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1、1 O 数 学通讯 2 0 l 3年第 1 、 2期( 上半月) 辅教导学 导数问题中几种特殊处理方法的运用 姚尉林 孙婷婷 ( 湖北省武汉市水果湖高中, 4 3 0 0 7 1 ) 导数在解决 函数、 方程 、 不等式、 数列 等问题 时具有独特的作用, 在高考题 中, 以导数为载体的 问题丰富多彩 , 新颖别致 , 深不可测 , 而近几年的 高考题对导数 的考查广度和深度也在不断 加强, 有 的问题难 度 大 , 技 巧性 强 本 文结 合 近 几 年 ( 尤 其是 2 0 1 2年)的高考题谈谈导数问题中几种特殊 处理方法的运用, 需要说明的是 : 所有例题都 只摘 要给出了与本文主题有
2、关的条件和问题 1 二 次求 导 例 1 ( 2 0 1 2年全 国新课标 卷 高考题 )求 函数 1 厂 ( ) 一 一 +寺z 的单调区间 厶 分析 易得 f ( z )一e 一1 +X , 并不能直接 判断其符号 , 这时想到再次求导, 先研究 f ( )的 导 函数 1 解 因为厂 ( z ) 一 一z +妻z , 则 f ( z ) = 厶 一1+ 记 g ( ) 一 e 一1 +X , 则 g ( z )一e +1 0 , 因此 厂( z )一 一1 +z为单调递增函数, 又易知 f ( O )一 0 , 所 以 , 当 z ( O , + 。 。 ) 时 , f ( z ) 0
3、; 当 z ( 一 C x 3 , O )时 , f ( z ) 0时 , ( 1+ n ) ( 1+m) ” 分析 不 等 式 的形 式 不 明朗 , 可 以先取 对 数 转化 证 明 要 证 明( 1 + n ) ( 1 + m) ” , 只需 证 明 : i n ( 1 + ) I n ( 1 +m) ” , 只需证 明 : ml n ( 1 + ) 0 , 所 以 只 需 证 明 ( -z )一 在 z ( o , +。 。 )上为减函数即可 而 r_一 i n ( 1+ 工) z)一 一z一 ( 1 + ) l n ( 1 + 3 8 ) 一 一 再 令 g ( x )= z一 (
4、1 + z ) l n ( 1 +z ) , 则 g ( z ) 一1 一( 1 +z ) 一一I n ( 1 +z )一一I n ( 1 +z ) 1 十 0 , 故 g ( z ) 在( 0 , +。 。 ) 上为减函数, 所以 g ( z ) g ( 0 ) 一 0 , 从 而 厂 ( ) 一 l_ o , 所 以 厂 ( z )一 在 z ( o , +。 。 ) 上为减函数, 于是 原命题 得证 例3( 2 0 1 2 年湖南省高考题)已知函数 厂 ( z ) 一 e 一 , 其 中 。 0 , 若 对 于任 意 z R, 不 等式 _厂 ( ) 1 恒成立 , 求实数 a的取值范围
5、 解 若 a 0 时 , 厂 ( z ) 一e 一 0 而 厂( z ) 一 1 , 令 厂( ) 一0 , 得 Iz 一 I n 若 f ( z ) 0 , 则 z !l n ; 若 f ( z ) 0 , 则 z 0 , 得 0 t 1 ; 令 g ( ) 1 所 以 E g O) = : : g ( 1 )一 1 因此 , 当且仅 当一 1 1 即a一 1 时, 式成立 故实数 a的取值集合是 1 ) 评注 例 1 是对导函数再次求导, 例 2 是对导 函数的分子再次求导, 它们都是利用二次求导来研 究前一个导函数的性质, 使得相关信息浮 出水面, 使得前一个导函数的符号明朗化 例 3
6、则是对另一 个函数再次求导 , 得到这一个 函数的信息后使得问 题得以顺利解决 对导函数或者导 函数的一部分再 次求导 , 是近几年高考题 中经常需要用到的处理方 法 求导的作用就是通过求极值点确定函数的单调 区间, 从而求 出函数的最值 ( 或极值) , 只要 明白这 辅教 导学 数学通讯2 O 1 3年第 1 、 2期( 上半月) 1 1 个道理, 对函数多次求导是很 自然的事 2 分 类 讨论 例 4( 2 0 1 2年天津高考 题)已知 函数 _厂 ( z ) 一 Xi n ( x+ 1 ) , 对于任意的 z O , + o o )有 厂 ( z ) 如 成立 , 求实数 k的最小值
7、 解 当k 0 时 , 取 z一 1 , 则 厂 ( 1 ) : 1 一l n 2 0 , 不合 题 意 ; 当 k 0 时 , 令 F ( ) 一 厂( z ) 一 一 X -l n ( x + 1 ) 一 缸 。 , 则 F t ( z ) 一 南 一 2 k x x 2 k x一( 1 2 k ) 一一 F广一 令 F ( z ): 0 , 得 X l 一 0 , z 一 一1 ( 1 )当 忌 1 时,L 丝 0,F ( ) 0, F( )在 0 , + c x 3 )上单 调递减 , 从 而 总有 F( z ) F( O )=0 , 即对于任意的X 0 , +。 。 ) 有 厂 (
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- 关 键 词:
- 导数 问题 中几种 特殊 处理 方法 运用