体积与表面积等值的旋转体与内切球.pdf

1、2 0 0 4 年第6 期数学教学研究4 3是二平行虚直线，n = o 时，是二重合实直线无论n ( 一m ，+ 。) 取何值，曲线( 4 ) 的中心都构成一条直线( 在本处所设的坐标系下是y = 0 ) ，这个性质不因坐标系的选取不同而改变反过来，如果二次曲线的中心是一条直线，取此直线为石轴，任意垂直于它的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设厂的方程为( 1 ) ，则确定中心的方程组F ，( 戈，) ，) = 2 ( o l I 戈+ 口i 2 ) ，+ 。1 3 ) = OIF ，( z ，y ) = 2 ( n 1 2 茹+ 0 2 2 ，+ 0 2 3 ) = 0有无穷多解于是此方程组的

2、系数矩阵和增广矩阵的秩都是1 ，从而中心直线的方程是方程n ，。茗+ n 。：y+ 口1 3 = 0 与0 1 2 戈+ 口2 2 ，+ 0 2 3 = 0 中的任一个第二个方程表示茗轴的条件为口，：= o = o ，n 船0 而第一个方程在口。：= O 的条件下不可能再表示茗轴，所以它必须是恒等式，因而有n = 0 1 3 = 0 ，所以厂的方程为0 2 2 y 2 + 。3 3 = o ，0 2 2 o 显然此方程可化为( 4 ) 的形式，因而表示两条平行直线( 实的或虚的) 或重合直线，是抛物型曲线的退化图形由此得命题4抛物型二次曲线退化的充要条件是其中心构成一条实直线下面还有一个有趣的

3、结论命题5定义抛物型二次曲线，是到定点和定直线的距离相等的点的轨迹，则，退化为两条重合直线的充要条件是定直线过定点证明设定直线过定点，取定点0 为原点，定直线为) ，轴建立平面直角坐标系设P ( 戈，y ) 是f 上任一点，则轨迹的方程为 名2 + 尹= I 并I ，化简即得，的方程是严= o ，这是两条重合的直线( 戈轴) 反之，设厂表示两条重合直线在该直线上取一定点A ，过A 作一直线z 与，垂直，则厂上任一点P 到A 的距离就是P 到直线z 的距离把，看成到定点A和定直线z 的距离相等的动点尸的轨迹时，定直线f过定点A ( 证毕)抛物型二次曲线的退化也与其是否有渐近线密切相关二次曲线的渐

4、近线是过二次曲线( 1 ) 的中心，且以满足n l l X 2 + 2 0 1 2 X l ，+ n 2 2y 2 = O( 5 )的方向x ? y 为方向的直线当，2 = a 。鸵一。2 2 = o 时，( 5 ) 只有一解X ? y ：一堕：一丝口1 11 2故抛物型二次曲线，只有一个实渐近方向，就是其主直径的方向当，非退化时，没有中心( 无心二次曲线) ，也就没有渐近线而由命题4 ，厂退化的充要条件是它为线心二次曲线，而中心直线的方向就是渐近方向，此时渐近线唯一存在由此得命题6抛物型二次曲线退化的充要条件是其渐近线唯一存在体积与表面积等值的旋转体与内切球沈杰( 首都师范大学附属中学，北京

5、1 0 0 0 3 7 )贵刊早在1 9 9 0 年第6 期“体积与表面积等值的四面体与内切球”一文中就给出了关于多面体与其内切球的几个有趣结论，十余年后读来仍受启发本文进一步验证了某些旋转体( 圆柱、圆台、圆锥、球缺) 也具有同样的性质：定理l若旋转体的体积与表面积等值，则其内切球半径必为3 定理2若旋转体的体积与表面积等值，则其内切球体积与表面积也等值定理3若旋转体内切球的半径为3 ，则该旋转体的体积与表面积等值定理4若旋转体内切球的体积与表面积等值，则该旋转体的体积与表面积也等值下面是定理1 、2 的证明，定理3 、4 是逆定理，证 万方数据 万方数据体积与表面积等值的旋转体与内切球体积

6、与表面积等值的旋转体与内切球作者：沈杰作者单位：首都师范大学附属中学,北京,100037刊名：数学教学研究英文刊名：MATHEMATICS TEACHING STUDIES年，卷(期)：2004(6) 参考文献(1条)参考文献(1条)1.张焕明;朱敬 体积与表面积等值的四面体与内切球 1990(06) 本文读者也读过(7条)本文读者也读过(7条)1. 李志海 柱壳法求旋转体体积的适用条件期刊论文-科技资讯2009(32)2. 郜舒竹.刘莹.GAO Shu-zhu.LIU Ying 用帕普斯古尔丁定理解释喇叭悖论期刊论文-数学的实践与认识2007,37(8)3. 孙幸荣.汪飞 n维球体体积与表面积的两个性质期刊论文-安康师专学报2004,16(4)4. 李世杰 圆台的一个最值问题之讨论期刊论文-教师2010(14)5. 李军成.杨笃庆.LI Jun-cheng.YANG Du-qing 一种基于Ferguson曲线的面积计算方法期刊论文-湖南人文科技学院学报2007(6)6. 唐友刚.黄国安 N维球体积新解期刊论文-科教文汇2009(4)7. 王明礼 一类平面图形面积的简捷算法期刊论文-数学教学研究2008,27(6) 引用本文格式：沈杰 体积与表面积等值的旋转体与内切球期刊论文-数学教学研究 2004(6)