB, CD 的中点.化简下列表达式, 并在图中标出化简结果的向量:ABCEFDABCD(1) AA- CB ;(2) AA+ AB + BC ;(3) AB - AD+ BD ;(4) AB + CF.4. 在图1.1-6中, 用 AB, AD, AA表示 AC, BD及 DB.ABCDABCD图1.1-6【选择性必修一【选择性必修一 第第1页页 共共57页】页】5.
5、 如图,已知四面体ABCD, E, F 分别是BC, CD的中点.化简下列表达式, 并在图中标出化简结果的向量:ABDCEF(1) AB + BC + CD ; (2) AB +12 BD+ BC ; (3) AF -12( AB + AC) .6. 如图, 已知正方体ABCD-ABCD,E, F 分别是上底面AC和侧面CD的中心.求下列各式中x, y的值:BCDABCDAEF(1) AC=x( AB + BC + CC);(2) AE = AA+x AB +y AD;(3) AF = AD+x AB +y AA. 1.1.2空间向量的数量积运算7. 如图 1.1 - 12, 在平行六面体 A
6、BCD - ABCD中, AB = 5,AD = 3,AA= 7,BAD = 60, BAA=DAA=45.求:ABCDABCD图1.1-12(1) AB AD;(2)AC 的长(精确到0.1).8. 如图1.1-13, m, n是平面内的两条相交直线.如果lm, ln,求证: l.【选择性必修一【选择性必修一 第第2页页 共共57页】页】lmnglmng图1.1-139. 如图,在正三棱柱ABC -A1B1C1中,若AB =2BB1,则AB1与BC1所成角的大小为( ).ABCA1B1C1(A) 60(B) 90 (C) 105(D)7510. 如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,设
7、AB =a, AD=b, AA=c,求:ABCDABCDabc(1)ab+c; (2)aa+b+c; (3)a+bb+c.11. 如图, 在平行六面体ABCD-ABCD中, AB =4, AD=3, AA=5,BAD=90,BAA=DAA=60.求:(1) AA AB; (2)AB的长;(3)AC的长.ABCDABCD12. 如图, 线段AB,BD在平面内, BDAB,AC , 且AB =a,BD=b,AC =c.求C,D两点间的距离.【选择性必修一【选择性必修一 第第3页页 共共57页】页】ABDCabc 习题1.113. 如图, 在长方体ABCD-ABCD中, E, F 分别为棱AA, A
8、B 的中点.ABCDEFABCD(1)写出与向量 BC 相等的向量;(2)写出与向量 BC 相反的向量;(3) 写出与向量 EF 平行的向量.14. 如图,已知平行六面体ABCD-ABCD,化简下列表达式, 并在图中标出化简结果的向量.ABCDABCD(1) AB + BC; (2) AB + AD+ AA(3) AB + AD+12 CC;(4)13( AB + AD+ AA)15. 证明:如果向量a, b共线, 那么向量2a+b与a共线.16. 如图, 已知四面体ABCD的所有棱长都等于a, E, F, G 分别是棱AB, AD, DC 的中点.求:ABCDEFG【选择性必修一【选择性必修
9、一 第第4页页 共共57页】页】(1) AB AC;(2) AD DB;(3) GF AC;(4) EF BC;(5): FG BA;(6) GE GF.17. 如图,在平行六面体.ABCD-A1B1C1D1中, AC 与BD的交点为M.设 A1B1=a,A1D1=b, A1A=c,则下列向量中与B1M 相等的向量是( ).ABCDA1B1C1D1Mabc(A) -12a+12b+c(B)12a+12b+c(C)12a-12b+c(D)-12a-12b+c18. 如图, 已知E,F,G,H 分别为四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA的中点, 求证: E, F,G,H 四点共面.ABCDEF
10、GH19. 如图, 正方体ABCD-ABD的棱长为a.ABCDABCD(1)求AB 和BC 的夹角;(2)求证:AB AC.20. 用向量方法证明: 在平面内的一条直线, 如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直, 那么它也与这条斜线垂直(三垂线定理)21. 如图, 在四面体OABC 中, OABC,OB AC.求证: OC AB【选择性必修一【选择性必修一 第第5页页 共共57页】页】OBCA22. 如图, 在四面体OABC 中, OA=OB,CA=CB,E,F,G,H 分别是OA,OB,BC, CA的中点, 求证: 四边形EFGH 是矩形。ABCOEFGH1.2空间向量基本定理1.2
