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1、教材习题答案 第四章数列4.1数列的概念练习.解析().().().图象略.解析 ().解析() () () () () () () () () () .所以数列()的前 项为 .解析 ().().练习.解析 图形略.().().().解析 ().().解析 .解析 当 时当 时()()又 适合上式 .习题 4.1复习巩固.解析 图象略.().().解析 ().().().().解析 ()().()().() .()().综合运用.解析 ().().解析三角形数所构成的数列的第 项和第 项分别为 正方形数所构成的数列的第 项和第 项分别为 五边形数所构成的数列的第 项和第 项分别为 .解析 (
2、.) .(万元)(.).(万元)(.). (万元)(.)(万元).拓广探索.解析 ()证明: . . 是递增数列.4.2等差数列. 等差数列的概念练习.解析 ()是.()不是.()不是.()是.解析 ().().解析.解析 由已知得()() 整理得解得 .解析 设这 个数构成公差为 的等差数列则 . . 在 和 中插入 . 这 个数可使这 个数成等差数列.练习.解析 由题意知 ()() 即第 排有 个座位.解析 图象略.直线的斜率为.解析 由已知得()()解得. ()()() .解析 ()数列是等差数列.证明如下: 数列 都是等差数列公差分别为 又 ()() ()() 数列 是等差数列公差为
3、.()公差 ()() .解析()一个无穷等差数列去掉前 项后其余各项组成的数列是.仍能满足定义: 这个新数列仍为等差数列且首项为公差为 .()所取出的项构成的数列为. ( ) ()为常数 这个新数列仍为等差数列且首项为公差为 .()取出所有序号为 的倍数的项构成 的数列为 . () ( ) ()为常数 这个新数列仍为等差数列且公差为 .猜想:取出等差数列中所有序号为 ()的倍数的项构成的数列仍为等差数列. 等差数列的前 项和公式练习. 解 析 ( ) ()().() () .() () ().() .(). .解析 由题意知 ()() ()() 解得 .解析 由得解得. .解析 ()()()
4、() () .解析 设等差数列为首项为 公差为 其前 项和为 .则由题意可得奇()()()() ()偶()()() ()解得. 数列中间一项为 项数为 .练习.解析 第二种方式获奖者受益更多.第二种方式每天领取的奖品价值构成等差数列设首项为 公差为 则 . . 第二种领奖方式获奖者受益更多.解析 当 时当 时()()( ) 不适合上式 .解析 .(.)(.). .().易知当 时 时 当 时取得最小值.解析 由 得 又 . 集合 中元素的个数为 这些元素构成首项为 公差为 的等差数列 .解析由 (.).(.).(.)可知当 时. 时. 当 时最小.习题 4.2复习巩固.解析 () ()()解得
5、.() 解得 .() () ()解得 (负值舍去). ().() ( ) .解析 设等差数列的公差为 .解法一:由题意得()() ()()() 解得. () .解法二: 又 . . () .解析 ()从小到大排列的前 个正偶数构成等差数列且 则 偶() ().()从小到大排列的前 个正奇数构成等差数列且 则 奇()().()在三位正整数的集合中 的倍数从小到大排列构成等差数列且.由 ( ) 解得 .所以 () .()在小于 的正整数中被 除余 的数从小到大排列构成等差数列且 由 ()解得 所以 .解析 由题意可知哈雷彗星是以“等差数列”的时间回归的不妨设此数列为则 所以通项公式为 () ()
6、教材习题答案 可计算出它在本世纪回归的时间为 年.综合运用.解析 设此多边形的边数为 各边的长构成等差数列首项为公差为 前 项和为 . 则 由题意得()()解得 或 (舍). 多边形的边数为 .解析 数列是等差数列 数列也是等差数列. () .解析 ()证明:设等差数列的首项为 公差为 则 () ()() () () 数列 是等差数列.()由()知 为等差数列设公差为 则又 .又 ().解析 等差数列 的首项为 公差为 其通项公式 () .又等差数列 的首项为公差为 其通项公式 () .由 得 . 新数列由数列 中的奇数项构成即 首项为公差为 项数为 .解析 由题意知第 辆车到休息时行驶了 各
7、辆车行驶的时间构成一个等差数列设该数列为首项为 公差为 .则 则 () ().()因为 所以截止到 时最后一辆车行驶了 .()这支车队所有车辆行驶的总时间为 ()()所以这支车队当天一共行驶的路程为 ().拓广探索.证明 等差数列的公差为 ()()().在斜率为 的直线 :() ()上任取两点()()()则 .即公差为 的等差数列的图象是由点()组成的集合这些点均匀分布在直线 () ()上.解析()由题表中的数据分析可建立等差数列模型.设该数列为首项为 公差为 .则 . . .() .()由() 知 . . .().由 .得 .(). 这只虎甲虫连续爬行 能爬. 它连续爬行 需要 . .解析(
