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1、2 0 0 4 年第6 期数学教学研究4 3是二平行虚直线,n = o 时,是二重合实直线无论n ( 一m ,+ 。) 取何值,曲线( 4 ) 的中心都构成一条直线( 在本处所设的坐标系下是y = 0 ) ,这个性质不因坐标系的选取不同而改变反过来,如果二次曲线的中心是一条直线,取此直线为石轴,任意垂直于它的直线为y 轴建立平面直角坐标系,设厂的方程为( 1 ) ,则确定中心的方程组F ,( 戈,) ,) = 2 ( o l I 戈+ 口i 2 ) ,+ 。1 3 ) = OIF ,( z ,y ) = 2 ( n 1 2 茹+ 0 2 2 ,+ 0 2 3 ) = 0有无穷多解于是此方程组的
2、系数矩阵和增广矩阵的秩都是1 ,从而中心直线的方程是方程n ,。茗+ n 。:y+ 口1 3 = 0 与0 1 2 戈+ 口2 2 ,+ 0 2 3 = 0 中的任一个第二个方程表示茗轴的条件为口,:= o = o ,n 船0 而第一个方程在口。:= O 的条件下不可能再表示茗轴,所以它必须是恒等式,因而有n = 0 1 3 = 0 ,所以厂的方程为0 2 2 y 2 + 。3 3 = o ,0 2 2 o 显然此方程可化为( 4 ) 的形式,因而表示两条平行直线( 实的或虚的) 或重合直线,是抛物型曲线的退化图形由此得命题4抛物型二次曲线退化的充要条件是其中心构成一条实直线下面还有一个有趣的
3、结论命题5定义抛物型二次曲线,是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹,则,退化为两条重合直线的充要条件是定直线过定点证明设定直线过定点,取定点0 为原点,定直线为) ,轴建立平面直角坐标系设P ( 戈,y ) 是f 上任一点,则轨迹的方程为 名2 + 尹= I 并I ,化简即得,的方程是严= o ,这是两条重合的直线( 戈轴) 反之,设厂表示两条重合直线在该直线上取一定点A ,过A 作一直线z 与,垂直,则厂上任一点P 到A 的距离就是P 到直线z 的距离把,看成到定点A和定直线z 的距离相等的动点尸的轨迹时,定直线f过定点A ( 证毕)抛物型二次曲线的退化也与其是否有渐近线密切相关二次曲线的渐
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- 体积 表面积 等值 旋转体 内切球