11、空间向量基本定理23. 如图 1.2 - 2, M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点, 点 N 在线段 OM 上, 点 P 在线段 AN 上, 且 MN =1ON,AP=34AN,用向量 OA, OB, OC 表示 OP.ABCOMNP图1.2-224. 已知向量 a,b,c是空间的一个基底, 从 a,b,c中选哪一个向量, 一定可以与向量 p= a+ b , q= a- b构成空间的另一个基底?25. 已知O, A, B, C 为空间的四个点, 且向量 OA, OB, OC,不构成空间的一个基底, 那么点O, A, B. C 是否共面?26. 如图, 已知平行六面体OABC -OABC
12、,点G 是侧面BBCC 中心, 且 OA=a, OC =b, OO=c.【选择性必修一【选择性必修一 第第6页页 共共57页】页】ABCOABCOG(1) a,b,c是否构成空间的一个基底?(2)如果 a,b,c构成空间的一个基底, 那么用它表示下列向量: OB, BA, CA, OG.27. 如图 1.2 - 3, 在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中, AB = 4, AD = 4, AA1 = 5,DAB = 60BAA1=60,DAA1=60,M, N 分别为D1C1,C1B1的中点.求证MN AC1.ABCDMNA1B1C1D1图1.2-328. 如图1.2-4,正方体AB
13、CD-ABCD的棱长为1, E, F, G 分别为CD,AD,DD的中点. ABCDABCDGEF图1.2-4(1)求证: EF/AC;(2)求CE 与AG 所成角的余弦值.29. 已知四面体OABC, OB =OC,AOB =AOC =.求证: OABC.30. 如图, 在平行六面体 ABCD - ABD中, AB = 2, AD = 2,AA= 3,BAD = BAA= DAA=60.BCCA所成角的余弦值.【选择性必修一【选择性必修一 第第7页页 共共57页】页】ABCDABCD31. 如图,已知正方体.ABCD-ABCD,CD和DC相交于点O,连接AO,求证AOCD.ABCDOABCD
14、 习题1.232. 如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底, 那么a,b间应有什么关系?33. 若 a,b,c构成空间的一个基底, 则下列向量不共面的是( )(A) b+c,b,b-c (B) a,a+b,a-b(C) a+b,a-b,c(D)a+b,a+b+c,c34. 已知四面体QABC, M, N 分别是棱OA, BC 的中点, 且 OA=a, OB =b, OC =c,用a, b, c表示向量 MN.35. 如图,在空间平移ABC 到ABC,连接对应顶点.设 AA=a, AB =b, AC =c, M 是BC的中点, N是BC的中点, 用基底a, b, c表示向量 AM ,
15、AN.ABCNMABC36. 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中, M 是AC 与BD的交点.若D1A1=2,D1C1=2,D1D=3,B1M 的长.【选择性必修一【选择性必修一 第第8页页 共共57页】页】ABCDMA1B1C1D137. 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形, 且C1CB =C1CD=BCD=60,CD=CC1,求证:CA1平面C1BD.ABCDA1B1C1D138. 如图, 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别为DD1, BD的中点,点G 在CD上, 且CG=14CD.ABCDA1B1C1D1GEF(1)求证:
16、EF B1C(2)求EF 与C1G 所成角的余弦值.39. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等, 求证:这个四面体相对的棱两两垂直.1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3空间向量及其运算的坐标表示 1.3.1空间直角坐标系40. 如图1.3 -6,在长方体 OABC -DABC中, OA=3, OC =4, OD=2,以 13 OA,14 OC,12 OD为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.【选择性必修一【选择性必修一 第第9页页 共共57页】页】 ABCOABCDxyz(1)写出D,C,A,B四点的坐标;(2) 写出向量 AB, BB, AC, AC的坐标.41.