8、) ().()()各式相加得 ().所以数列的一个通项公式为 ().4.3等比数列. 等比数列的概念练习.解析 ()不是.()是公比为 .()不是.()是公比为.解析或 . .解析 解法一:由得解得或.解法二: .当 时 .当 时 时成等比数列. 成 等 比数列.当 时成等比数列. 成等比数列.练习.解析 ()设这 个数组成的等比数列为公比为 其中 .故插入的两个数为 .()设这 个数组成的等比数列为公比为 其中 . ()() () () ()故插 入 的 个 数 分 别 为 .解析设数列的公比为 的公比为 () 数列 是以 为公比的等比数列.() 数列是以为公比的等比数列.解析 设每年生产的
9、新能源汽车数组成一个数列则是等比数列其中 所以 () .所以 年全年约生产新能源汽车 辆.解析 设年平均增长率为 则 ()解得 .所以这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到 .解析 设 为数列中的最大项则即()()即 . . 取得最大值时 的值为 . 等比数列的前 项和公式练习.解析 () ()().() . () ().() ()() 即 .解得 或 当 时当 时.证明 左边()()()右边 原等式成立.解析 设等比数列的公比为 .由题意得解得或. 或 () ( ) 或 ().解析 设这三个数分别为().则 .又即 解得 或 .当 时当 时. 这个数列的首项为 公比为 或首
10、项为 公比为.解析设该等比数列为首项为公比为 其前 项和为 若 则 .当 时由题意知()()得即 .练习.解析 乒乓球每次落下后反弹的高度数构成一个等比数列其中.() 第 次着地时经过的总路程为 (.). ().()设至少在第 次着地后它经过的总路程能达到 则 (.). . . 至少在第 次着地后它经过的总路程能达到 .解析 设这家牛奶厂每年应扣除 万元消费基金才能实现经过 年资金达到 万元的目标.则 年底剩余资金是 ( ) 年底剩余资金是 ()() ()() 年后资金达到 ()()()()() 解得 所以这家牛奶厂每年应扣除 万元消费基金才能实现经过 年资金达到 万元的目标.解析 当 时即
11、由已知得 又 得 数列是首项为公比为 的等比数列 ().教材习题答案 习题 4.3复习巩固.解析 () ()() .()由题意得解得或.解析()将数列中的前 项去掉剩余的各项组成的新数列为 则 ()所以数列 是以为首项 为公比的等比数列.()中的所有奇数项组成的新数列是 则().所以数列 是以 为首项为公比的等比数列.()中每隔 项取出一项组成的新数列是 则().所以数列 是以为首项为公比的等比数列.猜想:略.解析 ()()()() ()() ()()()().()当 时()当 时设 则 ().得() 则 ().解析 ()设生物体死亡时体内每克组织中的碳 的含量为 记为 ()年后的残留量为 则
12、是以 为首项 为公比的等比数列即.由碳 的半衰期为 年知 解得 () . 则 . .() 设该动物的死亡时间大约距今 年由 .得 . .解得 所以 该 动 物 的 死 亡 时 间 大 约 距 今 年.综合运用.证明 设数列的公比为 因为 成等差数列所以公比 且 即()()().于是 即 .上式两边同乘 得 即 所以 成等差数列.解析设该数列为前 项和为 .解法一: ()()()()().解法二:个()同解法一.解析 ()证明: ()又 数列是首项为公比为的等比数列.()由()知 ()()() ().当 为偶数时() .当 为奇数时()() .解析 设 ()则 .即 ()又 数列是以 为首项 为
13、公比的等比数列 . 数列的前 项的和为() .解析 由题意得每一轮的感染人数构成一个等比数列记为公比为 前 项和为 .则 .则 (). . 两边取对数得 . .又 .又 平均感染周期为 天 天 感染人数由 个初始感染者增加到 人 大 约 需 要 轮 传 染 需 要 天.拓广探索.解析 () () ()().当 或 时取得最大值为 的最大值为 .解析()证明:由已知得(). 数列是首项为公比为的等比数列.()由()可得()().()() .证明 ()设数列的公差为 . () () 数列为等差数列.()(反证法)假设数列中存在三项 (且 )能构成等比数列即 成立.由()得 () () () ()整
14、理得 () 与 矛盾. 数列中的任意三项均不能构成等比数列.4.4*数学归纳法练习.解析()错误.缺第一步证明当 时命题成立.() 错误. 证明过程中没有使用归纳假设.证明 ().当 时左边 右边 等式成立.假设当 ()时等式成立即 那么当 时 ().即当 时等式也成立.由知公式 对任意 都成立.()()().当 时左边 右边 ()等式成立.假设当 ()时等式成立即 ()那么当 时 () () ()()()().即当 时等式也成立.由 知对任意 公式 ()()都成立.练习.证明当 时 等式成立.假设当 ()时有()() ().那么当 时()()()() ()()() ()() ()().即当
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