17、 在空间直角坐标系中标出下列各点:A(0,2,4), B(1,0,5), C(0,2,0), D(1,3,4).42. 在空间直角坐标系Oxyz中,(1)哪个坐标平面与x轴垂直?哪个坐标平面与y轴垂直?哪个坐标平面与z轴垂直;(2)写出点P(2,3,4)在三个坐标平面内的射影的坐标(3)写出点P(1,3,5)关于原点成中心对称的点的坐标.43. 在长方体OABC -DABC中, OA=3, OC =4,OD=3,AC与BD相交于点P, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.ABCOABCDxyzP(1) 写出点C,B,P的坐标;(2)写出向量 BB, AC的坐标.44. 已知点B 是点A(3,
18、 4, 5)在坐标平面Oxy内的射影, 求| OB| 1.3.2空间向量运算的坐标表示45. 如图1.3-8,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, E,F 分别是BB1,D1B1的中点.求证EF DA1.【选择性必修一【选择性必修一 第第10页页 共共57页】页】ABCDA1B1C1D1GEFyzO图1.3-846. 如图1.3-9,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M 为BC1的中点, E1,F1分别在棱, A1B1,C1D1上, B1E1=14A1B1,D1F1=14C1D1ABCDA1B1C1D1GF1yzOxME1图1.3-9(1)求AM 的长.(2)求BE1与DF1
19、所成角的余弦值.47. 已知a=(-3,2,5), b=(1,5, -1), 求:(1)a+b; (2)6a; (3)3a-b; (4)ab.48. 已知a=(2, -1,3), b=(-4,2, x), 且ab.求x的值.49. 在z轴上求一点M, 使点M 到点A(1,0,2)与点B(1, -3,1)的距离相等.50. 如图, 正方体OABC -DABC的棱长为a,点N,M 分别在AC,BC上, AN =2CN, BM =2MC,求MN 的长.ABCOABCDMNxyz51. 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, M 是AB 的中点,求DB1与CM 所成角的余弦值.【选择性必修一【选
20、择性必修一 第第11页页 共共57页】页】ABCDA1B1C1D1M 习题1.352. 在空同直角坐标系 Oxyx中, 三个非零向量 a,b,c,分别平行于x轴、 y轴、 z轴, 它们的坐标各有什么特点?53. M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点, 写出满足下列条件的点的坐标:(1)与点M 关于x轴对称的点;(2)与点M 关于y轴对称的点;(3)与点M 关于z轴对称的点;(4)与点M 关于原点对称的点.54. 如图, 正方体OABC -DABC的棱长为a,E,F,G,H,I,J 分别是棱CD,DA,AA,AB,BC,CC的中点,写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标.ABCOAB
21、CDEFGHIJxyz55. 先在空间直角坐标系中标出A, B 两点, 再求它们之间的距离:(1) A(2, 3, 5), B(3,1, 4);(2) A(6, 0, 1), B(3,5, 7).56. 已知a=(2, -3, 1), b=(2, 0, 3), c=(0, 0, 2).求:(1) a (b+c); (2) a+6b- 8c.57. 求证:以A(4, 1, 9), B(10, -1, 6), C(2, 4, 3)为顶点的三角形是等腰直角三角形.58. 已知A(3, 5, -7), B(-2,4, 3),求 AB, BA,线段AB 的中点坐标及线段AB 的长.59. 如图, 在正方
22、体ABCD-A1B1C1D1中, M, N 分别为棱.A1A,B1B 的中点, 求CM 和D1N 所成角的余弦【选择性必修一【选择性必修一 第第12页页 共共57页】页】值.ABCDA1B1C1D1MN9. a, b, c是空间的一个单位正交基底, 向量p=a +2b + 3c,a+b, a-b, c是空间的另一个基底, 用基底a+b, a-b, c表示向量p.1.4空间向量的应用1.4空间向量的应用 1.4.1用空间向量研究直线、 平面的位置关系60. 如图 1.4 - 7, 在长方体 ABCD - A1B1C1D1中,AB = 4, BC = 3,CC1= 2, M 是 AB 的中点 .
23、以 D 为原点,DA, DC,DD1所在直线分别为x轴、 y轴、 z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.ABCDA1B1C1D1xyzM(1) 求平面BCC1B1的法向量;(2)求平面MCA1的法向量.61. 判断下列命题是否正确, 正确的在括号内打“”,错误的打“”(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量;( )(2)若 V是直线l的方向向量, 则 V(R)也是直线l的方向向量;( )(3)在空间直角坐标系中, J =(0, 0, 1)是坐标平面Oxy的一个法向量.( )62. 在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中, AB =a, AD =b, AA1=c,O是BD1B1D 的交
24、点.以a,b,c为空间的一个基底, 求直线OA的一个方向向量.63. 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB =4, BC =3,CC1=2.以D为原点, 以13 DA,14 DC,12 DD1为空间的一一个单位正交基底, 建立空间直角坐标系Oxyz,求平面ACD1的一个法向量.64. 证明“平面与平面平行的判定定理 ”: 若一个平面的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行.【选择性必修一【选择性必修一 第第13页页 共共57页】页】65. 如图 1.4 - 12, 在长方体 ABCD - A1B1C1D1中, AB = 4, BC = 3,CC1= 2.B1C 上是否存在点
25、P, 使得A1P/平面ACD1?ABCDA1B1C1D1xyzP图1.4-1266. 用向量方法证明 “直线与平面平行的判定定理 ”: 若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行, 则该直线与此平面平行.67. 如图, 在四面体ABCD中, E 是BC 的中点。直线AD上是否存在点F, 使得AE CF?ABCDEF68. 如图, 在正方体.ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是面,AB1,A1C1的中心.求证: EF/平面ACD1.ABCDA1B1C1D1EF69. 如图1.4 - 14, 在平行六面体 ABCD -A1B1C1D1中, AB = AD = AA1= 1,A1AB =
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